Calcolatore della Distribuzione Gamma - Strumento di Analisi Statistica

Che cos'è un calcolatore della distribuzione gamma?

Un calcolatore della distribuzione gamma ricava la media, la varianza, l'asimmetria, la curtosi e la moda di una distribuzione gamma a partire da due valori: un parametro di forma e un parametro di scala. Disegna inoltre la funzione di densità di probabilità della distribuzione sotto forma di curva.

Che cos'è una distribuzione gamma?

La distribuzione gamma è una distribuzione di probabilità continua per valori positivi. È definita da due parametri: un parametro di forma, generalmente indicato con k, e un parametro di scala, generalmente indicato con θ (theta). Entrambi devono essere maggiori di zero. La distribuzione gamma viene utilizzata per modellare quantità che non possono essere negative, come i totali delle precipitazioni, gli importi delle richieste di risarcimento assicurativo e il tempo che precede il guasto di un componente di una macchina.

Formula della distribuzione gamma

La funzione di densità di probabilità (PDF) della distribuzione gamma è:

f(x; k, θ) = x^(k−1) · e^(−x/θ) / (θ^k · Γ(k))

Qui x è il valore in corrispondenza del quale viene misurata la densità, mentre Γ(k) è la funzione gamma, una generalizzazione del fattoriale ai numeri non interi. La formula vale solo per x > 0; in tutti gli altri punti la densità è zero.

Come calcolare le proprietà della distribuzione gamma

A partire dal parametro di forma k e dal parametro di scala θ, il calcolatore determina:

• Media: k × θ
• Varianza: k × θ²
• Asimmetria: 2 / √k
• Curtosi: 3 + 6 / k
• Moda: (k − 1) × θ quando k ≥ 1, altrimenti 0

L'asimmetria misura quanto la curva sia sbilanciata. Un valore più piccolo di k produce una coda destra più lunga. La curtosi misura quanto siano pesanti le code rispetto a una distribuzione normale, che ha una curtosi pari a 3. La moda è il valore di x in corrispondenza del quale la curva raggiunge il suo massimo. Quando k è inferiore a 1, la densità continua ad aumentare mentre x si avvicina a 0, quindi non esiste un massimo interno e il calcolatore restituisce una moda pari a 0.

Esempio di calcolo

Si considerino un parametro di forma k = 2 e un parametro di scala θ = 3.

• Media = 2 × 3 = 6
• Varianza = 2 × 3² = 18
• Asimmetria = 2 / √2 ≈ 1,4142
• Curtosi = 3 + 6 / 2 = 6
• Moda = (2 − 1) × 3 = 3

In corrispondenza della moda, x = 3, la densità risulta f(3; 2, 3) = 3¹ · e^(−1) / (3² · Γ(2)) = (3 × 0,3679) / 9 ≈ 0,1226. Il calcolatore traccia automaticamente l'intera curva non appena vengono inseriti entrambi i parametri.

Come usare il calcolatore della distribuzione gamma

1. Inserire il parametro di forma (k), un numero positivo.
2. Inserire il parametro di scala (θ), un numero positivo.
3. La media, la varianza, l'asimmetria, la curtosi e la moda compaiono non appena entrambi i campi contengono numeri validi. Non è presente un pulsante separato per il calcolo; i risultati si aggiornano man mano che vengono inseriti i numeri.
4. Il grafico sotto i risultati mostra la funzione di densità di probabilità. Viene tracciato da un valore appena superiore a x = 0 fino al maggiore tra tre volte la media e cinque volte il parametro di scala.

Entrambi i parametri devono essere numeri finiti maggiori di 0 e nessuno dei due può essere maggiore di 1000. Vengono rifiutati anche i valori inferiori a circa 2 × 10⁻¹⁶, perché a quella grandezza i valori riepilogativi non sono più significativi. Un valore al di fuori dell'intervallo accettato produce un messaggio di errore invece dei risultati.

Dove viene utilizzata la distribuzione gamma

La distribuzione gamma modella molte grandezze reali sempre positive e spesso asimmetriche verso destra:

• Assicurazioni: dimensioni delle richieste di risarcimento e importi dei pagamenti
• Meteorologia: totali delle precipitazioni in un periodo prestabilito
• Ingegneria: tempo che precede il guasto di un componente
• Teoria delle code: tempi di attesa risultanti da diversi passaggi esponenziali
• Biologia: livelli di espressione genica e dati sul numero di specie

Distribuzioni correlate

Due distribuzioni note sono casi particolari della distribuzione gamma:

• Distribuzione esponenziale: una distribuzione gamma con k = 1
• Distribuzione chi-quadrato: una distribuzione gamma con k = n/2 e θ = 2, dove n rappresenta i gradi di libertà

Le distribuzioni di Weibull e log-normale sono alternative comuni per modellare dati positivi e asimmetrici.

Domande frequenti

A cosa serve la distribuzione gamma? Modella grandezze continue e positive, come tempi di attesa, quantità di precipitazioni e richieste di risarcimento assicurativo, soprattutto quando i dati tendono verso valori elevati.

Come si trova la media di una distribuzione gamma? Si moltiplica il parametro di forma per il parametro di scala: media = k × θ. Per k = 2 e θ = 3, la media è 6.

Qual è la differenza tra i parametri di forma e di scala? Il parametro di forma (k) controlla la forma della curva, compresa la sua asimmetria. Il parametro di scala (θ) allunga o comprime la curva lungo l'asse x senza modificarne la forma di base.

Qual è il rapporto tra la distribuzione gamma e la distribuzione esponenziale? La distribuzione esponenziale è la distribuzione gamma con parametro di forma k = 1.

La distribuzione gamma può assumere valori negativi? No. È definita solo per x > 0. Per dati che possono essere negativi è necessaria una distribuzione diversa, come la distribuzione normale.

Questo calcolatore calcola la funzione di distribuzione cumulativa? No. Calcola la media, la varianza, l'asimmetria, la curtosi e la moda, e traccia la funzione di densità di probabilità. Non restituisce i valori della probabilità cumulativa.

Riferimenti

1. "Gamma distribution." Wikipedia, Wikimedia Foundation. https://en.wikipedia.org/wiki/Gamma_distribution
2. Johnson, N. L., Kotz, S. e Balakrishnan, N. (1994). Continuous Univariate Distributions, volume 1. John Wiley & Sons.