ヘンダーソン-ハッセルバルフ計算機：緩衝液pH計算機

ヘンダーソン・ハッセルバルヒ計算機とは何か？

ヘンダーソン・ハッセルバルヒ計算機は、緩衝液のpHを求めます。緩衝液とは、少量の酸や塩基を加えてもpHの変化に抵抗する、弱酸とその共役塩基の混合物です。この計算機は、pHを酸のpKaおよび酸とその共役塩基の濃度に関連付けるヘンダーソン・ハッセルバルヒの式を使います。

緩衝液は、血液、細胞培養、酵素反応、医薬品製剤など、さまざまな場面でpHを一定に保ちます。pHを正しく合わせることは重要です。pHがわずかに変化するだけで、酵素の働きが遅くなったり、薬の分解が速くなったりすることがあります。

ヘンダーソン・ハッセルバルヒの式

$\text{pH} = \text{pKa} + \log_{10}\left(\frac{[\text{A}^-]}{[\text{HA}]}\right)$

• pHは、溶液がどの程度酸性または塩基性であるかを表します。
• pKaは、酸がプロトン（水素イオン）をどの程度強く保持しているかを表す数値です。これは$-\log_{10}(K_a)$に等しく、$K_a$は酸解離定数です。
• **[A⁻]**は、1リットル当たりのモル数で表した共役塩基の濃度です。これは、プロトンを失った後の酸です。
• **[HA]**は、弱酸そのものの濃度で、一リットル当たりのモル数で表します。

pKaが低いほど酸は強く、プロトンを容易に放出します。各酸には固有の一定のpKaがあります。

緩衝液がpKa付近で最もよく働く理由

[A⁻]が[HA]と等しいとき、対数の中の比は1となり、log10(1)は0、pHはpKaと等しくなります。これは緩衝能が最大になる点です。溶液中に酸と塩基が同量あり、加えられたものを吸収できるからです。緩衝液は、通常、pKaの前後約1 pH単位の範囲でよく機能します。その範囲を外れると、2つの形態のいずれかが不足し、溶液はpHの変化に抵抗できなくなります。

緩衝液のpHの計算方法

1. 酸のpKaを調べます。一般的な値は下の表に示します。
2. 共役塩基の濃度[A⁻]を、リットル当たりのモル数で入力します。
3. 酸の濃度[HA]を、一リットル当たりのモル数で入力します。
4. 結果を読み取ります。計算機は、pKaに、塩基と酸の濃度比の底10の対数を加えます。

計算機は緩衝能の曲線も描き、さまざまなpH値にわたって、混合液がpHの変化にどれだけ強く抵抗するかを示します（下記参照）。

計算例

ある実験室でpH 7.40のリン酸緩衝液が必要になります。リン酸塩（H₂PO₄⁻ / HPO₄²⁻の対）に関係するpKaは、25 °Cで7.198、つまり約7.20です。

比を求めるために式を変形します。

$\frac{[\text{A}^-]}{[\text{HA}]} = 10^{(\text{pH} - \text{pKa})} = 10^{(7.40 - 7.20)} \approx 1.585$

全濃度0.1 Mの緩衝液100 mLでは、この比を使って総量を二つの形に分けます。

• [HPO₄²⁻]（塩基）= 100 mM × 1.585 ÷ 2.585 ≈ 61.3 mM
• [H₂PO₄⁻]（酸）= 100 mM − 61.3 mM ≈ 38.7 mM

元の式で確かめます。pH = 7.20 + log10(61.3/38.7) = 7.20 + 0.20 = 7.40。目標のpHがpKaより高いため、混合液には酸より多くの塩基が必要です。

緩衝能の式

緩衝能（記号β）は、pHが明らかに変化する前に緩衝液が吸収できる酸または塩基の量を表します。単一の弱酸とその共役塩基の場合、緩衝能は次のようになります。

$\beta = 2.303 \times \frac{C \times K_a \times [\text{H}^+]}{(K_a + [\text{H}^+])^2}$

ここで$C$は緩衝液の全濃度で、$[\text{HA}] + [\text{A}^-]$です。緩衝能は、$[\text{H}^+] = K_a$となるpH = pKaのときに最大になり、pHがpKaからどちらの方向に離れても急速に低下します。全濃度を二倍にすると、どのpHでも緩衝能が二倍になります。

一般的な緩衝液系とpKa値

以下のpKa値は、25 °CにおけるNISTの選定値を小数第二位に丸めたものです。

血液はよく知られた天然の緩衝液です。炭酸水素塩系によって、pH 7.35から7.45の間に保たれています。血液中では、この系の実効pKaは約6.1で、通常の±1の範囲を大きく外れています。それでも機能するのは、体が呼吸によってCO₂を、腎臓によって炭酸水素イオンを調節し、炭酸水素イオンと炭酸の比を約20対1に保っているためです。すると pH = 6.1 + log10(20) ≈ 7.40 となります。

