Calcolatore del Test Esatto di Fisher - Strumento Statistico Gratuito

Che cos’è il test esatto di Fisher

Il test esatto di Fisher è un metodo statistico che verifica se due variabili categoriali sono correlate, utilizzando dati organizzati in una tabella 2×2. Calcola una probabilità esatta, chiamata valore p, invece di un’approssimazione. Questo lo rende utile quando il campione è piccolo.

Il test confronta i conteggi di due righe e due colonne, ad esempio i pazienti «trattati» e «non trattati» che sono o non sono guariti. Una tabella 2×2 contiene quattro celle, generalmente indicate con A, B, C e D, oltre ai totali delle righe e delle colonne.

Test esatto di Fisher e test del chi quadrato

Anche il test del chi quadrato verifica la relazione tra due variabili categoriali, ma si basa su un’approssimazione che funziona bene solo quando i conteggi nelle celle sono abbastanza elevati. Una regola pratica comune è la seguente: se uno dei conteggi attesi nella tabella è inferiore a 5, l’approssimazione del chi quadrato diventa poco affidabile e il test esatto di Fisher è la scelta migliore. Il test esatto di Fisher funziona con campioni di qualsiasi dimensione, ma è esatto dal punto di vista matematico anziché approssimato, e questo costituisce il suo principale vantaggio per i campioni piccoli.

Come si calcola il test esatto di Fisher

Il test utilizza la distribuzione ipergeometrica, che descrive la probabilità di estrarre un certo numero di elementi da un gruppo senza reinserirli. Dati i totali delle righe e delle colonne di una tabella, la distribuzione ipergeometrica fornisce la probabilità di qualsiasi specifica disposizione dei quattro conteggi delle celle.

Formula della probabilità

Per una tabella con celle A, B, C, D, totali delle righe r₁ = A + B e r₂ = C + D, totali delle colonne c₁ = A + C e c₂ = B + D, e dimensione totale del campione n = A + B + C + D, la probabilità di quella tabella esatta è:

$P = \frac{\operatorname{fact}(r_1)\, \operatorname{fact}(r_2)\, \operatorname{fact}(c_1)\, \operatorname{fact}(c_2)}{\operatorname{fact}(A)\, \operatorname{fact}(B)\, \operatorname{fact}(C)\, \operatorname{fact}(D)\, \operatorname{fact}(n)}$

Qui «fattoriale» indica il prodotto di tutti gli interi positivi fino al numero considerato: il fattoriale di 5 è 5 × 4 × 3 × 2 × 1.

Valore p a una coda

Un valore p a una coda somma la probabilità della tabella osservata e quella di ogni altra tabella con gli stessi totali di riga e colonna che mostra una relazione altrettanto forte o più forte nella stessa direzione. La «direzione» viene stabilita confrontando la cella A con il valore che avrebbe se le due variabili fossero indipendenti, chiamato valore atteso: E(A) = r₁c₁ / n.

• Se A è uguale o maggiore di E(A), l’associazione tende a essere positiva e la somma comprende ogni possibile valore della cella A, dal valore osservato fino al valore massimo possibile.
• Se A è minore di E(A), l’associazione tende a essere negativa e la somma va dal valore minimo possibile della cella A fino al valore osservato.

Valore p a due code

Un valore p a due code somma le probabilità di ogni tabella possibile con gli stessi totali di riga e colonna la cui probabilità è uguale o inferiore a quella della tabella osservata. In questo modo vengono conteggiati i risultati estremi in entrambe le direzioni, perciò un valore p a due code è normalmente maggiore di un valore p a una coda calcolato sulla stessa tabella.

Esempio svolto

Un piccolo studio assegna un nuovo farmaco a 10 pazienti e un placebo ad altri 10. I risultati sono i seguenti:

Qui A = 8, B = 2, C = 3, D = 7 e n = 20. Il valore atteso di A in condizioni di indipendenza è E(A) = (10 × 11) / 20 = 5.5. Poiché 8 è maggiore di 5,5, l’associazione tende a essere positiva e la somma a una coda va da A = 8 fino al valore massimo possibile di A, che è 10.

Calcolando le probabilità ipergeometriche per A = 8, 9 e 10 si ottiene un valore p a una coda di circa 0,0349. Sommando le probabilità di ogni tabella, in entrambe le direzioni, con probabilità uguale o inferiore a quella della tabella osservata, si ottiene un valore p a due code di circa 0,0698.

Alla soglia comune di 0,05, il risultato a una coda è statisticamente significativo, mentre quello a due code non lo è. Questo mostra perché la scelta del tipo di test è importante: un test a una coda è appropriato solo quando la direzione dell’effetto, in questo caso il miglioramento degli esiti dovuto al farmaco, era stata prevista prima di esaminare i dati.

Quando usare il test esatto di Fisher

Il test esatto di Fisher è comune nei seguenti casi:

• Studi clinici con un numero ridotto di pazienti.
• Controlli di qualità che confrontano il numero di difetti tra due lotti di produzione.
• Ricerche genetiche che confrontano il conteggio di un carattere tra due gruppi piccoli.
• Qualsiasi tabella 2×2 in cui il conteggio atteso di una cella è inferiore a 5.

Domande frequenti

A cosa serve il test esatto di Fisher?
Verifica se due variabili categoriali sono correlate, utilizzando i conteggi di una tabella 2×2. Viene spesso scelto al posto del test del chi quadrato quando il campione è piccolo.

Quando si dovrebbe usare il test esatto di Fisher invece del chi quadrato?
Quando il conteggio atteso di una cella nella tabella è inferiore a 5 oppure quando è necessaria una maggiore certezza sulla probabilità esatta, indipendentemente dalla dimensione del campione.

Qual è la differenza tra i risultati a una coda e a due code?
Un valore p a una coda verifica una direzione prevista dell’effetto, stabilita prima di osservare i dati. Un valore p a due code verifica se esiste un’associazione in una delle due direzioni. Il valore p a due code ottenuto dalla stessa tabella è generalmente maggiore.

Questo calcolatore restituisce un odds ratio?
No. Restituisce solo il valore p esatto. L’odds ratio della stessa tabella può essere calcolato separatamente dividendo A × D per B × C.

Il test esatto di Fisher può essere usato per tabelle più grandi di 2×2?
La versione descritta qui è destinata alle tabelle 2×2. Le tabelle più grandi richiedono un metodo correlato chiamato estensione di Freeman-Halton, disponibile nella maggior parte dei software statistici.

Il test esatto di Fisher può essere usato con dati appaiati, come le misurazioni prima e dopo sulle stesse persone?
No. Presuppone due gruppi indipendenti. Per i dati categoriali appaiati è necessario usare invece il test di McNemar.

Riferimenti

1. Fisher, R.A. (1922). «On the interpretation of χ² from contingency tables, and the calculation of P.» Journal of the Royal Statistical Society, 85(1), 87–94.
2. Freeman, G.H. & Halton, J.H. (1951). «Note on an exact treatment of contingency, goodness of fit and other problems of significance.» Biometrika, 38(1/2), 141–149.
3. Agresti, A. (2018). An Introduction to Categorical Data Analysis (3rd ed.). Wiley.