位置エネルギー計算機: PE = mgh
質量、重力加速度、高さから重力による位置エネルギーを計算したり、3つの値から残りの1つを求めたりできます。キログラム、ポンド、メートル、フィートに対応しています。
Potential Energy Calculator
Gravitational potential energy is the energy a body has because of how high it sits. Fill in three of the four fields, leave the fourth blank, and the blank one is worked out.
ドキュメンテーション
位置エネルギー計算機
重力による位置エネルギーとは、物体が選択した基準面より高い位置にあることによって持つエネルギーです。この計算機は、物体の質量、その場所での重力の強さ、高さから、そのエネルギーを算出します。逆方向の計算も可能で、エネルギーと残り3つの数値のうち2つを入力すると、4つ目の数値を返します。
計算機の機能
このページには、ジュール単位の位置エネルギー、質量、重力、高さの4つの入力欄があります。質量と高さには、それぞれ単位メニューがあります。3つの欄に入力し、1つを空欄にすると、空欄の欄が答えになります。その後、4つの数値がすべて一緒に表示されるため、入力した3つの数値を結果の横で確認できます。
質量はキログラム、グラム、ミリグラム、メートルトン、ポンド、オンス、ストーン、米国ショートトン、ロングトンで入力できます。高さはメートル、キロメートル、センチメートル、ミリメートル、マイクロメートル、ナノメートル、マイル、ヤード、フィート、インチ、海里で入力できます。エネルギーには単位メニューがなく、ジュール単位で読み取られ、表示されます。重力にも単位メニューはなく、メートル毎秒毎秒単位で読み取られます。そのため、フィート毎秒毎秒で示された数値は、入力前に変換する必要があります。
計算を行う前に、サイト共通の単位レジストリによって質量はキログラムに、高さはメートルに変換されます。結果は、その欄で選択した単位に戻して変換されます。結果は8桁の有効数字まで表示されます。丸められるのは表示だけで、計算は入力された値で行われます。0.0001未満、または1,000,000,000以上の結果は、科学的記数法で表示されます。
すべての欄は、重力を含めて空欄の状態で開きます。アドレスバーは入力欄と連動し、空欄の欄はリンクに書き込めないため、共有リンクには入力された3つの数値だけが正確に含まれ、4つ目は次の読者のために空欄のまま残ります。
位置エネルギーの公式
はジュール（J）単位の位置エネルギー、はキログラム（kg）単位の質量、はメートル毎秒毎秒（m/s²）単位の重力の強さ、はメートル（m）単位の高さを表します。
この関係式を変形すると、残り3つの答えが得られます。
エネルギーは、3つの数値のそれぞれに比例して増加します。質量を2倍にすると、エネルギーも2倍になります。高さを2倍にした場合や、重力が2倍強く働く場所へ物体を移動した場合も同じです。ここでは何も二乗しない点が、運動エネルギーとの主な違いです。
重力について解くのは、通常とは異なる方向の計算です。これは「この質量の物体をこの高さに置いたとき、このエネルギーを生じさせる引力はどれほどか」という問いに答えるもので、測定したエネルギーから物体同士を比較する方法の一つです。
高さは読者が選んだ基準面から測定されます
位置エネルギーには自然なゼロ点がありません。公式はある基準面に対するエネルギーを与えるもので、その基準面は読者が選びます。床、地面、海面など、問題に適したものを選べます。高さはその基準面から測定します。
その基準面より下では高さが負になり、それに伴ってエネルギーも負になります。ページは符号を維持し、ゼロに切り上げません。選択したゼロ点より3 m下にある地下室の床は、ゼロ点よりも実際に持つエネルギーが少なく、それをゼロと報告するのは整然としているのではなく誤りです。
どの定数が正確か
このページの単位変換は、標準化団体が合意した定義であり、測定値ではないため、より良い実験によって変更されることはありません。
