Calcolatore della Distribuzione Binomiale - Strumento Gratuito di Probabilità

Che cos'è un calcolatore della distribuzione binomiale?

Un calcolatore della distribuzione binomiale determina la probabilità di ottenere un numero esatto di successi in un numero fisso di prove indipendenti, quando ogni prova ha la stessa probabilità di successo. Viene usato in statistica, nel controllo qualità, in medicina e in qualsiasi campo che studi eventi ripetuti con esito sì o no.

L'idea alla base è la distribuzione binomiale, un modello di probabilità per contare i successi in prove ripetute che hanno soltanto due esiti, generalmente chiamati successo e insuccesso.

Formula della distribuzione binomiale

La probabilità di ottenere esattamente k successi in n prove è:

$P(X = k) = \binom{n}{k} \, p^k (1-p)^{n-k}$

Ogni simbolo significa:

• n — il numero di prove.
• k — il numero di successi per cui si vuole calcolare la probabilità.
• p — la probabilità di successo in una singola prova, un numero compreso tra 0 e 1.
• $\binom{n}{k}$ — il coefficiente binomiale, cioè il numero di modi diversi di scegliere k successi su n prove. È uguale a $\frac{n!}{k!(n-k)!}$.

Ogni prova deve essere indipendente, cioè l'esito di una prova non modifica la probabilità dell'altra, e la probabilità di successo p deve rimanere la stessa in tutte le prove. Una singola prova con due esiti possibili, come il lancio di una moneta, è chiamata prova di Bernoulli. Una distribuzione binomiale si ottiene sommando n prove di Bernoulli.

Come calcolare la probabilità binomiale

1. Annotare n, k e p.
2. Calcolare il coefficiente binomiale $\binom{n}{k}$, cioè il numero di modi di disporre k successi tra n prove.
3. Elevare p alla potenza k.
4. Elevare (1 − p) alla potenza (n − k).
5. Moltiplicare tra loro i tre numeri.

Il calcolatore in questa pagina esegue automaticamente questi passaggi. Inserendo n, p e k, restituisce P(X = k) insieme a un grafico a barre che mostra la probabilità di ogni possibile esito, da 0 a n successi.

Esempio svolto

Esempio 1: lanci di una moneta

Si lancia una moneta equa 10 volte. Qual è la probabilità di ottenere esattamente 3 teste?

• n = 10, p = 0,5, k = 3
• $\binom{10}{3} = 120$
• $0.5^3 = 0.125$
• $0.5^{7} = 0.0078125$
• Risultato: 120 × 0,125 × 0,0078125 ≈ 0,1172, cioè circa 11,72%

Esempio 2: controllo qualità

Una fabbrica controlla 100 articoli. Ogni articolo ha una probabilità del 2% di essere difettoso. Qual è la probabilità che nessuno dei 100 articoli sia difettoso?

• n = 100, p = 0,02, k = 0
• Poiché k = 0, la formula si riduce a $(1-p)^n = 0.98^{100}$
• Risultato: ≈ 0,1326, cioè circa 13,26%

Esempio 3: test diagnostici

Una città sottopone a test 1.000 persone per una malattia che colpisce il 0,1% della popolazione (p = 0,001). Qual è la probabilità che esattamente 5 delle 1.000 persone siano infette?

• n = 1000, p = 0,001, k = 5
• $\binom{1000}{5} = 8{,}250{,}291{,}250{,}200$
• $0.001^5 = 1 \times 10^{-15}$
• $0.999^{995} \approx 0.3695$
• Risultato: 8.250.291.250.200 × 1e-15 × 0,3695 ≈ 0,00305, cioè circa 0,30% (valore preciso 0,0030488, ovvero 0,30488%)

Media e varianza

Per una distribuzione binomiale con parametri n e p:

• Media (valore atteso): E(X) = np
• Varianza: Var(X) = np(1 − p)
• Deviazione standard: σ = √[np(1 − p)]

La media indica il numero medio di successi atteso su molte ripetizioni. Nell'Esempio 1, la media è 10 × 0,5 = 5 teste.

