Calcolatore della Distribuzione di Poisson - Calcola le Probabilità degli Eventi

Che cos'è un calcolatore della distribuzione di Poisson?

Un calcolatore della distribuzione di Poisson determina la probabilità che si verifichi un certo numero di eventi in un intervallo fisso di tempo o di spazio, dato il numero medio di volte in cui gli eventi si verificano. Si usa quando gli eventi si verificano uno alla volta, indipendentemente gli uni dagli altri, con un tasso medio costante. Esempi tipici sono il numero di telefonate ricevute da un call center in un'ora o il numero di refusi in una pagina.

Formula della distribuzione di Poisson

La distribuzione di Poisson fornisce la probabilità di esattamente k eventi quando il numero medio di eventi nell'intervallo è λ (la lettera greca lambda). La sua funzione di massa di probabilità è:

$P(X = k) = \dfrac{e^{-\lambda} \lambda^{k}}{k!}$

Ogni simbolo significa:

• λ (lambda) — il numero medio di eventi per intervallo. È l'unico dato di ingresso di cui la distribuzione ha bisogno.
• k — il numero esatto di eventi di cui si sta calcolando la probabilità. Deve essere un numero intero, 0 o maggiore.
• e — il numero di Eulero, una costante fissa pari a circa 2,71828.
• k! — «k fattoriale», il prodotto di tutti i numeri interi da 1 fino a k. Per esempio, 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24. Per convenzione, 0! = 1.

La formula richiede solo λ e k. Non richiede un numero totale di prove, a differenza della distribuzione binomiale.

Come calcolare una probabilità di Poisson

1. Scegliere λ, il numero medio di eventi nell'intervallo analizzato.
2. Scegliere k, il numero esatto di eventi di cui si vuole trovare la probabilità.
3. Elevare e alla potenza di −λ: si ottiene e^(−λ).
4. Elevare λ alla potenza di k: si ottiene λ^k.
5. Trovare k!, il fattoriale di k.
6. Moltiplicare i risultati dei passaggi 3 e 4, quindi dividere per il risultato del passaggio 5.

Il numero ottenuto è una probabilità compresa tra 0 e 1. Moltiplicarlo per 100 per esprimerlo in percentuale.

Esempio svolto

Un call center riceve in media 5 chiamate all'ora (λ = 5). Qual è la probabilità che riceva esattamente 3 chiamate in una determinata ora (k = 3)?

1. e^(−5) ≈ 0,00673795
2. 5^3 = 125
3. 3! = 3 × 2 × 1 = 6
4. Moltiplicare: 0,00673795 × 125 ≈ 0,842244
5. Dividere per 6: 0,842244 ÷ 6 ≈ 0,140374

La probabilità di esattamente 3 chiamate in quell'ora è circa 0,140, cioè il 14%.

Altri esempi

Dove si usa la distribuzione di Poisson

La distribuzione di Poisson modella conteggi di eventi rari e indipendenti. Gli usi comuni includono:

• Call center e assistenza clienti: prevedere quante chiamate o chat arrivano ogni ora.
• Produzione: stimare il numero di difetti in un lotto di prodotti.
• Assicurazioni: stimare quanti sinistri verranno denunciati in un determinato periodo.
• Biologia e medicina: modellare il numero di mutazioni o la diffusione di malattie rare.
• Fisica: descrivere il decadimento radioattivo, in cui ogni atomo decade indipendentemente con un tasso medio costante.
• Traffico e ingegneria delle reti: stimare gli arrivi di veicoli a un incrocio o le richieste che raggiungono un server.

Condizioni per usare la distribuzione di Poisson

La distribuzione di Poisson è adatta a una situazione solo quando valgono tutte le condizioni seguenti:

• Gli eventi si verificano uno alla volta; due eventi non possono verificarsi esattamente nello stesso istante.
• Gli eventi si verificano indipendentemente: un evento non rende il successivo più o meno probabile.
• Il tasso medio, λ, rimane costante nell'intervallo analizzato.