| 定数 | 値 | 正確か？ | 出典 |
|---|---|---|---|
| 標準重力 | 9.80665 m/s² | 定義により正確 | 第3回CGPM（1901年）；NIST SP 811、付録B |
| ジュール | 1 kg⋅m²/s² | SI組立単位の定義により正確 | SI文書第9版 |
| ポンド | 0.45359237 kg | 定義により正確 | 1959年国際ヤード・ポンド協定 |
| オンス、ストーン、ショートトン、ロングトン | 1/16 ポンド、14 ポンド、2,000 ポンド、2,240 ポンド | 正確。それぞれがポンドから導かれるため | NIST SP 811、付録B |
| メートルトン | 1,000 kg | 定義により正確 | SI文書第9版 |
| フィート | 0.3048 m | 定義により正確 | 1959年の協定、NIST SP 811、付録B |
| インチ、ヤード、マイル | 0.0254 m、0.9144 m、1,609.344 m | 正確；いずれも同じ協定に基づく | 1959年の協定、NIST SP 811、付録B |
| 海里 | 1,852 m | 定義により正確 | 国際水路会議、モナコ、1929年 |
| フィート・ポンド力 | 1.3558179483314003 J | 正確には、ポンド（質量）×標準重力×フィート | NIST SP 811、付録B |
標準重力は、特定の場所で測定した値ではなく、取り決めによるものです。地球表面の実際の重力は緯度と標高によって変化し、およそ9.76から9.83 m/s²の範囲にあります。他の天体の数値は測定値であり、丸められています。月では約1.62 m/s²、火星では約3.71 m/s²です。
このページは重力欄に9.80665を自動入力しません。その数値は欄の横の説明文中に記載され、テストによってその説明文がレジストリの定数に結び付けられているため、両者が食い違うことはありません。
計算例
標準重力下の地球で、70 kgの人が2 mの階段を上る場合。
70に9.80665を掛けると686.4655になります。これに2を掛けると1,372.931になるため、上ることで蓄えられるエネルギーは1,372.931 J、つまり約1.37キロジュールです。
同じ数値を逆方向に計算できます。質量を空欄にし、9.80665 m/s²と2 mを指定して1,372.931 Jを入力すると、重力で割った結果は正確に70となり、ページには70 kgと表示されます。代わりに重力を空欄にすると、1,372.931 Jを70で割り、さらに2で割ることで、9.80665 m/s²に戻ります。
同じ70 kgの物体を、重力が約1.62 m/s²である月で2 m持ち上げると、蓄えられるエネルギーはわずか226.8 Jで、地球のおよそ6分の1です。
ヤード・ポンド法の例では、上記の2つの定義定数を使います。1ポンドは0.45359237 kg、1フィートは0.3048 mです。0.45359237に9.80665を掛けると4.4482216152605となり、これはニュートンで表した1ポンド力です。これに0.3048を掛けると1.3558179483314003 J、つまり1フィート・ポンド力になります。ページには、8桁の有効数字に丸めた1.3558179 Jが表示されます。
割り切れない例として、ベンチから0.1 m上にあり、ベンチ自体は床から0.2 m上にある棚を考えます。コンピューターはこの2つの数値を2進数で保存するため、その合計は0.3ではなく0.30000000000000004になります。その高さにある1 kgの本のエネルギーは2.9419950000000004 Jですが、ページには2.941995 Jと表示されます。同じ質量と重力でそのエネルギーを再入力すると、高さは開始時の値に桁ごと正確に戻ります。
計算の仕組み
8桁の有効数字であれば丸め誤差のわずかな影響を示すには十分なので、各式の変形はきりのよい値では正確に相殺されるように記述されています。
