Calcolatore Box Plot - Generatore Gratuito di Grafici Box and Whisker

Che cos'è un diagramma a scatola?

Un diagramma a scatola, detto anche diagramma a scatola e baffi, è un grafico che riassume un insieme di numeri usando cinque valori: il minimo, il primo quartile, la mediana, il terzo quartile e il massimo. Mostra dove si concentra la maggior parte dei dati e segnala i valori insoliti, detti valori anomali, senza elencare ogni dato.

I diagrammi a scatola sono comuni nella statistica, nella scienza e nei rapporti aziendali, perché permettono di confrontare a colpo d'occhio diversi gruppi di numeri.

Il riepilogo a cinque numeri

Un diagramma a scatola si costruisce a partire da cinque numeri, calcolati dopo aver ordinato i dati dal più piccolo al più grande.

• Minimo: il valore più piccolo che non è un valore anomalo.
• Primo quartile (Q1): il valore al di sotto del quale si trova circa un quarto dei dati.
• Mediana (Q2): il valore centrale dell'insieme di dati.
• Terzo quartile (Q3): il valore al di sotto del quale si trovano circa tre quarti dei dati.
• Massimo: il valore più grande che non è un valore anomalo.

La scatola del grafico si estende da Q1 a Q3. Una linea all'interno della scatola indica la mediana. Sottili linee, chiamate baffi, si estendono dalla scatola verso il minimo e il massimo. I valori anomali sono rappresentati come punti separati oltre i baffi.

Formula del diagramma a scatola

Per un insieme di dati ordinato in senso crescente con n valori:

Mediana

$$\text{Mediana} = \begin{cases} x_{(n+1)/2} & \text{if } n \text{ è dispari} \\ \dfrac{x_{n/2} + x_{n/2+1}}{2} & \text{if } n \text{ è pari} \end{cases}$$

Quartili. Si dividono i dati ordinati in una metà inferiore e una metà superiore. Se n è dispari, la mediana viene esclusa da entrambe le metà. Quindi:

$$Q_1 = \text{mediana della metà inferiore}, \qquad Q_3 = \text{mediana della metà superiore}$$

Questo metodo è spesso chiamato metodo esclusivo. Esistono altri metodi, che possono produrre valori di Q1 e Q3 leggermente diversi per gli insiemi di dati piccoli, ma questa calcolatrice utilizza il metodo esclusivo.

Intervallo interquartile (IQR)

$$IQR = Q_3 - Q_1$$

Limiti e baffi. I limiti segnano il confine dei valori anomali. Si trovano a 1,5 volte l'IQR oltre i quartili:

$$\text{Limite inferiore} = Q_1 - 1.5 \times IQR, \qquad \text{Limite superiore} = Q_3 + 1.5 \times IQR$$

Un baffo non si ferma esattamente a un limite. Si ferma al punto dati più estremo che si trova ancora all'interno dei limiti:

$$\text{Baffo inferiore} = \min\{x_i : x_i \geq \text{Limite inferiore}\}, \qquad \text{Baffo superiore} = \max\{x_i : x_i \leq \text{Limite superiore}\}$$

Valori anomali. Qualsiasi valore al di sotto del limite inferiore o al di sopra del limite superiore è un valore anomalo e viene rappresentato come punto individuale, anziché essere incluso nel baffo.

Come calcolare un diagramma a scatola passo dopo passo

1. Ordinare i dati dal più piccolo al più grande.
2. Trovare la mediana. Con un numero dispari di valori, è il valore centrale. Con un numero pari di valori, è la media dei due valori centrali.
3. Trovare Q1: la mediana della metà inferiore dei dati, escludendo la mediana stessa quando il numero di valori è dispari.
4. Trovare Q3: la mediana della metà superiore dei dati, usando la stessa regola.
5. Calcolare l'IQR come Q3 meno Q1.
6. Calcolare i limiti inferiore e superiore usando 1,5 volte l'IQR.
7. Contrassegnare come valore anomalo qualsiasi valore esterno ai limiti.
8. Impostare i baffi sul valore più piccolo e su quello più grande che rimangono all'interno dei limiti.

Esempio

Consideriamo questo insieme di dati di 11 valori: 6, 7, 15, 36, 39, 40, 41, 42, 43, 47, 49. È già ordinato.

Con 11 valori (dispari), la mediana è il 6° valore: 40.

La metà inferiore è 6, 7, 15, 36, 39 (cinque valori, mediana esclusa). La sua mediana è il valore centrale: Q1 = 15.

La metà superiore è 41, 42, 43, 47, 49. La sua mediana è il valore centrale: Q3 = 43.

IQR = 43 − 15 = 28.

Limite inferiore = 15 − 1,5 × 28 = −27. Limite superiore = 43 + 1,5 × 28 = 85. Tutti i valori dell'insieme di dati sono compresi tra −27 e 85, quindi non ci sono valori anomali e i baffi raggiungono il minimo e il massimo effettivi: min = 6, max = 49.

Ora confrontiamo un insieme di dati con un valore anomalo: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 50. Qui Q1 = 3,5, Q3 = 9,5 e IQR = 6, da cui si ottiene un limite superiore di 9,5 + 1,5 × 6 = 18,5. Il valore 50 si trova al di sopra di tale limite, quindi viene rappresentato come valore anomalo e il baffo superiore si arresta a 11, il valore più grande ancora all'interno del limite, anziché a 50.

