Calcolatore Z-Test - Strumento Gratuito per la Significatività Statistica

Che cos'è un test z?

Un test z è un test statistico che verifica se la media di un campione differisce in modo significativo dalla media nota della popolazione, quando la deviazione standard della popolazione è già nota. Produce un unico numero, il punteggio z, che indica di quante deviazioni standard la media del campione si discosta dalla media della popolazione. Ricercatori, ispettori della qualità e analisti lo usano per valutare se una differenza osservata è probabilmente reale o è semplicemente dovuta al caso.

Formula del test z

Il test z calcola un punteggio z con questa formula, la statistica di test per il caso in cui la deviazione standard è nota riportata nel NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods:

$Z = \dfrac{\bar{x} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}}$

• $\bar{x}$ è la media del campione
• $\mu$ è la media della popolazione
• $\sigma$ è la deviazione standard della popolazione
• $n$ è la dimensione del campione

La parte inferiore della formula, $\sigma / \sqrt{n}$, è chiamata errore standard. Misura quanto ci si aspetta che varino le medie campionarie esclusivamente a causa del campionamento casuale.

Come calcolare un test z passo dopo passo

1. Calcolare la media del campione ($\bar{x}$) a partire dai dati raccolti.
2. Identificare la media nota della popolazione ($\mu$).
3. Identificare la deviazione standard nota della popolazione ($\sigma$).
4. Contare la dimensione del campione ($n$).
5. Sottrarre $\mu$ da $\bar{x}$.
6. Dividere $\sigma$ per la radice quadrata di $n$ per ottenere l'errore standard.
7. Dividere il risultato del passaggio 5 per il risultato del passaggio 6. Il risultato è il punteggio z.

Esempio svolto

Una fabbrica dichiara che i suoi bulloni hanno una lunghezza media di 10 cm, con una deviazione standard della popolazione di 0,2 cm. Un ispettore misura 100 bulloni e trova una media campionaria di 10,05 cm.

• $\bar{x} = 10.05$
• $\mu = 10$
• $\sigma = 0.2$
• $n = 100$

Errore standard: $0.2 / \sqrt{100} = 0.2 / 10 = 0.02$

Punteggio z: $(10.05 - 10) / 0.02 = 0.05 / 0.02 = 2.5$

Il punteggio z è 2,5. La media campionaria si trova a 2,5 errori standard sopra la media della popolazione.

Come interpretare un punteggio z

Un punteggio z vicino a 0 indica che la media campionaria è vicina alla media della popolazione. Un punteggio z positivo o negativo di grande entità indica che la media campionaria è lontana dalla media della popolazione, il che suggerisce una differenza reale anziché una variazione casuale.

Valori critici più comuni per la distribuzione normale, per un test a due code:

• α = 0,10 (livello di confidenza del 90%): z = ±1,645
• α = 0,05 (livello di confidenza del 95%): z = ±1,96
• α = 0,01 (livello di confidenza del 99%): z = ±2,576

Se il punteggio z calcolato supera il valore critico per il livello di significatività scelto, il risultato è definito statisticamente significativo e l'ipotesi nulla (secondo cui non esiste alcuna differenza) viene rifiutata.

Nell'esempio svolto, z = 2,5 supera ±1,96, quindi la differenza è statisticamente significativa al livello 0,05. Il valore p a due code per z = 2,5 è circa l'1,24%, il che significa che c'è all'incirca 1 possibilità su 80 di osservare una differenza di questa entità se la vera lunghezza media dei bulloni fosse davvero 10 cm.

Quando usare un test z

Un test z è appropriato quando:

• La deviazione standard della popolazione è nota.
• La dimensione del campione è sufficientemente grande, di solito superiore a 30.
• I dati provengono da un campionamento casuale.
• La popolazione è distribuita normalmente oppure il campione è abbastanza grande da consentire l'applicazione del teorema del limite centrale.

Se la deviazione standard della popolazione è sconosciuta o il campione è piccolo, si usa invece un test t. Il test t stima la variabilità a partire dal campione stesso e tiene conto dell'ulteriore incertezza che ne deriva.

