接合計算機—混合比と量

アリゲーション計算機とは？

アリゲーション計算機は、価値の異なる2つの材料を混ぜて、目標の価値になる混合物を作るために必要な比率を計算します。その基礎となる方法をアリゲーションといいます。安価な原料と高価な原料を混ぜる場合や、濃い溶液を薄い溶液で希釈する場合など、両方の材料を同じ尺度で測定できる2成分混合物に適用できます。

アリゲーションの公式

アリゲーションでは、同じ尺度上の3つの数値を比較します。安価な方の価値をC、高価な方の価値をD、目標混合物の価値をMとし、CはMより小さく、MはDより小さいものとします。

1cheaper parts : dearer parts = (D − M) : (M − C)
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各材料の割合は、目標値を挟んで反対側にある距離から決まります。2024年の方法の解説では、価値の高い成分の部数は目標値から低い方の値を引いた差、価値の低い成分の部数は高い方の値から目標値を引いた差とされています。目標値がある材料の値から遠いほど、その材料はより多く必要になります。平均をそこまで引き寄せるには、それだけ多くの量が要るためです。

全体量Qも分かっている場合、各材料の量は次のようになります。

1cheaper amount = (D − M) / [(D − M) + (M − C)] × Q
2dearer amount  = (M − C) / [(D − M) + (M − C)] × Q
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アリゲーションの交差法

この公式は、従来、交差図として描かれます。2つの材料の価値を左側に置き、中央に目標値を置き、それぞれの対角線上の差を反対側の角に書きます。

1Dearer (D) ─────╮        ╭───── (M − C) = dearer parts
2                 ╲      ╱
3               Target (M)
4                 ╱      ╲
5Cheaper (C) ─────╯        ╰───── (D − M) = cheaper parts
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計算例

$10の材料と$30の材料を混ぜて、価値が$20の混合物を作ります。

1cheaper : dearer = (30 − 20) : (20 − 10) = 10 : 10 = 1 : 1
2

二つの材料は同じ部数だけ必要です。合計100単位なら、$10の材料が50単位、$30の材料が50単位になります。この混合物の平均価値はちょうど$20です。

目標を$25に変えると比率も変わります。(30 − 25) : (25 − 10) = 5 : 15 となり、約分すると1 : 3です。目標が高価な方の値に近づいたため、混合物には安価な材料の三倍の量の高価な材料が必要になります。

アリゲーション交互法とアリゲーション平均法

上で述べた方法はアリゲーション交互法と呼ばれ、二つの材料の値と目標値が分かっていて、比率が未知の場合に使います。逆の問題は、同じ算術の伝統に属する関連する方法であるアリゲーション平均法と呼ばれ、各材料の量と値が分かっていて、混合物の値が未知の場合に使います。アリゲーション平均法は加重平均です。

1M = (q1 × v1 + q2 × v2) / (q1 + q2)
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2つの方法は相互に検算できます。アリゲーション交互法で計算した量を加重平均の公式に代入すると、元の目標値が得られるはずです。

アリゲーションの用途

• 薬局での調剤。 濃い製剤と薄い製剤を混ぜて、処方された濃度にします。この方法は薬学教育で広く教えられています。値は価格ではなく割合や濃度ですが、計算は同じです。
• 小売価格と商品価格の設定。 安価な原料と高級な原料を混ぜて、目標販売価格や単位原価に合わせます。
• 食品、飲料、化学。 溶液を希釈または濃縮して、目標濃度、アルコール度数、糖度にします。

この規則は一貫した尺度上の値が一つあれば成り立つため、同じ三つの数値でこれらすべての場合に対応できます。

アリゲーション計算機の使い方

安価な方の値、高価な方の値、目標とする混合物の値を、三つとも同じ単位で入力します。合計量を加えると、必要な各材料の正確な量が分かります。目標値は二つの材料の値の間に、どちらの値とも等しくならないように収まっていなければなりません。どちらかと等しいか、その外側にある場合は、二つの材料をどう混ぜても到達できないため、計算機は比率の代わりにエラーメッセージを表示します。負の値も受け付けません。

よくある質問

目標値が二つの材料の値の間にない場合はどうなりますか？ 二つの材料をどう混ぜても到達できません。$10の品と$30の品を混ぜた場合、平均価値は常に$10から$30の間になるため、計算機はその範囲外の目標値を受け付けません。

測定単位は重要ですか？ いいえ。比率は3つの値の差だけで決まるため、3つすべての入力に同じ単位を使う限り、価格、百分率、mg/mLなどの濃度を使用できます。

アリゲーションでは3つ以上の材料を扱えますか？ この計算機は2材料の場合を計算します。3つ以上の材料を使う問題には複数の有効な答えがあるため、通常は材料を2つずつ組み合わせるか、連立一次方程式を立てて解きます。

アリゲーションは加重平均と同じですか？ 両者は逆の演算です。アリゲーション平均法とも呼ばれる加重平均は、既知の量から混合物の価値を求めます。アリゲーション交互法は、目標値からそれを実現するために必要な量を求めます。

参考文献

1. McPherson, P. A. C.およびJack, I. G.（アルスター大学）。Alligation Alternate: Borrowing a Useful Concept from the Pharmacy Curriculum、Journal of Chemical Education、2024年（オープンアクセス）。オープンアクセスのPDF — アリゲーション交互法の部数規則、関連する方法としてのアリゲーション平均法、薬学教育での利用。