ポアソン分布計算機 - イベント確率の計算

ポアソン分布計算機とは？

ポアソン分布計算機は、イベントが平均してどの程度の頻度で発生するかをもとに、一定の時間または空間内で特定の回数のイベントが発生する確率を求めます。イベントが一度に1つずつ、互いに独立して、一定の平均率で発生する場合に使われます。典型的な例として、コールセンターが1時間に受ける電話の件数や、1ページにある誤植の数などがあります。

ポアソン分布の公式

ポアソン分布は、平均率が λ（ギリシャ文字のラムダ）のときに、イベントがちょうど k 回発生する確率を表します。

$P(X = k) = \dfrac{e^{-\lambda} \lambda^{k}}{k!}$

各記号の意味は次のとおりです。

• λ（ラムダ） — 区間あたりのイベントの平均回数。分布が持つパラメーターはこれだけです。
• k — 確率を求める対象となるイベントの正確な回数。整数で、0以上でなければなりません。
• e — オイラー数。約2.71828に等しい定数です。
• k! — 「kの階乗」。1からkまでのすべての整数を掛け合わせた積です。たとえば、4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24です。慣例により、0! = 1です。

この公式に必要なのは λ と k だけです。二項分布とは異なり、試行の総数は必要ありません。

ポアソン確率の計算方法

1. 調べる区間におけるイベントの平均回数である λ を選びます。
2. 確率を求めるイベントの正確な回数である k を選びます。
3. e を −λ 乗します。これは e^(−λ) になります。
4. λ を k 乗します。これは λ^k になります。
5. k!、つまり k の階乗を求めます。
6. 手順3と4の結果を掛け、その積を手順5の結果で割ります。

得られる数は、0から1の間の確率です。百分率で表すには、100を掛けます。

計算例

あるコールセンターは、1時間あたり平均5件の電話を受けます（λ = 5）。ある1時間にちょうど3件の電話を受ける確率（k = 3）はどのくらいでしょうか？

1. e^(−5) ≈ 0.006738
2. 5^3 = 125
3. 3! = 3 × 2 × 1 = 6
4. 掛け算: 0.006738 × 125 ≈ 0.842243
5. 6で割る: 0.842244 ÷ 6 ≈ 0.140374

その時間内にちょうど3件の電話がかかってくる確率は約0.140、つまり14%です。

その他の計算例

ポアソン分布が使われる場面

ポアソン分布は、まれで独立したイベントの回数をモデル化します。一般的な用途には次のようなものがあります。

• コールセンターと顧客サービス: 時間あたりに何件の電話やチャットが到着するかを予測する。
• 製造: 製品の1バッチに含まれる欠陥の数を推定する。
• 保険: 一定期間に何件の保険金請求が届くかを推定する。
• 生物学と医学: 突然変異の回数や、まれな疾患の広がりをモデル化する。
• 物理学: 各原子が一定の平均率で独立して崩壊する放射性崩壊を表す。
• 交通とネットワーク工学: 交差点への車両の到着や、サーバーに届くリクエストの数を推定する。

ポアソン分布を使うための条件

ポアソン分布は、次の条件がすべて成り立つ場合にのみ状況に適合します。

• イベントは一度に1つずつ発生し、2つのイベントがまったく同じ瞬間に発生することはありません。
• イベントは独立して発生します。あるイベントが次のイベントの起こりやすさを変えることはありません。
• 平均率 λ は、調べる区間全体で一定です。

率が時間とともに変化したり、イベントがまとまって発生する傾向があったりする場合、通常のポアソン分布ではデータを適切に表せません。

ポアソン分布と関連する分布の比較

• 二項分布: コインを20回投げる場合のように、試行回数が固定され、各試行の成功確率が既知であるときに使います。試行回数が非常に大きくなり、1回あたりの成功確率が0に近づく一方で、それらの積が λ 前後に保たれるとき、二項分布はポアソン分布になります。
• 正規分布: λ が大きく、概ね20を超える場合、ポアソン分布は平均 λ、分散 λ の釣鐘型の正規分布に近い形になります。
• 指数分布: ポアソン分布が一定区間内で発生するイベントの数を数えるのに対し、指数分布はそれらのイベント間の待ち時間を表します。

歴史についての補足

フランスの数学者シメオン・ドニ・ポアソンは1837年、刑事および民事裁判の判決に応用した確率論の書籍でこの分布を導入しました。当初はほとんど注目されませんでした。20世紀初頭に、ラディスラウス・ボルトキェビッチやロナルド・フィッシャーなどの統計学者が、プロイセン兵が馬に蹴られて死亡した有名な調査を含む実際の計数データに適用した後、その利用が広がりました。

よくある質問

ポアソン分布におけるラムダ（λ）とは何ですか？ ラムダは、調べる区間において予想されるイベントの平均回数です。また、この分布の分散でもあるため、λ が大きいほど平均回数が多くなり、結果のばらつきも大きくなります。

k や λ は負の値や分数になれますか？ λ は0より大きくなければなりませんが、1時間あたり2.5件のイベントのように、小数にすることはできます。k は実際のイベントを数える値なので、0以上の整数でなければならず、負の値や分数にはできません。

ポアソン分布は二項分布とどう違いますか？ 二項分布には、固定された試行回数と、試行ごとに固定された成功確率が必要です。ポアソン分布に必要なのは平均率だけであり、原理上は何回でも発生しうるイベントに適用できます。

正規分布はいつ使うべきですか？ λ が大きく、一般におよそ20を超える場合、同じ平均と分散を持つ正規分布はポアソン分布を近似し、手計算では扱いやすいことがよくあります。

計算機が科学表記法の数値を表示することがあるのはなぜですか？ 通常、結果は小数点以下6桁まで表示されます。確率が0.0001未満の場合、小数点以下6桁では0.000000に丸められ、実際の小ささが分からなくなるため、計算機は代わりに科学表記法へ切り替えます。λ = 20、k = 1の場合は4.122307e-8と表示され、これは0.00000004122307を意味します。

計算機が受け付ける値には制限がありますか？ はい。λ は0より大きく700以下でなければならず、k は0から1000までの整数でなければなりません。これらの範囲外では、計算機はエラーを表示します。上限を設けることで、結果をコンピューターが保存できる数値の範囲内に収め、グラフの棒の数も読みやすく保っています。

ポアソン分布では、同時に複数のイベントが発生することを許容しますか？ いいえ。このモデルでは、イベントは一度に1つずつ発生すると仮定します。2つのイベントが常に同時に発生する場合は、別の分布のほうがデータに適しています。

参考文献

1. Poisson, Siméon Denis. Recherches sur la probabilité des jugements en matière criminelle et en matière civile. パリ、1837年。
2. Haight, Frank A. Handbook of the Poisson Distribution. ニューヨーク: John Wiley & Sons、1967年。
3. "Poisson Distribution." NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods、第1.3節、6.6。19。https://www.itl.nist.gov/div898/handbook/eda/section3/eda366j.htm
4. Johnson, Norman L., Adrienne W. Kemp, and Samuel Kotz. Univariate Discrete Distributions. John Wiley & Sons、2005年。