Calcolatore T-Test - Strumento Gratuito di Analisi Statistica Online

Che cos'è un test t?

Un test t è un metodo statistico che verifica se la media di un insieme di numeri è significativamente diversa da un'altra media o da un valore fisso. È chiamato anche test t di Student. I ricercatori lo usano per confrontare due gruppi, ad esempio un gruppo sottoposto a trattamento e un gruppo di controllo, oppure per confrontare un gruppo con uno standard noto.

Il test produce un numero chiamato statistica t. Una statistica t lontana da zero suggerisce che le medie siano realmente diverse. Una statistica t vicina a zero suggerisce che la differenza possa essere dovuta soltanto a variazioni casuali.

Tipi di test t

Questo calcolatore supporta tre tipi di test t.

• Test t a un campione: confronta la media di un campione con un valore noto o ipotizzato.
• Test t a due campioni: confronta le medie di due campioni indipendenti, ad esempio due gruppi distinti di persone. Questo calcolatore usa il test t di Welch, che non presuppone che i due gruppi presentino la stessa variabilità.
• Test t per dati appaiati: confronta due serie di misurazioni effettuate sugli stessi soggetti, ad esempio i punteggi prima e dopo un trattamento.

Come usare il calcolatore del test t

1. Scegliere il tipo di test: a un campione, a due campioni o per dati appaiati.
2. Inserire i dati.
   • Un campione: inserire i valori del campione, separati da virgole, e la media della popolazione con cui effettuare il confronto.
   • Due campioni: inserire i due campioni come elenchi separati di valori separati da virgole.
   • Dati appaiati: inserire le coppie nel formato (x1,y1), (x2,y2) e così via.
3. Impostare un livello di significatività, comunemente 0,05. Il calcolatore non usa questo valore. Riporta il valore p e lascia all'utente la decisione.
4. La statistica t, i gradi di libertà e il valore p vengono visualizzati non appena sono disponibili dati sufficienti. Non è necessario premere alcun pulsante.

Per valutare la significatività, confrontare il valore p con il livello di significatività. Se il valore p è minore o uguale al livello di significatività, la differenza è considerata statisticamente significativa.

Formula del test t

Formula del test t a un campione

$$t = \frac{\bar{x} - \mu_0}{s / \sqrt{n}}$$

$\bar{x}$ è la media del campione, $\mu_0$ è il valore con cui viene effettuato il confronto, $s$ è la deviazione standard del campione e $n$ è la dimensione del campione. Gradi di libertà: $df = n - 1$.

Formula del test t a due campioni (test di Welch)

$$t = \frac{\bar{x}_1 - \bar{x}_2}{\sqrt{\dfrac{s_1^2}{n_1} + \dfrac{s_2^2}{n_2}}}$$

I gradi di libertà derivano dall'equazione di Welch–Satterthwaite:

$$df = \frac{\left(\dfrac{s_1^2}{n_1} + \dfrac{s_2^2}{n_2}\right)^2}{\dfrac{(s_1^2/n_1)^2}{n_1 - 1} + \dfrac{(s_2^2/n_2)^2}{n_2 - 1}}$$

Questa formula produce di norma un valore di df che non è un numero intero.

Formula del test t per dati appaiati

$$t = \frac{\bar{d}}{s_d / \sqrt{n}}$$

$\bar{d}$ è la media delle differenze tra ciascuna coppia, $s_d$ è la deviazione standard di tali differenze e $n$ è il numero di coppie. Gradi di libertà: $df = n - 1$.

Come calcolare un test t: esempio svolto

Un produttore sostiene che una batteria duri in media 50 ore. Un tecnico verifica nove batterie e registra le seguenti durate, espresse in ore:

51, 49, 52, 48, 50, 47, 53, 49, 51

Passaggio 1: formulare le ipotesi. Ipotesi nulla: la media reale è di 50 ore. Ipotesi alternativa: la media reale non è di 50 ore.

Passaggio 2: calcolare la media del campione.

$$\bar{x} = \frac{51+49+52+48+50+47+53+49+51}{9} = 50.00$$

Passaggio 3: calcolare la deviazione standard del campione. Gli scarti dalla media sono 1, -1, 2, -2, 0, -3, 3, -1, 1. Elevati al quadrato, sono 1, 1, 4, 4, 0, 9, 9, 1, 1, la cui somma è 30.

$$s = \sqrt{\frac{30}{9-1}} = \sqrt{3.75} \approx 1.94$$

Passaggio 4: calcolare la statistica t.

$$t = \frac{50.00 - 50}{1.94 / \sqrt{9}} = 0.00$$

Passaggio 5: calcolare i gradi di libertà.

$$df = 9 - 1 = 8$$

Passaggio 6: calcolare il valore p. Con $t = 0$ e $df = 8$, il valore p a due code è 1,00.

