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Whiz Tools

二項分布計算ツール - 無料の確率計算ツール

試行回数と成功確率を入力すると、二項分布の確率をステップごとの計算過程とともに即座に求める無料ツール。統計学、データサイエンス、確率論の授業での学習や、品質管理や世論調査、ゲームの確率検討の場面での検証にも、無料で気軽にすぐ使える便利な計算機として広く役立つ。

二項分布計算機

確率
0.246094

二項分布の可視化

二項分布チャート
10回の試行で成功確率0.5の二項分布のグラフ0.00000.05000.10000.15000.20000.2500確率012345678910成功回数 (k)0.00100.00980.04390.11720.20510.24610.20510.11720.04390.00980.0010
ローディング計算機...
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ドキュメンテーション

二項分布計算ツールとは何ですか？

二項分布計算ツールは、各試行の成功確率が同じで、試行が独立している固定回数の試行において、成功回数がちょうど指定した数になる確率を求めます。統計学、品質管理、医学など、繰り返される二択の事象を扱う分野で使われます。

基本となる考え方は二項分布です。これは、通常「成功」と「失敗」と呼ばれる2つの結果だけを持つ試行を繰り返したとき、成功回数を数える確率モデルです。

二項分布の公式

n回の試行でちょうどk回成功する確率は次のとおりです。

P(X=k)=(nk) pk(1−p)n−kP(X = k) = \binom{n}{k} \, p^k (1-p)^{n-k}

各記号の意味は次のとおりです。

  • n — 試行回数。
  • k — 確率を求める成功回数。
  • p — 1回の試行で成功する確率。0から1までの数値です。
  • (nk)\binom{n}{k} — 二項係数。n回の試行からk回の成功を選ぶ異なる方法の数です。値はn!k!(n−k)!\frac{n!}{k!(n-k)!}です。

すべての試行は独立していなければなりません。つまり、ある試行の結果が別の試行の確率を変えず、成功確率pがすべての試行で同じである必要があります。コインを1回投げる場合のように、2つの結果が考えられる1回の試行をベルヌーイ試行と呼びます。二項分布は、n回のベルヌーイ試行の結果を合計したものです。

二項確率の計算方法

  1. n、k、pを書き出します。
  2. 二項係数(nk)\binom{n}{k}、つまりn回の試行でk回の成功を配置する方法の数を計算します。
  3. pをk乗します。
  4. (1 − p)を(n − k)乗します。
  5. 3つの数値を掛け合わせます。

このページの計算ツールは、これらの手順を自動で行います。n、p、kを入力すると、P(X = k)を小数第六位まで丸めた小数で返し、0からn回の成功までのあらゆる結果の確率を示す棒グラフも表示します。試行回数nは1以上で、kは0からnまでの間でなければなりません。

計算例

例1：コイン投げ

公正なコインを10回投げます。表がちょうど3回出る確率はどれくらいですか？

  • n = 10、p = 0.5、k = 3
  • (103)=120\binom{10}{3} = 120
  • 0.53=0.1250.5^3 = 0.125
  • 0.57=0.00781250.5^{7} = 0.0078125
  • 結果：120 × 0.125 × 0.0078125 ≈ 0.1172、つまり約11.72%

例2：品質管理

ある工場が100個の製品を検査します。各製品には2%の確率で欠陥があります。100個の製品のどれにも欠陥がない確率はどれくらいですか？

  • n = 100、p = 0.02、k = 0
  • k = 0なので、公式は(1−p)n=0.98100(1-p)^n = 0.98^{100}に簡略化されます。
  • 結果：約0.1326、つまり約13.26%

例3：疾病検査

ある都市で、人口の0.1%が感染している疾病について、1,000人を検査します（p = 0.001）。1,000人のうち、感染者がちょうど5人である確率はどれくらいですか？

  • n = 1000、p = 0.001、k = 5
  • (10005)=8,250,291,250,200\binom{1000}{5} = 8{,}250{,}291{,}250{,}200
  • 0.0015=1×10−150.001^5 = 1 \times 10^{-15}
  • 0.999995≈0.36950.999^{995} \approx 0.3695
  • 結果：8,250,291,250,200 × 1e-15 × 0.3695 ≈ 0.00305、つまり約0.30%（正確な値は0.0030488、すなわち0.30488%）

