Calcolatore della Distribuzione di Poisson - Calcola le Probabilità degli Eventi

Che cos'è un calcolatore della distribuzione di Poisson?

Un calcolatore della distribuzione di Poisson determina la probabilità che si verifichi un certo numero di eventi in un intervallo fisso di tempo o di spazio, dato il numero medio di volte in cui gli eventi si verificano. Si usa quando gli eventi si verificano uno alla volta, indipendentemente gli uni dagli altri, con un tasso medio costante. Esempi tipici sono il numero di telefonate ricevute da un call center in un'ora o il numero di refusi in una pagina.

Formula della distribuzione di Poisson

La distribuzione di Poisson dà la probabilità di esattamente k eventi quando il tasso medio è λ (la lettera greca lambda):

$P(X = k) = \dfrac{e^{-\lambda} \lambda^{k}}{k!}$

Ogni simbolo significa:

• λ (lambda) — il numero medio di eventi per intervallo. È l'unico parametro della distribuzione.
• k — il numero esatto di eventi di cui si sta calcolando la probabilità. Deve essere un numero intero, 0 o maggiore.
• e — il numero di Eulero, una costante fissa pari a circa 2,71828.
• k! — «k fattoriale», il prodotto di tutti i numeri interi da 1 fino a k. Per esempio, 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24. Per convenzione, 0! = 1.

La formula richiede solo λ e k. Non richiede un numero totale di prove, a differenza della distribuzione binomiale.

Come calcolare una probabilità di Poisson

1. Scegliere λ, il numero medio di eventi nell'intervallo analizzato.
2. Scegliere k, il numero esatto di eventi di cui si vuole trovare la probabilità.
3. Elevare e alla potenza di −λ: si ottiene e^(−λ).
4. Elevare λ alla potenza di k: si ottiene λ^k.
5. Trovare k!, il fattoriale di k.
6. Moltiplicare i risultati dei passaggi 3 e 4, quindi dividere per il risultato del passaggio 5.

Il numero ottenuto è una probabilità compresa tra 0 e 1. Moltiplicarlo per 100 per esprimerlo in percentuale.

Esempio svolto

Un call center riceve in media 5 chiamate all'ora (λ = 5). Qual è la probabilità che riceva esattamente 3 chiamate in una determinata ora (k = 3)?

1. e^(−5) ≈ 0,006738
2. 5^3 = 125
3. 3! = 3 × 2 × 1 = 6
4. Moltiplicazione: 0,006738 × 125 ≈ 0,842243
5. Divisione per 6: 0,842244 ÷ 6 ≈ 0,140374

La probabilità di esattamente 3 chiamate in quell'ora è circa 0,140, cioè 14%.

Altri esempi

Dove si usa la distribuzione di Poisson

La distribuzione di Poisson modella conteggi di eventi rari e indipendenti. Gli usi comuni includono:

• Call center e assistenza clienti: prevedere quante chiamate o chat arrivano ogni ora.
• Produzione: stimare il numero di difetti in un lotto di prodotti.
• Assicurazioni: stimare quanti sinistri verranno denunciati in un determinato periodo.
• Biologia e medicina: modellare il numero di mutazioni o la diffusione di malattie rare.
• Fisica: descrivere il decadimento radioattivo, in cui ogni atomo decade indipendentemente con un tasso medio costante.
• Traffico e ingegneria delle reti: stimare gli arrivi di veicoli a un incrocio o le richieste che raggiungono un server.

Condizioni per usare la distribuzione di Poisson

La distribuzione di Poisson è adatta a una situazione solo quando valgono tutte le condizioni seguenti:

• Gli eventi si verificano uno alla volta; due eventi non possono verificarsi esattamente nello stesso istante.
• Gli eventi si verificano indipendentemente: un evento non rende il successivo più o meno probabile.
• Il tasso medio, λ, rimane costante nell'intervallo analizzato.

Se il tasso cambia nel tempo o gli eventi tendono a raggrupparsi, la distribuzione di Poisson semplice non descrive bene i dati.

