アーチ計算機 - 半径、スパン、高さを計算

アーチ計算ツールとは？

アーチ計算ツールは、円弧状アーチの半径、スパン、ライズのうち2つの値から、残りを含む各寸法を求めます。また、弧長とアーチ面積も算出します。建築家、施工者、趣味で製作する人などが、曲線状の出入口、窓、橋、庭の構造物の計画に利用します。

アーチの主な寸法

円弧状アーチは、円周の縁から切り取った部分です。その形状は、5つの測定値で表します。

• 半径：その円の中心からアーチの曲線上の任意の点までの距離。
• スパン：アーチ下端の2点の間の直線的な水平距離。幅とも呼ばれます。
• ライズ：ばね線（両端を結ぶ水平線）からアーチの最高点までの垂直距離。
• 弧長：アーチの曲線に沿って、一方の端からもう一方の端まで測った距離。
• アーチ面積：アーチとばね線の間に囲まれた曲線領域の面積。

アーチ寸法の公式

これらの公式は、一つの円の一部で作られる円弧状アーチに当てはまります。出入口、窓、橋のアーチの多くは、ライズが半径以下です。この計算ツールは、ライズが半径より大きく半径の二倍以下となる、背の高い馬蹄形アーチにも対応しています。馬蹄形アーチでは曲線が半円より大きく、両端が内側に曲がり込みます。

ライズの公式（半径とスパンから）

$\text{ライズ} = \text{半径} - \sqrt{\text{半径}^2 - \left(\frac{\text{スパン}}{2}\right)^2}$

半径とスパンが正で、スパン ≤ 2 × 半径 のときに成り立ちます。この公式が返すのは、与えられた半径とスパンに合う二つのアーチのうち低いほうなので、ライズが半径を超えることはありません。計算ツールは、同じ値になる変形式 (スパン/2)² ÷ (半径 + √(半径² − (スパン/2)²)) で求めます。この式なら、非常に浅いアーチでも精度が保たれます。

半径の公式（スパンとライズから）

$\text{半径} = \frac{\text{スパン}^2}{8 \times \text{ライズ}} + \frac{\text{ライズ}}{2}$

スパンとライズが正の値の場合に有効です。

スパンの公式（半径とライズから）

$\text{スパン} = 2 \times \sqrt{2 \times \text{半径} \times \text{ライズ} - \text{ライズ}^2}$

半径とライズが正で、ライズ ≤ 2 × 半径 のときに成り立ちます。ライズが半径を超えると、馬蹄形アーチになります。ライズがちょうど半径の二倍になると円が閉じ、スパンは0になります。

弧長の公式

$\text{弧長} = \text{半径} \times \theta$

ここで θ（シータ）は、アーチの曲線が円の中心で描く中心角で、単位はラジアンです。計算ツールは二引数の逆正接関数 atan2 を使って求めます。これはあらゆる形のアーチに使え、θ が π を超える馬蹄形アーチにも対応します。

$\theta = 2 \times \operatorname{atan2}\left(\frac{\text{スパン}}{2},\ \text{半径} - \text{ライズ}\right)$

ライズが半径以下の場合、これは次の簡単な形と同じ角度になります。

$\theta = 2 \times \arcsin\left(\frac{\text{スパン}}{2 \times \text{半径}}\right)$

アーチ面積の公式

$\text{アーチ面積} = \frac{1}{2} \times \text{半径}^2 \times (\theta - \sin\theta)$

これは、扇形の面積から、二本の半径の間にある三角形の面積を引いたものです。式を展開すると、次と同じになります。

$\text{アーチ面積} = \frac{1}{2} \times \text{半径}^2 \times \theta - \frac{1}{2} \times \text{スパン} \times (\text{半径} - \text{ライズ})$

馬蹄形アーチでは、半径 − ライズ が負になるため、三角形の項は引くのではなく足されます。

アーチ計算ツールの使い方

計算ツールには3つのモードがあり、求めたい寸法ごとに1つずつ用意されています。

ライズを計算：半径とスパンが分かっている場合は、半径とスパンを入力します。ライズ、弧長、アーチ面積が表示されます。

半径を計算：スパンとライズが分かっている場合は、スパンとライズを入力します。半径、弧長、アーチ面積が表示されます。

スパンを計算：半径とライズが分かっている場合は、半径とライズを入力します。スパン、弧長、アーチ面積が表示されます。

計算ツールは、実在するアーチを形成できない入力を受け付けません。スパンは半径の2倍を超えられず、ライズも半径の2倍を超えられません。また、すべての寸法は正の数でなければなりません。いずれかの規則に反する値を入力すると、エラーメッセージが表示されます。

計算例

例 1：出入口のアーチ

出入口のアーチのスパンは36インチ (91.4 cm)、ライズは12インチ (30.5 cm)です。

半径 = (36² ÷ (8 × 12)) + (12 ÷ 2) = (1296 ÷ 96) + 6 = 13.5 + 6 = 19.5インチ (49.5 cm)

θ = 2 × arcsin(18 ÷ 19.5) = 2 × arcsin(0.9231) = 2 × 1.176 = 2.352ラジアン

弧長 = 19.5 × 2.352 = 45.86インチ (116 cm)

