原子核電荷計算機 | スレーターの法則を用いてZeffを計算

核電荷計算機：スレーター則による有効核電荷（Z_eff）

核電荷計算機は、原子内の電子が感じる有効核電荷（Z_eff）を求めます。有効核電荷とは、他の電子がその引力の一部を遮蔽した後に、原子核が電子を実際に引きつける力です。このツールはスレーター則を適用し、水素（原子番号 1）からオガネソン（原子番号 118）まで、任意の元素の Z_eff を計算します。

有効核電荷とは？

原子の原子核には陽子があり、それぞれの陽子は正電荷を持ちます。単独で軌道を回る電子なら、すべての陽子による完全な引力を受けます。実際の原子では、原子核と外側の電子の間に他の電子が存在し、その引力の一部を遮蔽します。外側の電子が実際に感じる電荷は、完全な核電荷より小さくなります。化学では、これを有効核電荷と呼びます。

ナトリウムには 11 個の陽子があります。最外殻電子は +11 の引力を感じません。原子核に近い十個の電子がその電荷の大部分を遮蔽するため、最外殻電子が感じる引力は +2 に近くなります（正確な値は以下で計算します）。この弱い引力が、化学反応でナトリウムがその電子を容易に失う理由です。

有効核電荷の公式

$Z_{eff} = Z - S$

• Z_eff — 電子が感じる有効核電荷
• Z — 原子番号（陽子の総数）
• S — 遮蔽定数（他の電子によって遮蔽される核電荷の量）

スレーター則を用いた有効核電荷の計算方法

物理学者ジョン・C・スレーターは、遮蔽定数を推定する方法を 1930 年に発表しました。この方法では、シュレーディンガー方程式を直接解く複雑な数学を避け、いくつかの計数規則を使います。

ステップ 1：電子をグループ分けする

スレーター則では、原子の電子を殻ごとに次のようにグループ分けします。

1. (1s)
2. (2s, 2p)
3. (3s, 3p)
4. (3d)
5. (4s, 4p)
6. (4d)
7. (4f)
8. (5s, 5p) など

同じ殻の s 軌道と p 軌道にある電子は、原子核を同程度に遮蔽するため、まとめてグループ化します。同じ殻の d 軌道と f 軌道にある電子は、より外側を回り、遮蔽の効果も小さいため、別のグループにします。

ステップ 2：遮蔽への寄与を合計する

ある電子の遮蔽定数 S を求めるには、その電子に対する位置関係に基づき、原子内の他のすべての電子による寄与を合計します。

• 高い殻にある電子（原子核から遠い）：寄与は 0 です。同じ殻の d または f グループの電子も、これらのグループがより外側にあるため、s または p 電子に対して 0 を寄与します。
• 同じグループにある他の電子：それぞれ 0.35 を寄与します（1s グループの電子には代わりに 0.30 を使います）
• 原子核に一つ近い殻の電子（n − 1）：それぞれ 0.85 を寄与します
• 二つ以上近い殻の電子（n − 2 以下）：それぞれ 1.00 を寄与します

これらの寄与を合計して S を求め、原子番号から S を引くと Z_eff が得られます。

この計算機は殻番号を入力する方式なので、その殻の s 電子と p 電子、つまり (ns, np) グループについての値を報告します。殻 3 の鉄では、3d の値ではなく 3s/3p の値を返します。また、教科書で用いられる充填順序を使うため、クロムや銅などの既知の例外はモデル化されません。

例：炭素の 2p 電子の有効核電荷

炭素の原子番号は 6 で、基底状態の電子配置は 1s² 2s² 2p² です。

2p 電子の一つについて考えます。

• 同じグループ（2s, 2p）で、自身を除く電子：他の 3 個 × 0.35 = 1.05
• 一つ内側の殻（1s）：2 個の電子 × 0.85 = 1.70

遮蔽定数：S = 1.05 + 1.70 = 2.75

有効核電荷：Z_eff = 6 − 2.75 = 3.25

炭素の 2p 電子が感じる引力は約 +3.25 です。これは原子の実際の +6 の核電荷のおよそ半分であり、内側の 1s 電子と、他の 2s/2p 電子がその大部分を遮蔽するためです。

例：ナトリウムの内殻電子と価電子

ナトリウムの原子番号は 11 で、電子配置は 1s² 2s² 2p⁶ 3s¹ です。

3s 価電子（n = 3）について：

• 同じグループ（3s, 3p）で、自身を除く電子：他の 0 個 × 0.35 = 0
• 一つ内側の殻（2s, 2p）：8 個の電子 × 0.85 = 6.80
• 二つ内側の殻（1s）：2 個の電子 × 1.00 = 2.00

S = 0 + 6.80 + 2.00 = 8.80 なので、Z_eff = 11 − 8.80 = 2.20

1s 内殻電子（n = 1）について：

• 同じグループ（1s）で、自身を除く電子：他の 1 個 × 0.30 = 0.30

S = 0.30 なので、Z_eff = 11 − 0.30 = 10.70

1s 電子はほぼ完全な核電荷を感じる一方、3s 価電子が感じるのはその五分の一未満です。この差があるため、反応時にナトリウムが手放すのは外側の電子であり、内側の電子はそのまま残ります。