Come leggere un diagramma a scatola

La scatola copre il 50% centrale dei dati: una scatola ampia indica che i dati centrali sono dispersi, mentre una scatola stretta indica che sono concentrati. Se la linea della mediana è più vicina a un bordo della scatola, i dati tendono, o sono asimmetrici, verso il lato più lungo. Un baffo molto più lungo dell'altro suggerisce che i dati si estendono maggiormente da quel lato. I punti oltre i baffi sono valori anomali e spesso meritano un esame più attento, perché possono essere valori estremi reali o errori nei dati.

Usi comuni

I diagrammi a scatola servono a confrontare gruppi affiancati, per esempio i risultati dei test di diverse classi, i tempi di consegna di due fornitori o le misurazioni di un esperimento con quelle di un gruppo di controllo. Poiché un diagramma a scatola condensa un'intera distribuzione in cinque numeri, se ne possono allineare diversi sullo stesso grafico, rendendo più facile confrontare la dispersione e i valori tipici dei gruppi rispetto a una tabella di numeri grezzi.

Diagrammi a scatola a confronto con altri grafici

Un istogramma mostra più dettagliatamente la forma completa di una distribuzione, ma è più difficile da usare per confrontare molti gruppi contemporaneamente. Un diagramma a violino aggiunge una curva di densità intorno alla scatola, mostrando con maggiore precisione dove si concentrano i valori. Un grafico a dispersione mostra la relazione tra due variabili, cosa che un diagramma a scatola non può fare. La scelta dipende dall'obiettivo: confrontare gruppi (diagramma a scatola), esaminare in dettaglio la forma di una distribuzione (istogramma o diagramma a violino) oppure studiare una relazione (grafico a dispersione).

Cenni storici

Lo statistico John Tukey introdusse il diagramma a scatola nel 1970, in un'edizione preliminare del suo libro Exploratory Data Analysis. Divenne ampiamente noto dopo la pubblicazione formale del libro nel 1977. Tukey chiamò la sua versione grafico schematico. Usava già limiti pari a 1,5 volte l'ampiezza della metà centrale dei dati e disegnava separatamente, come valori anomali, i punti oltre di essi. Nel 1978 gli statistici McGill, Tukey e Larsen descrissero una versione con tacche che mostra un intervallo di confidenza attorno alla mediana.

Domande frequenti

A cosa serve un diagramma a scatola? Mostra come sono distribuiti i valori di un insieme di numeri e segnala i probabili valori anomali, usando il minimo, Q1, la mediana, Q3 e il massimo. È particolarmente utile per confrontare diversi gruppi sullo stesso grafico.

Come si legge un diagramma a scatola? La scatola si estende da Q1 a Q3 e copre la metà centrale dei dati. La linea all'interno della scatola è la mediana. I baffi raggiungono i valori più estremi che non sono anomali, mentre i valori oltre i baffi sono rappresentati come punti separati.

Come si individuano i valori anomali in un diagramma a scatola? Un valore è anomalo se è inferiore a Q1 − 1,5 × IQR o superiore a Q3 + 1,5 × IQR.

Qual è la differenza tra un diagramma a scatola e un istogramma? Un diagramma a scatola condensa una distribuzione in cinque numeri e nei valori anomali, quindi è compatto e adatto al confronto tra gruppi. Un istogramma mostra la frequenza dei valori nei diversi intervalli, fornendo maggiori dettagli sulla forma di una singola distribuzione.

Questa calcolatrice può gestire insiemi di dati piccoli? Questa calcolatrice richiede almeno cinque numeri per produrre un riepilogo a cinque numeri. I diagrammi a scatola sono più informativi con insiemi di dati più grandi, perché pochi valori forniscono poche indicazioni sulla dispersione o sui valori anomali.

Che cosa significa se un diagramma a scatola appare asimmetrico? Se la mediana è più vicina a Q1, i dati hanno una coda più lunga verso i valori alti. Se è più vicina a Q3, i dati hanno una coda più lunga verso i valori bassi.

Riferimenti

1. National Institute of Standards and Technology. NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods, 1.3.3.7 Box Plot. Manuale elettronico NIST: diagramma a scatola — la scatola copre il 50% centrale dei dati; con i limiti, i baffi terminano nei punti più estremi all'interno dei limiti interni.
2. National Institute of Standards and Technology. NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods, 7.1.6 What are outliers in the data?. Manuale elettronico NIST: valori anomali — limiti interni a Q1 − 1,5 × IQR e Q3 + 1,5 × IQR; i punti oltre di essi sono valori anomali.
3. Wickham, H. e Stryjewski, L. 40 years of boxplots (2011). 40 anni di diagrammi a scatola (PDF) — Tukey introdusse il diagramma a scatola nel 1970 e lo pubblicò formalmente nel 1977; il suo grafico schematico usava limiti a 1,5 ×; il diagramma a scatola con tacche di McGill, Tukey e Larsen del 1978 mostra gli intervalli di confidenza attorno alla mediana.