Se il tasso cambia nel tempo o gli eventi tendono a raggrupparsi, la distribuzione di Poisson semplice non descrive bene i dati.

Distribuzione di Poisson e distribuzioni correlate

• Distribuzione binomiale: si usa quando il numero di prove è fisso e la probabilità di successo di ciascuna è nota, per esempio lanciare una moneta 20 volte. La distribuzione di Poisson si adatta al caso in cui la probabilità dell'evento a ogni prova è molto piccola ma il numero di prove è molto grande. Il prodotto tra il numero di prove e la probabilità per prova svolge allora il ruolo di λ.
• Distribuzione normale: per valori grandi di λ, la distribuzione di Poisson somiglia molto a una distribuzione normale a forma di campana, con media λ e varianza λ.
• Distribuzione esponenziale: mentre la distribuzione di Poisson conta quanti eventi si verificano in un intervallo fisso, la distribuzione esponenziale descrive il tempo di attesa tra tali eventi.

Una nota sulla storia

Il matematico francese Siméon Denis Poisson introdusse la distribuzione nel 1837, in un libro sull'applicazione della probabilità ai verdetti dei tribunali. All'epoca l'opera ebbe poca fortuna. Nel 1898 Ladislaus Bortkiewicz pubblicò La legge dei piccoli numeri. Mostrò che gli eventi rari in una popolazione numerosa seguono una distribuzione di Poisson, usando il numero di soldati prussiani uccisi ogni anno da calci di cavallo.

Domande frequenti

Che cosa significa lambda (λ) in una distribuzione di Poisson? Lambda è il numero medio di eventi attesi nell'intervallo studiato. È anche la varianza della distribuzione, poiché la deviazione standard è √λ: un λ più grande significa quindi sia un conteggio medio più alto sia una maggiore dispersione dei risultati possibili.

k o λ possono essere negativi o frazionari? λ deve essere maggiore di 0 ma può essere decimale, per esempio 2,5 eventi all'ora. k deve essere un numero intero pari o superiore a 0, perché conta eventi reali; non può essere negativo né frazionario. Il calcolatore limita inoltre λ a 700 e k a 1.000 per mantenere stabili i risultati dal punto di vista numerico.

In che modo la distribuzione di Poisson differisce da quella binomiale? La distribuzione binomiale richiede un numero fisso di prove e una probabilità di successo fissa per prova. La distribuzione di Poisson richiede solo un tasso medio ed è adatta a eventi che, in linea di principio, possono verificarsi un numero qualsiasi di volte.

Quando conviene usare invece la distribuzione normale? Per valori grandi di λ, una distribuzione normale con la stessa media e la stessa varianza approssima molto bene la distribuzione di Poisson ed è spesso più semplice da usare a mano.

Perché il calcolatore a volte mostra un numero in notazione scientifica? Quando la probabilità è inferiore a 0,0001, il calcolatore passa alla notazione scientifica con sei cifre decimali (per esempio 1.000000e-7). I risultati più grandi sono mostrati con sei cifre decimali. Una visualizzazione fissa a sei decimali mostrerebbe i risultati minuscoli come 0,000000 e nasconderebbe quanto sono piccoli.

La distribuzione di Poisson consente più di un evento alla volta? No. Il modello presuppone che gli eventi si verifichino uno alla volta. Se due eventi si verificano regolarmente insieme, un'altra distribuzione descrive meglio i dati.

Riferimenti

1. NIST/SEMATECH. e-Handbook of Statistical Methods, 1.3.6.6.19 Poisson Distribution. NIST: distribuzione di Poisson — funzione di massa di probabilità, media λ e deviazione standard √λ.
2. MacTutor History of Mathematics, University of St Andrews. Siméon-Denis Poisson. MacTutor: Poisson — la distribuzione compare per la prima volta nelle Recherches del 1837; probabilità piccola, numero grande di prove; poca fortuna all'epoca.
3. MacTutor History of Mathematics, University of St Andrews. Ladislaus Bortkiewicz. MacTutor: Bortkiewicz — The Law of Small Numbers (1898) e i dati prussiani sui calci di cavallo.