ネルンストの式計算機 - 膜電位 無料

ネルンスト方程式計算機とは？

ネルンスト方程式計算機は、細胞膜を挟む単一イオンの平衡電位を求めます。イオンの電荷、温度、膜の両側におけるイオン濃度を使用します。結果は電圧として示され、通常はミリボルト（mV）で表示されます。

この方程式は、1889年に記述したドイツの化学者ヴァルター・ネルンストにちなんで名付けられました。生物学では、細胞が膜を挟んで電荷を保持する理由を説明し、神経信号、筋収縮、その他のイオン移動に依存する過程に不可欠です。

ネルンスト方程式の公式

$E = E^{\circ} - \frac{RT}{zF} \ln\left(\frac{[C]_{\text{内側}}}{[C]_{\text{外側}}}\right)$

ここで、

• $E$ = 細胞電位または膜電位（単位：ボルト）
• $E^{\circ}$ = 標準電位。生体膜では通常、0とします
• $R$ = 気体定数、8.314 J·mol⁻¹·K⁻¹
• $T$ = ケルビン単位の温度
• $z$ = イオンの電荷（価数）。Na⁺では+1、Cl⁻では-1など
• $F$ = ファラデー定数、96,485 C·mol⁻¹
• $[C]_{\text{inside}}$、$[C]_{\text{outside}}$ = 細胞の内側と外側におけるイオン濃度

生物学では、$E^{\circ}$は通常0に設定し、結果をミリボルトに換算します。比を外側／内側に入れ替えると、先頭のマイナス符号がなくなります。

$E = \frac{RT}{zF} \ln\left(\frac{[C]_{\text{外側}}}{[C]_{\text{内側}}}\right) \times 1000 \text{ mV}$

変数の説明

温度（T）。 ケルビンで測定します。K = °C + 273.15です。体温は310.15 K（37 °C）です。室温は298.15 K（25 °C）です。

イオン電荷（z）。 ナトリウム（Na⁺）とカリウム（K⁺）は+1です。カルシウム（Ca²⁺）とマグネシウム（Mg²⁺）は+2です。塩化物イオン（Cl⁻）は-1です。

濃度。 膜の両側にあるイオンの量で、通常はミリモル濃度（mM）で表します。両方の値には同じ単位を使い、いずれもゼロより大きくなければなりません。

気体定数とファラデー定数。 固定された物理定数です。R = 8.314 J/(mol·K)、F = 96,485 C/molです。

膜電位の計算方法

1. 温度をケルビンで入力します。初期値は体温の310.15 Kです。
2. イオンの電荷を入力します。カリウムでは1、塩化物イオンでは-1などです。
3. 細胞外の濃度をmMで入力します。
4. 細胞内の濃度をmMで入力します。
5. 値が変化すると自動的に表示される結果を、ミリボルトで読み取ります。

計算例：カリウム

カリウム（K⁺）は、一般的な細胞の外側に約5 mM、内側に140 mM存在します。体温下で、電荷 z = +1の場合：

$E = \frac{8.314 \times 310.15}{1 \times 96{,}485} \times \ln\left(\frac{5}{140}\right) \times 1000$

$E \approx 0.02673 \text{ V} \times (-3.332) \times 1000 \approx -89.1 \text{ mV}$

計算機内部では、より精密な物理定数を使用し、これらの入力に対して-89.06 mVを返します。細胞内の濃度が細胞外よりはるかに高いため、自然対数の項が負になり、結果も負になります。

体温における典型的なイオン電位

これは哺乳類細胞で一般的に引用される教科書的な濃度で、すべて310.15 Kで計算したものです。

温度が結果に与える影響

温度は方程式に直接含まれるため、温度が高いほど電位の絶対値は大きくなります（正負いずれの方向でも）。カリウムの値（5 mMが細胞外、140 mMが細胞内、z = +1）を使うと：

• 25 °C（298.15 K）では：-85.61 mV
• 37 °C（310.15 K）では：-89.06 mV
• 42 °C（315.15 K）では：-90.49 mV