Test z e test t

Entrambi i test misurano quanto la media di un campione si discosta da un valore atteso, in unità di errore standard. Il test z presuppone che la deviazione standard della popolazione sia nota. Il test t stima tale valore dal campione e usa una distribuzione più larga, che dipende dalla dimensione del campione, per tenere conto dell'incertezza aggiuntiva. In pratica il test t è usato più spesso. Il NIST descrive il caso in cui la deviazione standard deve essere stimata dai dati come quello più tipico.

Usi del test z nel mondo reale

• Controllo qualità: verificare se un lotto di componenti fabbricati è conforme alle specifiche obiettivo.
• Ricerca medica: confrontare il risultato medio di un gruppo sottoposto a un trattamento con un valore noto della popolazione.
• Istruzione: confrontare i punteggi di una classe in un test con una media nazionale.
• Finanza: verificare se i rendimenti di un fondo differiscono da una media di riferimento.

Cenni storici

La distribuzione normale alla base del test z fu descritta da Abraham de Moivre, che la usò nel 1733 come approssimazione della distribuzione binomiale. Carl Friedrich Gauss e Pierre-Simon Laplace svilupparono ulteriormente la teoria all'inizio del 1800. I metodi formali di verifica delle ipotesi, compreso l'uso dei punteggi z e dei valori critici per giudicare la significatività statistica, furono sviluppati all'inizio del 20º secolo da statistici tra cui Ronald Fisher, Jerzy Neyman ed Egon Pearson.

Domande frequenti

Qual è la differenza tra un test z e un test t?

Un test z richiede una deviazione standard nota della popolazione e funziona meglio con campioni grandi. Un test t si usa quando la deviazione standard della popolazione è sconosciuta e deve essere stimata dal campione; funziona sia con campioni piccoli sia con campioni grandi.

Quale dimensione del campione serve per un test z?

Una dimensione del campione superiore a 30 è la regola empirica comune. Al di sotto di tale valore, i risultati di un test z diventano inaffidabili e il test t è generalmente la scelta migliore.

Che cosa significa un punteggio z di 2,5?

Un punteggio z di 2,5 significa che la media campionaria si trova a 2,5 errori standard sopra la media della popolazione. Questo valore supera il valore critico a due code di ±1,96 per un livello di confidenza del 95%, quindi la differenza è statisticamente significativa a quel livello. Il valore p a due code per z = 2,5 è circa 1,24%.

Che cos'è il valore p in un test z?

Il valore p è la probabilità di ottenere un risultato almeno altrettanto estremo di quello osservato, se non ci fosse realmente alcuna differenza rispetto alla media della popolazione. Un valore p più piccolo costituisce un'evidenza più forte contro l'ipotesi nulla. Un valore p inferiore a 0,05 viene comunemente considerato statisticamente significativo.

Che cos'è l'ipotesi nulla in un test z?

L'ipotesi nulla afferma che non esiste alcuna differenza tra la media campionaria e la media della popolazione. Il test z misura quanta evidenza il campione fornisce contro tale affermazione.

Si può usare un test z per campioni piccoli?

Non è consigliato. Con un campione piccolo o con una deviazione standard della popolazione sconosciuta, il test t fornisce risultati più accurati perché tiene conto dell'ulteriore incertezza associata alla stima della variabilità a partire da dati limitati.

Riferimenti

1. National Institute of Standards and Technology. NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods, sezione 7.2.2 "Are the data consistent with the assumed process mean?". NIST e-Handbook 7.2.2 — z = (Ȳ − μ₀)/(σ/√N) quando la deviazione standard è nota; stimarla dai dati è il caso più tipico.
2. National Institute of Standards and Technology. NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods, sezione 1.3.6.7.1 "Cumulative Distribution Function of the Standard Normal Distribution". NIST e-Handbook 1.3.6.7.1 — valori critici 1,282, 1,645, 1,960, 2,326 e 2,576; l'area da 0 a 2,5 è 0,49379.
3. MacTutor History of Mathematics, University of St Andrews. Abraham de Moivre. MacTutor: Abraham de Moivre — de Moivre ricavò la curva normale nel 1733 come approssimazione della binomiale.