アーチ面積 = (0.5 × 19.5² × 2.352) − (0.5 × 36 × (19.5 − 12)) = 447.18 − 135 = 312.18平方インチ (2,010 cm²)

例 2：庭のアーチ

庭のアーチの半径は4フィート (1.2 m)、スパンは6フィート (1.8 m)です。

ライズ = 4 − √(4² − (6 ÷ 2)²) = 4 − √(16 − 9) = 4 − 2.6458 = 1.35フィート (0.411 m)

θ = 2 × arcsin(3 ÷ 4) = 2 × arcsin(0.75) = 2 × 0.848 = 1.696ラジアン

弧長 = 4 × 1.696 = 6.78フィート (2.07 m)

アーチ面積 = (0.5 × 4² × 1.696) − (0.5 × 6 × (4 − 1.3542)) = 13.57 − 7.94 = 5.63平方フィート (0.523 m²)

例 3：橋のアーチ

橋のアーチのスパンは50フィート (15 m)、ライズは15フィート (4.57 m)です。

半径 = (50² ÷ (8 × 15)) + (15 ÷ 2) = (2500 ÷ 120) + 7.5 = 20.83 + 7.5 = 28.33フィート (8.63 m)

θ = 2 × arcsin(25 ÷ 28.33) = 2 × arcsin(0.8824) = 2 × 1.081 = 2.162ラジアン

弧長 = 28.33 × 2.162 = 61.25フィート (18.7 m)

アーチ面積 = (0.5 × 28.33² × 2.162) − (0.5 × 50 × (28.33 − 15)) = 867.67 − 333.33 = 534.34平方フィート (49.6 m²)

例4：馬蹄形アーチ

装飾用の馬蹄形アーチの半径は10インチ (25 cm)、ライズは15インチ (38.1 cm)です。ライズが半径より大きいので、曲線は半円より大きくなります。

スパン = 2 × √(2 × 10 × 15 − 15²) = 2 × √(300 − 225) = 2 × √75 = 17.32インチ (44 cm)

θ = 2 × atan2(8.66, 10 − 15) = 2 × atan2(8.66, −5) = 4.189ラジアン（240°）

弧長 = 10 × 4.189 = 41.89インチ (106 cm)

アーチ面積 = 0.5 × 10² × (4.189 − sin 4.189) = 50 × (4.1888 + 0.8660) = 50 × 5.0548 = 252.74平方インチ (1,630 cm²)

アーチ計算の一般的な用途

施工者は、コンクリートアーチの型枠を切断したり、れんがや石造アーチの施工用型板を作成・配置したり、ヴォールト天井の曲率を計画したりするために、アーチの寸法を使います。橋梁設計者は、スパン、ライズ、半径を用いて、荷重分布と通過空間の確保とのバランスを取ります。修復作業では、歴史的なアーチを修理または再建する際に、同じ公式で正確な形状を再現します。園芸家やDIY施工者は、アーチ形のトレリス、門、装飾的な開口部に利用します。

この計算ツールが扱うのは、1つの円の弧から形成された円弧状アーチだけです。楕円アーチ、放物線アーチ、ゴシックアーチ、懸垂線アーチは異なる曲線に従うため、別の公式が必要です。

アーチの短い歴史

古代メソポタミアの建設者たちは、早くも紀元前2500年には初期のアーチ状構造を使っていました。ただし、その多くは真の曲線アーチではなく、各層が下の層より張り出すように石を積む持ち送り工法で作られていました。ローマ人は半円アーチを標準的な建築手法として確立し、水道橋、橋、コロッセウムなどの建物に用いました。中世ヨーロッパの施工者は、より高く軽量な構造物を造れる尖頭ゴシックアーチを発展させました。その後の建築家は、正確な比例に基づく半円形を再び取り入れ、現代では鋼鉄や鉄筋コンクリートなどの材料によって、アーチがはるかに大きな距離を架け渡せるようになっています。

よくある質問

アーチにおけるライズと高さの違いは何ですか？

ライズは、起拱線からアーチの曲線の頂点までの垂直距離です。高さは、起拱線より下にある直線状の壁を含む、開口部全体の高さを指すことがあります。

この計算ツールはすべての種類のアーチに対応していますか？

いいえ。円の一部のような形状をした円弧状アーチにのみ対応しています。楕円形、放物線形、ゴシック形、懸垂線形のアーチは異なる曲線に従うため、それぞれ別の公式が必要です。

半円アーチにおけるスパンと半径の関係は何ですか？

半円アーチでは、半径はスパンの半分に等しく、ライズは半径に等しくなります。アーチは円のちょうど半分を形成します。

スパンが半径の二倍を超えられないのはなぜですか？

スパンが半径の二倍になると、すでに半円が形成され、その半径で作れる最も幅の広いアーチになります。それより広いスパンは、円の中に収まりません。

ライズは半径より大きくできますか？

はい。ライズが半径から半径の二倍までの間であれば、半円より大きい馬蹄形アーチになります。ライズは半径の二倍を超えられません。それが円の全高だからです。ライズ計算モードでは、ツールは常に低いほうのアーチを返すため、ライズが半径を超えることはありません。

計算ツールではどの単位を使いますか？

一貫した単位であれば、インチ、フィート、メートル、センチメートルなど、どれでも使えます。すべての値を同じ単位で入力すると、結果も同じ単位で表示され、面積はその単位の平方になります。