平均と分散

パラメーターnおよびpを持つ二項分布では、次のようになります。

  • 平均（期待値）： E(X) = np
  • 分散： Var(X) = np(1 − p)
  • 標準偏差： σ = √[np(1 − p)]

平均は、何度も繰り返したときに期待される成功回数の平均を示します。例1では、平均は10 × 0.5 = 5回の表です。

二項分布を適用できる場合

二項分布が適用できるのは、次の4つの条件がすべて満たされる場合だけです。

  1. 試行回数nがあらかじめ決まっている。
  2. 各試行の結果が成功または失敗の2つだけである。
  3. 成功確率pがすべての試行で同じである。
  4. 試行同士が独立している。

カードを山札から戻さずに引くと、カードを1枚取り除くことで次に引くカードの確率が変わるため、独立性の条件が崩れます。この場合は、代わりに超幾何分布を使います。

関連する分布

  • ポアソン分布：二項分布を近似するために使われます。この近似は、試行回数が多く、成功確率が小さい場合に使えます。例3の疾病の症例のような、まれな事象のモデル化によく用いられます。
  • 正規分布：nが大きいと、二項分布はおおよそ釣鐘型になり、平均np、分散np(1 − p)の正規分布で近似できます。よく使われる目安は、npとn(1 − p)がどちらも5より大きくなければならない、というものです。どちらも10以上であれば、近似はより良くなります。
  • 超幾何分布：有限母集団から非復元抽出で標本を抽出する場合に、二項分布の代わりに使われます。

よくある質問

二項分布計算ツールは何をしますか？

成功確率pの独立したn回の試行で、成功がちょうどk回となる確率を、P(X = k) = C(n, k) × p^k × (1 − p)^(n − k)の公式を使って計算します。

二項分布と正規分布の違いは何ですか？

二項分布は離散分布であり、成功回数として整数だけを取ります。正規分布は連続分布です。nが大きい場合、二項分布は平均np、分散np(1 − p)の正規曲線で近似できます。

pは0または1でもよいですか？

はい。p = 0の場合、成功する試行はないため、P(X = 0) = 1です。p = 1の場合はすべての試行が成功するため、P(X = n) = 1です。これらの場合、その他のkの値の確率は0です。

二項分布とベルヌーイ分布にはどのような関係がありますか？

ベルヌーイ分布は、2つの結果を持つ1回の試行（n = 1）を表します。二項分布は、n回の独立したベルヌーイ試行の合計なので、ベルヌーイ分布はn = 1の二項分布にほかなりません。

この計算ツールは、多数の試行を扱えますか？

はい。この計算ツールは標準的な倍精度数を使います。nが小さい場合は、二項係数にpと1 − pの累乗を直接掛けます。係数が数値形式で扱うには大きくなりすぎたり、累乗が小さくなりすぎたりした場合は、対数の加算に切り替え、最後に和を元に戻します。結果は有限の確率のままです。たとえば、n = 5,000、p = 0.5、k = 2,500のとき、約0.011283を返します。nが非常に大きい場合は、正規近似やポアソン近似もよく使われます。

二項係数はどのように計算されますか？

二項係数C(n, k)は、n個の項目からk個を順序に関係なく選ぶ方法の数を表します。n! / (k! × (n − k)!)に等しく、途中の値に乗算と除算を繰り返して段階的に求めることもできます。この方法なら、非常に大きな階乗を直接扱わずに済みます。

参考文献

  1. NIST/SEMATECH。e-Handbook of Statistical Methods, 1.3.6.6.18 Binomial Distribution。二項分布 — 確率質量関数C(n, x) pˣ (1 − p)ⁿ⁻ˣ、平均np、標準偏差√(np(1 − p))。
  2. OpenStax。Introductory Statistics 2e, 4.6 Poisson Distribution。ポアソン分布 — pが小さくnが大きいとき、ポアソン分布で二項分布を近似できます。
  3. OpenStax。Introductory Statistics 2e, 7.3 Using the Central Limit Theorem。二項分布の正規近似 — 正規近似ではnp > 5かつnq > 5が条件で、どちらも10以上であればより良くなります。平均はnpです。