接合計算機—混合比と量

アリゲーション計算機とは？

アリゲーション計算機は、価値の異なる2つの材料を混ぜて、目標の価値になる混合物を作るために必要な比率を計算します。その基礎となる方法をアリゲーションといいます。安価な原料と高価な原料を混ぜる場合や、濃い溶液を薄い溶液で希釈する場合など、両方の材料を同じ尺度で測定できる2成分混合物に適用できます。

アリゲーションの公式

アリゲーションでは、同じ尺度上の3つの数値を比較します。安価な方の価値をC、高価な方の価値をD、目標混合物の価値をMとし、CはMより小さく、MはDより小さいものとします。

$c : d = (D - M) : (M - C)$

ここで、c は安価な原料の分量、d は高価な原料の分量を表す。

各材料の割合は、目標値を挟んで反対側にある差から求めます。目標値がある材料の価値に近いほど、混合物の平均をその価値に近づける必要があるため、その材料を多く使います。

全体量Qも分かっている場合、各材料の量は次のようになります。

$A_c = \frac{D - M}{(D - M) + (M - C)} \times Q$

$A_d = \frac{M - C}{(D - M) + (M - C)} \times Q$

ここで、$A_c$ は安価な原料の量、$A_d$ は高価な原料の量、Q は全体の量を表す。

アリゲーションの交差法

この公式は、従来、交差図として描かれます。2つの材料の価値を左側に置き、中央に目標値を置き、それぞれの対角線上の差を反対側の角に書きます。

$\begin{matrix} D & \searrow & & \nearrow & M - C \\ & & M & & \\ C & \nearrow & & \searrow & D - M \end{matrix}$

高価な原料の価格は左上、安価な原料の価格は左下、目標価格は中央に置く。右上の差は高価な原料の分量、右下の差は安価な原料の分量である。

計算例

$10の材料と$30の材料を混ぜて、価値が$20の混合物を作ります。

分量の比は、安価な原料 : 高価な原料 = (30 − 20) : (20 − 10) = 10 : 10 = 1 : 1 となる。

2つの材料は同量必要です。合計100単位なら、$10の材料を50単位、$30の材料を50単位使うことになります。この混合物の平均価値は正確に$20です。

目標値を$25にすると比率が変わります。(30 − 25) : (25 − 10) = 5 : 15となり、1 : 3に約分できます。目標値は高価な方の価値に近いため、混合物には安価な材料の3倍の量の高価な材料が必要です。

アリゲーションの交差法とアリゲーションの中間法

上記の方法をアリゲーション・オルタネートといいます。2つの材料の価値と目標値が分かっていて、比率を求める方法です。逆の問題はアリゲーション・メディアルといい、材料の量と価値が分かっていて、でき上がる混合物の価値を求めます。アリゲーション・メディアルは加重平均です。

$M = \frac{q_1 \times v_1 + q_2 \times v_2}{q_1 + q_2}$

ここで、M は混合物の価格、q は原料の量、v はその価格を表し、添字は1番目と2番目の原料を示す。

2つの方法は相互に検算できます。アリゲーション・オルタネートで計算した量を加重平均の公式に代入すると、元の目標値が得られるはずです。

アリゲーションの用途

• 薬局での調剤。 70%溶液と20%溶液のように、濃い製剤と薄い製剤を混ぜて、指定された濃度にします。価値の代わりに百分率や濃度を使いますが、計算方法は同じです。
• 小売価格と商品価格の設定。 安価な原料と高級な原料を混ぜて、目標販売価格や単位原価に合わせます。
• 食品、飲料、化学。 溶液を希釈または濃縮して、目標濃度、アルコール度数、糖度にします。

この方法に必要なのは、同じ尺度で測定した1つの特性だけなので、これらすべてのケースを同じ3つの数値で扱えます。

アリゲーション計算機の使い方

安価な方の価値、高価な方の価値、目標混合物の価値を、3つとも同じ単位で入力します。0未満の値は入力できません。全体量を追加すると、必要な各材料の正確な量を確認できます。目標値は、2つの材料の価値の間に厳密に位置していなければなりません。その範囲外の目標値は2つの材料の混合では実現できず、どちらか一方の価値と等しい目標値は混合自体が不要です。そのため、どちらの場合も計算機は比率の代わりにエラーメッセージを表示します。

よくある質問

目標値が2つの材料の価値の間にない場合はどうなりますか？ 2つの材料を混ぜても、その目標値には到達できません。$10の商品と$30の商品を混ぜた混合物の平均価値は、必ず$10と$30の間になります。そのため、計算機はその範囲外の目標値を受け付けません。また、目標値が$10または$30と等しい場合も受け付けません。これは、一方の材料だけで目標を満たせるため、求めるべき比率がないからです。

測定単位は重要ですか？ いいえ。比率は3つの値の差だけで決まるため、3つすべての入力に同じ単位を使う限り、価格、百分率、mg/mLなどの濃度を使用できます。

アリゲーションでは3つ以上の材料を扱えますか？ この計算機は2材料の場合を計算します。3つ以上の材料を使う問題には複数の有効な答えがあるため、通常は材料を2つずつ組み合わせるか、連立一次方程式を立てて解きます。

アリゲーションは加重平均と同じですか？ 両者は逆の演算です。アリゲーション・メディアルとも呼ばれる加重平均は、既知の量から混合物の価値を求めます。アリゲーション・オルタネートは、目標値からそれを実現するために必要な量を求めます。

なぜこの方法をアリゲーションと呼ぶのですか？ この名称は、「結び付ける」または「つなぐ」を意味するラテン語のalligareに由来します。これは、2つの価値を1つの目標比率に結び付けるこの方法を表しています。

出典

• Alligation — Wikipedia
• Alligation Calculator — Omni Calculator