有効核電荷が周期表の傾向を説明する仕組み

Z_eff は、周期表に見られるいくつかの傾向を予測するのに役立ちます。

• 原子半径。 Z_eff が大きいほど電子は強く引き寄せられ、原子は小さくなります。第 2 周期では、リチウムの価電子が感じる Z_eff は約 1.30 ですが、フッ素では約 5.20 です。フッ素の原子のほうがはるかに小さくなります。
• イオン化エネルギー。 引力が強いほど、電子を取り除くにはそれに打ち勝つための大きなエネルギーが必要です。リチウムの第一イオン化エネルギーは約 520 kJ/mol、ネオンは約 2081 kJ/mol であり、これはネオンの 2p 電子に対するはるかに大きな Z_eff（約 5.85）と一致します。
• 電気陰性度。 Z_eff が大きい原子ほど、結合で共有される電子を強く引きつけます。塩素の 3p 電子が感じる Z_eff は約 6.10 で、水素の Z_eff 1.0 よりはるかに大きいため、H–Cl 結合が塩素側に分極する理由の一つとなります。

同族で下に移ると、価電子の Z_eff はわずかしか変化しません。新しい殻が一つ増えるたびに、陽子と、それを遮蔽する内側の電子が一つずつ増えるため、二つの効果がほぼ相殺されます。

スレーター則の限界

スレーター則は主族元素の大部分（族 1、2、13–18）について良い近似を与えますが、次の場合には精度が低くなります。

• 遷移金属：d 電子が、規則の仮定ほど整然とは遮蔽しないため
• ランタノイドとアクチノイド：f 電子が通常とは異なる挙動を示すため
• 重元素（原子番号が約 70 を超える元素）：相対論的効果が電子の挙動を変えるため

より正確な値は、ハートリー・フォック計算から 1963 年に発表されたクレメンティ–ライモンディ表や、最新の計算化学ソフトウェアから得られます。この計算機は標準的なスレーター則を使っており、これらの補正は含めていません。

この計算機の使い方

1. 原子番号（Z）を 1 から 118 までの範囲で入力します。
2. 電子殻（n）を入力します。これは調べる殻の主量子数です。元素の最外殻より上の殻を入力すると、数値ではなくエラーメッセージが表示されます。
3. 原子図の横に表示される、結果の Z_eff の値を小数点以下二桁に丸めて読み取ります。

よくある質問

有効核電荷とは何ですか？ 多電子原子で、他の電子が原子核の引力の一部を遮蔽した後に、電子が実際に感じる正味の正電荷です。Z_eff = Z − S として計算します。

スレーター則で遮蔽定数を計算するにはどうしますか？ 原子の電子を殻ごとにグループ分けします。調べる電子について、同じグループの他の電子1個につき 0.35（1s 電子の場合は 0.30）、原子核に一つ近い殻の電子1個につき 0.85、二つ以上近い殻の電子1個につき 1.00 を加えます。例えば、窒素の 2p 電子（電子配置 1s² 2s² 2p³）には、同じグループの他の電子が 4 個（4 × 0.35 = 1.40）、一つ内側の殻の電子が 2 個（2 × 0.85 = 1.70）あるため、S = 3.10、Z_eff = 7 − 3.10 = 3.90 となります。

有効核電荷はなぜ重要ですか？ 内側の電子が外側の電子をどのように遮蔽するかを考慮するため、単なる原子番号よりも原子の大きさ、イオン化エネルギー、電気陰性度をよく予測できます。

スレーター則の精度はどの程度ですか？ 主族元素では、より高度な方法による値との差が通常およそ 10–15% 以内に収まり、学習や簡単な推定には十分です。遷移金属、ランタノイド、アクチノイド、非常に重い元素では信頼性が低くなります。

有効核電荷が負またはゼロになることはありますか？ いいえ。遮蔽定数 S が原子番号 Z を超えることはないため、Z_eff は常に正です。原子内の電子は常に、正味では原子核に引きつけられています。

内殻電子と価電子で Z_eff の値が大きく異なるのはなぜですか？ 内殻電子は原子核の近くにあり、その前にある電子が少ないため、ほぼ完全な核電荷を感じます。価電子は内側の電子層の外側にあり、それらが電荷の大部分を遮蔽します。ナトリウムでは、1s 内殻電子の Z_eff は約 10.70 ですが、3s 価電子では約 2.20 にすぎません。

参考文献

1. Slater, J.C. (1930). "Atomic Shielding Constants." Physical Review, 36(1), 57–64.
2. Clementi, E.; Raimondi, D.L. (1963). "Atomic Screening Constants from SCF Functions." The Journal of Chemical Physics, 38(11), 2686–2689.
3. Atkins, P.; de Paula, J. (2014). Atkins' Physical Chemistry（10版）。Oxford University Press。ISBN 978-0199697403。