Distribuzione di Poisson e distribuzioni correlate

• Distribuzione binomiale: si usa quando c'è un numero fisso di prove e una probabilità di successo nota per ciascuna di esse, come nel lancio di una moneta 20 volte. La distribuzione di Poisson è ciò a cui converge la distribuzione binomiale quando il numero di prove cresce molto e la probabilità di successo per prova tende a zero, mentre il loro prodotto rimane intorno a λ.
• Distribuzione normale: per valori elevati di λ, approssimativamente superiori a 20, la distribuzione di Poisson è simile a una distribuzione normale a campana con media λ e varianza λ.
• Distribuzione esponenziale: mentre la distribuzione di Poisson conta quanti eventi si verificano in un intervallo fisso, la distribuzione esponenziale descrive il tempo di attesa tra tali eventi.

Una nota sulla storia

Il matematico francese Siméon Denis Poisson introdusse la distribuzione nel 1837, in un libro sulla probabilità applicata ai verdetti giudiziari. Inizialmente suscitò poca attenzione. Il suo impiego crebbe nei primi anni del secolo 20, dopo che statistici come Ladislaus Bortkiewicz e Ronald Fisher la applicarono a dati reali di conteggio, compreso un celebre studio sui soldati prussiani uccisi dai calci dei cavalli.

Domande frequenti

Che cosa significa lambda (λ) in una distribuzione di Poisson? Lambda è il numero medio di eventi attesi nell'intervallo analizzato. È anche la varianza della distribuzione, quindi un λ maggiore indica sia un conteggio medio più elevato sia una maggiore dispersione dei possibili risultati.

k o λ possono essere negativi o frazionari? λ deve essere maggiore di 0, ma può essere un numero decimale, come 2,5 eventi all'ora. k deve essere un numero intero pari o superiore a 0, poiché conta eventi effettivi; non può essere negativo o frazionario.

In che modo la distribuzione di Poisson differisce da quella binomiale? La distribuzione binomiale richiede un numero fisso di prove e una probabilità di successo fissa per prova. La distribuzione di Poisson richiede solo un tasso medio ed è adatta a eventi che, in linea di principio, possono verificarsi un numero qualsiasi di volte.

Quando si dovrebbe usare invece la distribuzione normale? Per valori elevati di λ, generalmente superiori a circa 20, una distribuzione normale con la stessa media e la stessa varianza approssima bene la distribuzione di Poisson ed è spesso più semplice da usare manualmente.

Perché il calcolatore mostra talvolta un numero in notazione scientifica? I risultati vengono normalmente mostrati con sei cifre decimali. Quando una probabilità è inferiore a 0,0001, sei cifre decimali la arrotonderebbero a 0,000000, nascondendo quanto sia realmente piccola; per questo il calcolatore passa alla notazione scientifica. Per λ = 20 e k = 1 mostra 4.122307e-8, che significa 0,00000004122307.

Ci sono limiti ai valori accettati dal calcolatore? Sì. λ deve essere maggiore di 0 e non superiore a 700, mentre k deve essere un numero intero compreso tra 0 e 1000. Al di fuori di questi limiti il calcolatore mostra un errore. I limiti mantengono il risultato nell'intervallo di numeri che un computer può memorizzare e il grafico entro un numero leggibile di barre.

La distribuzione di Poisson consente più di un evento alla volta? No. Il modello presuppone che gli eventi si verifichino uno alla volta. Se due eventi si verificano regolarmente insieme, un'altra distribuzione descrive meglio i dati.

Riferimenti

1. Poisson, Siméon Denis. Recherches sur la probabilité des jugements en matière criminelle et en matière civile. Parigi, 1837.
2. Haight, Frank A. Handbook of the Poisson Distribution. New York: John Wiley & Sons, 1967.
3. "Poisson Distribution." NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods, sezione 1,3.6,6.19. https://www.itl.nist.gov/div898/handbook/eda/section3/eda366j.htm
4. Johnson, Norman L., Adrienne W. Kemp e Samuel Kotz. Univariate Discrete Distributions. John Wiley & Sons, 2005.