各答えは、因子の積で一度に割るのではなく、各因子で1回ずつ割ります。重力で割ってから高さで割ることで、積にすると単独では無限大にオーバーフローしたりゼロにアンダーフローしたりする一対の数値を扱えます。標準重力下で1キログラムの物体を1メートル持ち上げると、正確に9.80665 Jのエネルギーが蓄えられ、そこから変形したどの式でも、割り戻すと正確に1になります。
計算機が受け付けないもの
入力欄は入力または貼り付けられた数値をそのまま通すため、重要なチェックは計算コード内で行われるものです。
| 状況 | 答えがない理由 |
|---|---|
| ゼロ以下の質量 | 物体の質量はゼロより大きくなければなりません。 |
| ゼロ以下の重力 | 引力がまったく働かない物体は、どの高さにあってもエネルギーを蓄えません。 |
| 高さがゼロの場合に質量または重力を算出する | 選択したゼロ点でのエネルギーは、物体の質量にかかわらずゼロなので、そこから何も復元できません。そのゼロで割ると無限大になり、確信を持った誤答を返すことになります。 |
| 算出結果がゼロ以下になる質量または重力 | 符号が逆のエネルギーと高さには、負の質量または重力が必要になります。基準面から離れた場所でエネルギーがゼロなら、質量も重力も必要ありません。他の2つの数値に比べて極めて小さいエネルギーも、真の答えがゼロより大きいにもかかわらず、割り算によってゼロになります。 |
| 保持できないほど大きな答え | 数値がページの数値型で扱える範囲外にあるため、その結果はエネルギーではありません。 |
| ページに存在しない単位 | 共有リンクや手動編集したリンクでは、別の物理量に属する単位を含め、任意の単位を指定できます。ページは停止せず、そのことを示します。 |
負の高さも負のエネルギーも拒否されません。どちらも選択したゼロ点より下にある場合の実際の答えだからです。
2つ以上の欄が空欄の場合、または空欄がない場合、それらはエラーではなく案内として扱われます。ページはちょうど1つの空欄を求め、その欄を算出します。
この公式が機能しなくなる場合
この関係式は、上昇の全行程で重力の強さが同じであると仮定しています。数メートル程度の変化では測定可能な違いが生じない地表付近では、この仮定が成り立ちます。しかし、人工衛星の軌道のように重力自体が弱くなる距離では成り立たず、その場合は重力による位置エネルギーの逆二乗則に基づく形式が必要です。
このページが扱うのは重力による位置エネルギーだけです。伸ばしたばね、圧縮された気体、化学結合もエネルギーを蓄え、それぞれ固有の法則に従います。
よくある質問
重力による位置エネルギーとは何ですか？ 物体が選択した基準面より高い位置にあることで持つエネルギーです。物体を持ち上げるとエネルギーが加わり、落下させると通常は運動としてそのエネルギーが戻ります。単位はジュールです。
位置エネルギーはどのように計算しますか？ キログラム単位の質量に、メートル毎秒毎秒単位の重力を掛け、さらにメートル単位の高さを掛けます。地球上で70 kgの人が2 m上る場合、70に9.80665を掛けると686.4655になり、686.4655に2を掛けると1,372.931 Jになります。
gに用いる値 標準重力9.80665 m/s²は、地球上の日常的な問題に適しており、測定値ではなく定義により正確です。地表の重力は場所によって少し変化し、約9.76から9.83 m/s²の範囲です。他の天体では任意の値を使えます。月では約1.62 m/s²、火星では約3.71 m/s²です。
位置エネルギーは負になることがありますか？ はい。高さは読者が選んだ基準面から測るため、その基準面より下にある物体の高さとエネルギーは負になります。ページはその符号を維持します。運動エネルギーは異なり、速度を二乗するためゼロ未満にはなりません。
既知のエネルギーから高さはどのように求めますか？ エネルギーを質量で割り、次に重力で割ります。地球上で質量70 kg、エネルギー1,372.931 Jの場合、70で割ると19.6133になり、それを9.80665で割ると2 mになります。
高さがゼロの場合、ページで質量を算出できないのはなぜですか？ 選択したゼロ点では、物体の質量にかかわらず蓄えられるエネルギーはゼロなので、エネルギーから質量を知ることはできません。復元できるものがなく、必要な割り算の分母がゼロになります。