Cosa accetta il calcolatore

• n deve essere un numero intero di 1 o maggiore. Un valore decimale viene arrotondato al numero intero di prove più vicino, quindi 10,9 viene considerato come 11.
• p deve essere compreso tra 0 e 1, estremi inclusi.
• k deve essere un numero intero di 0 o maggiore e non può essere maggiore di n. Ottenere 8 successi in 5 prove è impossibile, quindi il calcolatore restituisce un errore invece di un numero.

Se una casella viene lasciata vuota, il calcolatore non mostra né un risultato né un grafico, invece di supporre un valore.

Quando si applica la distribuzione binomiale

La distribuzione binomiale è adatta a una situazione soltanto quando sono soddisfatte tutte e quattro le condizioni seguenti:

1. Il numero di prove, n, è fissato in anticipo.
2. Ogni prova ha soltanto due esiti: successo o insuccesso.
3. La probabilità di successo, p, è la stessa in ogni prova.
4. Le prove sono indipendenti l'una dall'altra.

Estrarre carte da un mazzo senza reinserimento viola la condizione di indipendenza, perché rimuovere una carta modifica la probabilità della pesca successiva. In questo caso si usa invece la distribuzione ipergeometrica.

Distribuzioni correlate

• Distribuzione di Poisson: usata per approssimare la distribuzione binomiale quando n è grande e p è piccola, così che il numero medio di successi (np) rimanga moderato. È comune nella modellizzazione di eventi rari, come il caso di malattia nell'Esempio 3.
• Distribuzione normale: per n grande e quando p non è troppo vicina a 0 o 1, la distribuzione binomiale ha una forma approssimativamente a campana e può essere approssimata da una distribuzione normale con media np e varianza np(1 − p).
• Distribuzione ipergeometrica: usata al posto della distribuzione binomiale quando il campionamento viene effettuato senza reinserimento da una popolazione finita.

Domande frequenti

Che cosa fa un calcolatore della distribuzione binomiale?

Calcola la probabilità di ottenere esattamente k successi in n prove indipendenti, ciascuna con probabilità di successo p, usando la formula P(X = k) = C(n, k) × p^k × (1 − p)^(n − k).

Qual è la differenza tra distribuzione binomiale e distribuzione normale?

La distribuzione binomiale è discreta, cioè produce soltanto conteggi interi di successi. La distribuzione normale è continua. Per n grande, una distribuzione binomiale può essere approssimata da una curva normale con media np e varianza np(1 − p).

p può essere 0 o 1?

Sì. Se p = 0, nessuna prova può avere successo, quindi P(X = 0) = 1. Se p = 1, ogni prova ha successo, quindi P(X = n) = 1. In questi casi, tutti gli altri valori di k hanno probabilità 0.

Qual è il rapporto tra le distribuzioni binomiale e di Bernoulli?

Una distribuzione di Bernoulli descrive una singola prova con due esiti (n = 1). Una distribuzione binomiale è la somma di n prove di Bernoulli indipendenti, quindi una distribuzione di Bernoulli è semplicemente una distribuzione binomiale con n = 1.

Quanto può essere grande n prima che il calcolatore diventi impreciso?

Il calcolatore usa l'aritmetica standard a doppia precisione. Moltiplica direttamente le tre parti della formula e passa ai logaritmi quando il coefficiente binomiale supera il numero massimo rappresentabile da un double, cosa che avviene intorno a n = 1.000 quando k è vicino a n/2. I risultati rimangono corretti oltre quel punto. Una probabilità inferiore a circa 1e-308 viene riportata come 0, perché nessun double è in grado di rappresentarla.

Come viene calcolato il coefficiente binomiale?

Il coefficiente binomiale C(n, k) conta i modi di scegliere k elementi da n elementi, indipendentemente dall'ordine. È uguale a n! / (k! × (n − k)!). Il calcolatore lo costruisce passo dopo passo, moltiplicando per un fattore e dividendo per quello successivo, così non deve mai memorizzare un fattoriale completo. Per valori molto grandi di n, somma invece i logaritmi di tali fattori.

Riferimenti

1. "Binomial Distribution." Wikipedia, Wikimedia Foundation. https://en.wikipedia.org/wiki/Binomial_distribution.
2. Ross, Sheldon M. Introduction to Probability Models. Academic Press, 2014.
3. Johnson, Norman L., et al. Discrete Distributions. Wiley Series in Probability and Statistics, 2005.