10 °C上昇するごとに、絶対温度に対して方程式が直接比例するため、電位の大きさはおよそ3%増加します。

正の結果と負の結果が意味すること

• 正の結果は、イオンが細胞外へ移動する傾向があることを意味します。
• 負の結果は、イオンが細胞内へ移動する傾向があることを意味します。
• 結果がゼロであれば、イオンは平衡状態にあり、どちらの方向にも正味の駆動力がないことを意味します。

数値の大きさも、その符号だけでなく重要です。絶対値が大きいほど、そのイオンに作用する電気化学的な力が強いことを示します。

ネルンスト方程式の用途

生物学では、ニューロンの静止電位と活動電位、心筋細胞の電気的挙動、筋組織や腎組織におけるイオン移動の計算に使われます。実際の細胞は単一のイオンだけでなく複数のイオンに同時に応答するため、細胞全体の静止膜電位を研究する場合、研究者はネルンスト方程式をゴールドマン・ホジキン・カッツ方程式へ拡張することがよくあります。この方程式は複数のイオンと、それぞれの異なる透過性を考慮します。

化学や工学では、同じ方程式が電池や燃料電池の発生電圧を記述し、金属腐食を予測し、水や土壌の質の測定に使われるイオン選択性センサーの基礎となっています。

短い歴史

ヴァルター・ネルンストは、ライプツィヒ大学で電気化学セルを研究していた1889年にこの方程式を定式化しました。熱化学に関する業績により、1920年のノーベル化学賞を受賞しました。1940年代と1950年代には、アラン・ホジキンとアンドリュー・ハクスリーがネルンストの原理を神経細胞に応用し、その研究は彼ら自身のノーベル賞と、現在神経科学で使われているゴールドマン・ホジキン・カッツ方程式につながりました。

よくある質問

ネルンスト方程式は何を計算しますか？ 濃度、電荷、温度に基づいて、膜を挟む単一イオンの平衡電位を計算します。計算機には標準電位の入力欄がないため、この項はゼロとして扱います。

計算機ではどの単位を使いますか？ 温度はケルビン、濃度は通常ミリモル濃度、結果はミリボルトで表します。両側に同じ単位を使う限り、濃度の単位は問いません。

2つの濃度が等しいとどうなりますか？ 濃度の比は1になり、1の自然対数は0となるため、計算される電位は0 mVです。これは電気化学的平衡です。

カリウムの電位は負なのに、ナトリウムの電位は正なのはなぜですか？ カリウムは細胞外より細胞内に、ナトリウムは細胞内より細胞外に、はるかに高濃度で存在するためです。対数項の中の比の向きによって、結果の符号が決まります。

ネルンスト方程式はゴールドマン・ホジキン・カッツ方程式とどう違いますか？ ネルンスト方程式は一度に1種類のイオンを扱います。ゴールドマン・ホジキン・カッツ方程式は、各イオンが膜をどれだけ通過しやすいかで重み付けして複数のイオンを組み合わせ、細胞の実際の静止電位を推定します。

ネルンスト方程式は能動輸送を考慮しますか？ いいえ。電気化学的勾配に沿った受動的な移動だけを記述します。ATPなどのエネルギーを使って勾配に逆らってイオンを移動させるポンプは、この方程式には含まれません。

参考文献

1. Nernst, W.（1889）。「Die elektromotorische Wirksamkeit der Ionen.」Zeitschrift für Physikalische Chemie、4、129-181。
2. Hille, B.（2001）。Ion Channels of Excitable Membranes（3版）。Sinauer Associates。
3. Hodgkin, A. L., & Huxley, A. F.（1952）。「A quantitative description of membrane current and its application to conduction and excitation in nerve.」The Journal of Physiology、117（4）、500-544。
4. Goldman, D. E.（1943）。「Potential, impedance, and rectification in membranes.」The Journal of General Physiology、27（1）、37-60。