Passaggio 7: trarre una conclusione. Poiché 1,00 è maggiore di 0,05, non ci sono prove sufficienti per affermare che la durata media delle batterie sia diversa da 50 ore.

Ipotesi del test t

Un test t fornisce risultati affidabili solo quando sono rispettate, almeno approssimativamente, alcune condizioni.

• Normalità: i dati dovrebbero avere una distribuzione approssimativamente a campana, soprattutto nei campioni piccoli.
• Indipendenza: ogni osservazione non dovrebbe influenzare le altre osservazioni.
• Campionamento casuale: i dati dovrebbero provenire da un campione casuale della popolazione studiata.

Nel test t per dati appaiati, queste condizioni si applicano alle differenze tra le coppie, non ai punteggi originali. Nei campioni più grandi, indicativamente oltre 30 osservazioni, un test t tende a rimanere accurato anche quando i dati non hanno una forma perfettamente a campana, grazie a una proprietà statistica chiamata teorema del limite centrale.

Alternative al test t

Quando le ipotesi sopra indicate non sono rispettate, è possibile usare altri test.

• Test U di Mann-Whitney: alternativa non parametrica al test t a due campioni.
• Test dei ranghi con segno di Wilcoxon: alternativa non parametrica al test t per dati appaiati.
• ANOVA: confronta contemporaneamente le medie di tre o più gruppi, invece di confrontare soltanto due gruppi.

Storia del test t

William Sealy Gosset sviluppò il test t nel 1908 mentre lavorava come chimico presso il birrificio Guinness di Dublino. Guinness non consentiva al personale di pubblicare ricerche con il proprio nome, quindi Gosset usò lo pseudonimo "Student". Per questo il metodo è spesso chiamato test t di Student. Gosset lo creò per valutare se piccoli lotti di ingredienti per la produzione della birra rispettassero gli standard di qualità, usando ogni volta soltanto pochi campioni.

Domande frequenti

A cosa serve un test t?

Un test t verifica se la media di un campione è significativamente diversa da un'altra media o da un valore fisso. È usato comunemente nella ricerca medica, psicologica, educativa e aziendale.

Quando si deve usare un test t a un campione, a due campioni o per dati appaiati?

Usare un test t a un campione per confrontare la media di un campione con un valore noto. Usare un test t a due campioni per confrontare due gruppi distinti e non correlati. Usare un test t per dati appaiati quando gli stessi soggetti vengono misurati due volte, ad esempio prima e dopo un trattamento.

Qual è la differenza tra un test t e un test z?

Un test t viene usato quando il campione è piccolo o quando la deviazione standard della popolazione non è nota. Un test z viene usato per campioni grandi quando la deviazione standard della popolazione è nota. Nella pratica, il test t viene usato molto più spesso perché la deviazione standard della popolazione raramente è nota in anticipo.

Come si interpreta un valore p ottenuto da un test t?

Il valore p è la probabilità di osservare una differenza di questa entità, o maggiore, se in realtà non esistesse alcuna differenza reale. Un valore p piccolo, generalmente minore o uguale a 0,05, suggerisce che la differenza osservata difficilmente sia dovuta soltanto al caso.

Che cos'è il test t di Welch?

Il test t di Welch è una versione del test t a due campioni che non richiede che i due gruppi abbiano la stessa varianza. Questo calcolatore usa sempre il metodo di Welch per i test a due campioni, perché rimane accurato indipendentemente dal fatto che i due gruppi presentino o meno la stessa variabilità.

Cosa sono i gradi di libertà in un test t?

I gradi di libertà sono un numero, basato sulla dimensione del campione, che determina la forma esatta della distribuzione t usata per trovare il valore p. In un test t a un campione o per dati appaiati, i gradi di libertà sono uguali alla dimensione del campione meno 1. Il test t di Welch a due campioni usa una formula che di norma produce un valore non intero.

Riferimenti

1. Gosset, W. S. (1908). "The Probable Error of a Mean." Biometrika, 6(1), 1–25.
2. NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods, Sezione 1.3.6.7.2, "Critical Values of the Student's t Distribution."