Calcolatore della Distribuzione di Laplace - Strumento Gratuito di PDF e Visualizzazione

Che cos'è la distribuzione di Laplace?

La distribuzione di Laplace, chiamata anche distribuzione esponenziale doppia, è una distribuzione di probabilità continua dalla forma di due curve esponenziali unite dorso contro dorso nel loro punto massimo. È simmetrica rispetto a un valore centrale e ha code più pesanti della distribuzione normale, quindi assegna una probabilità maggiore ai valori estremi. Il calcolatore della distribuzione di Laplace in questa pagina trova la densità di probabilità massima della distribuzione a partire da un parametro di posizione e da un parametro di scala, e traccia l'intera curva di densità.

La distribuzione prende il nome da Pierre-Simon Laplace, il matematico francese che la descrisse per primo nel 1774.

Formula della distribuzione di Laplace

La funzione di densità di probabilità (PDF) della distribuzione di Laplace è:

$f(x \mid \mu, b) = \frac{1}{2b} \exp\left(-\frac{|x-\mu|}{b}\right)$

• x è un punto qualsiasi della retta numerica.
• μ (mu), il parametro di posizione, è il centro della distribuzione. È anche la media e la mediana.
• b, il parametro di scala, controlla quanto è dispersa la distribuzione. Deve essere maggiore di 0.
• |x − μ| è la distanza tra x e il centro, ignorando la direzione.

La curva raggiunge il suo punto massimo esattamente in x = μ. In quel punto la formula si semplifica, perché |μ − μ| = 0 ed exp(0) = 1, ottenendo:

$f(\mu \mid \mu, b) = \frac{1}{2b}$

Questo valore massimo, 1/(2b), è il numero riportato dal calcolatore.

Come usare il calcolatore della distribuzione di Laplace

1. Inserire il parametro di posizione (μ). Questo stabilisce il punto centrale della distribuzione.
2. Inserire il parametro di scala (b). Deve essere un numero positivo; quanto maggiore è il valore, tanto più piatta e dispersa è la curva.
3. Il calcolatore mostra la densità massima, 1/(2b), e traccia la curva di densità f(x) da μ − 4b a μ + 4b. L'asse verticale del grafico rappresenta la densità di probabilità e la curva può essere scaricata come tabella dei valori di x e f(x).

Il calcolatore non richiede un valore separato di x. Riporta sempre la densità nel punto massimo della distribuzione, x = μ, perché questo è il singolo valore riassuntivo più utile per confrontare distribuzioni con scale diverse. Per trovare la densità in un altro punto, usare la formula precedente con il valore di x di interesse oppure leggere l'altezza dal grafico.

Esempio di calcolo

Si considerino una posizione μ = 4 e una scala b = 2.

1. Verificare che b sia positivo: 2 > 0, quindi i valori inseriti sono validi.
2. Il massimo si trova in x = μ = 4, dove |x − μ| = 0.
3. Calcolare la densità massima: 1 / (2 × 2) = 1 / 4 = 0,25.

Il calcolatore visualizza 0,250000. La curva tracciata raggiunge il massimo in (4, 0,25) e decresce simmetricamente su entrambi i lati, estendendosi da μ − 4b a μ + 4b, cioè da −4 a 12 in questo caso.

Poiché la formula della densità massima, 1/(2b), non include μ, modificare la posizione sposta semplicemente la curva verso sinistra o verso destra. Non ne cambia l'altezza. Solo il parametro di scala modifica l'altezza.

Altri esempi

Media, varianza e deviazione standard

Per una distribuzione di Laplace con posizione μ e scala b:

• Media = μ
• Mediana = μ
• Varianza = 2b²
• Deviazione standard = b√2

Distribuzione di Laplace e distribuzione normale

Entrambe le distribuzioni sono simmetriche e hanno forma a campana, ed entrambe sono descritte completamente da un centro e da un parametro di dispersione. La differenza riguarda le code. Nella distribuzione normale, la densità diminuisce con il quadrato della distanza dalla media, quindi i valori estremi diventano molto rapidamente quasi impossibili. Nella distribuzione di Laplace diminuisce con la distanza semplice, perciò i valori estremi rimangono relativamente più probabili. Questo rende utile la distribuzione di Laplace quando i dati reali presentano più valori anomali di quanti ne prevedrebbe una distribuzione normale.

Usi comuni

• Elaborazione di segnali e immagini: modellizzazione del rumore e compressione delle immagini, poiché le differenze tra pixel o segnali spesso si concentrano intorno allo zero, con occasionali variazioni elevate.
• Privacy differenziale: il meccanismo di Laplace aggiunge rumore distribuito secondo Laplace ai risultati delle query per proteggere i dati individuali preservando al contempo l'accuratezza complessiva.
• Statistica robusta e regressione: la regressione Lasso usa una distribuzione a priori con forma di Laplace, che favorisce soluzioni in cui molti coefficienti sono esattamente pari a zero.
• Finanza: modellizzazione dei rendimenti degli strumenti finanziari, che tendono ad avere code più pesanti di quanto suggerisca una distribuzione normale.
• Sismologia: compare nei modelli degli schemi di magnitudo dei terremoti correlati alla legge di Gutenberg-Richter.

Domande frequenti

Che cosa significa il risultato del calcolatore?

È il valore massimo della funzione di densità di probabilità, pari a 1/(2b). Rappresenta l'altezza della curva nel suo centro, x = μ.

Perché il calcolatore non richiede un valore di x?

La densità massima, 1/(2b), è la stessa per ogni valore di x uguale a μ, quindi non è necessario inserire separatamente x per trovarla. È il valore singolo standard usato per confrontare quanto siano alte e strette, oppure basse e larghe, due distribuzioni di Laplace. La curva completa, che mostra la densità per ogni x, è disponibile nel grafico.

Come si trova la densità in un punto diverso dal massimo?

Usare la formula $f(x) = \frac{1}{2b} \exp\left(-\frac{|x-\mu|}{b}\right)$ con il valore di x di interesse, oppure leggere direttamente l'altezza dalla curva tracciata.

In che modo la distribuzione di Laplace differisce dalla distribuzione esponenziale?

La distribuzione di Laplace può essere costruita a partire da due distribuzioni esponenziali. Se X e Y sono variabili casuali esponenziali indipendenti con lo stesso tasso, allora X − Y segue una distribuzione di Laplace centrata in 0.

Quali sono gli usi tipici della distribuzione di Laplace?

È usata nell'elaborazione dei segnali, nella compressione delle immagini, nella privacy differenziale, nella statistica robusta, nella regressione Lasso e nella modellizzazione dei rendimenti finanziari e delle magnitudo dei terremoti, ovunque i dati reali mostrino più valori estremi di quanti ne preveda una distribuzione normale.

La distribuzione di Laplace può assumere valori negativi o riguarda solo valori positivi?

È definita per tutti i numeri reali, sia positivi sia negativi, a differenza della distribuzione esponenziale, che assume solo valori non negativi.

Riferimenti

1. Kotz, S., Kozubowski, T. e Podgórski, K. (2001). The Laplace Distribution and Generalizations. Birkhäuser, Boston, MA.
2. "Laplace distribution." Wikipedia, Wikimedia Foundation. https://en.wikipedia.org/wiki/Laplace_distribution