温度と濃度の影響

pKa値は通常、25 °Cで測定されます。温度によってpKaが変化するため、室温で調製した緩衝液は、体温（37 °C）ではまったく同じpHを示しません。変化の大きさは緩衝液によって異なります。

• Trisは大きく変化し、約0.028pH単位／°Cで、温度が上がるとpHは下がります。25 °CでpH 8.00のTris緩衝液は、37 °CではpH 7.66に近い値を示します。これは12 °Cの温度上昇です。
• リン酸塩は温度による変化がごくわずかです。
• HEPESの変化はTrisより小さく、リン酸塩より大きくなります。

非常に薄い緩衝液も信頼性が下がります。その段階では、水自体の電離や空気中の二酸化炭素の溶け込みが緩衝液と競合し始め、実際のpHが計算値からずれることがあります。

ヘンダーソン・ハッセルバルヒの式の歴史

米国の生化学者ローレンス・ヘンダーソンは、血液がどのようにして安定したpHを保つかを研究する中で、この基本的な関係を1908年に説明しました。彼の式は水素イオン濃度を直接扱っていましたが、それは非常に小さな数で、扱いにくいものでした。

1916年、デンマークの医師カール・ハッセルバルヒは、新たに考案されたpHスケールを使ってヘンダーソンの関係を書き直し、現在使われている対数形式にしました。この変更により、実験室や医療現場で式をはるかに適用しやすくなり、それ以来、日常的に使われています。

よくある質問

ヘンダーソン・ハッセルバルヒの式は何を計算しますか？ 酸のpKaと酸およびその共役塩基の濃度から、緩衝液のpHを計算します。また、目標pHに必要な塩基と酸の比を求めるように変形することもできます。

緩衝液はいつ最もよく働きますか？ 緩衝液は、pHがその酸のpKaに近いとき、理想的には1 pH単位以内のときに最も強く働きます。このとき、酸とその共役塩基がほぼ同量存在するため、pH変化への抵抗が最大になります。

複数のpKaを持つ酸にもこの式は使えますか？ はい。ただし、解離の段階ごとに一つずつ適用します。リン酸にはpKaが三つあり、pH 7.2付近の緩衝液では二番目（約7.20）だけを使い、そのpHでは残り二つの解離段階は無視できるものとして扱います。

温度は緩衝液のpHにどれくらい影響しますか？ 緩衝液によって異なります。Trisは約0.028pH単位／°Cで変化するため、25 °CでpH 8.00に設定したTris緩衝液は、37 °Cでは約pH 7.66を示します。リン酸塩緩衝液とHEPES緩衝液は、温度の影響を受けにくくなります。

計算したpHは測定したpHと同じですか？ 完全には同じではありません。この式は理想的な挙動を仮定しており、溶解した二酸化炭素、不純物、高塩濃度で生じる強いイオン相互作用を考慮していません。実験室の緩衝液は、調製後に必ず校正済みのpHメーターで確認してください。

緩衝能とは何ですか？ 緩衝能は、pHが大きく変化するまでに緩衝液が吸収できる酸または塩基の量を表します。pHがpKaに等しいときに最大となり、pHがその点から離れるにつれて低下します。

参考文献

1. National Institute of Standards and Technology. Goldberg, Kishore and Lennen, Thermodynamic Quantities for the Ionization Reactions of Buffers, J. Phys. Chem. Ref. Data 31 (2002). NIST JPCRD別刷（PDF） — 表の緩衝液について298.15 Kでの選定pK値。リン酸塩は7.198を含む。
2. Fisher Scientific. Preparation of Tris•Cl stock solutions. Fisher Scientific Tris•Cl資料（PDF） — Tris緩衝液のpHは、温度が上がると約0.028pH単位／°Cの割合で低下する。
3. Merck Manual Consumer Version. Overview of Acid-Base Balance. Merck Manual：酸塩基平衡 — 正常な血液pHは約7.35から7.45。
4. Merck Manual Professional Version. Acid-Base Regulation. Merck Manual：酸塩基調節 — CO₂は換気で調節され、H⁺とHCO₃⁻は腎臓で調節される。
5. Texas A&M AgriLife, Department of Animal Science. Handout 1: Buffers and Solutions. Texas A&M緩衝液ハンドアウト（PDF） — 炭酸水素塩のpKaは6.1、pH 7.4での炭酸水素塩と炭酸の比は20/1。
6. Clínica Universidad de Navarra. Ecuación de Henderson-Hasselbalch（スペイン語）. CUN医学辞典の項目 — 1908年のヘンダーソンの非対数形、1916年のハッセルバルヒの対数形。