ポアソン分布計算機 - イベント確率の計算

ポアソン分布計算機とは？

ポアソン分布計算機は、事象が平均してどの程度の頻度で発生するかをもとに、一定の時間または空間内で特定の回数の事象が発生する確率を求めます。事象が一度に1つずつ、互いに独立して、一定の平均率で発生する場合に使われます。典型的な例として、コールセンターが1時間に受ける電話の件数や、1ページにある誤植の数などがあります。

ポアソン分布の公式

ポアソン分布は、一定の区間における事象の平均回数がλ（ギリシャ文字のラムダ）のとき、ちょうどk回の事象が起こる確率を与えます。その確率質量関数は次のとおりです。

$P(X = k) = \dfrac{e^{-\lambda} \lambda^{k}}{k!}$

各記号の意味は次のとおりです。

• λ（ラムダ） — 一区間あたりの事象の平均回数。この分布に必要な入力は、これだけです。
• k — 確率を求める対象となる事象の正確な回数。整数で、0以上でなければなりません。
• e — オイラー数。約2.71828に等しい定数です。
• k! — 「kの階乗」。1からkまでのすべての整数を掛け合わせた積です。たとえば、4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24です。慣例により、0! = 1です。

この公式に必要なのは λ と k だけです。二項分布とは異なり、試行の総数は必要ありません。

ポアソン確率の計算方法

1. 調べる区間における事象の平均回数である λ を選びます。
2. 確率を求める事象の正確な回数である k を選びます。
3. e を −λ 乗します。これは e^(−λ) になります。
4. λ を k 乗します。これは λ^k になります。
5. k!、つまり k の階乗を求めます。
6. 手順3と4の結果を掛け、その積を手順5の結果で割ります。

得られる数は、0から1の間の確率です。百分率で表すには、100を掛けます。

計算例

あるコールセンターは、1時間あたり平均5件の電話を受けます（λ = 5）。ある1時間にちょうど3件の電話を受ける確率（k = 3）はどのくらいでしょうか？

1. e^(−5) ≈ 0.00673795
2. 5^3 = 125
3. 3! = 3 × 2 × 1 = 6
4. 掛け算：0.00673795 × 125 ≈ 0.842244
5. 6で割る: 0.842244 ÷ 6 ≈ 0.140374

その時間内にちょうど3件の電話がかかってくる確率は約0.140、つまり14%です。

その他の計算例

ポアソン分布が使われる場面

ポアソン分布は、まれで独立した事象の回数をモデル化します。一般的な用途には次のようなものがあります。

• コールセンターと顧客サービス: 時間あたりに何件の電話やチャットが到着するかを予測する。
• 製造: 製品の1バッチに含まれる欠陥の数を推定する。
• 保険: 一定期間に何件の保険金請求が届くかを推定する。
• 生物学と医学: 突然変異の回数や、まれな疾患の広がりをモデル化する。
• 物理学: 各原子が一定の平均率で独立して崩壊する放射性崩壊を表す。
• 交通とネットワーク工学: 交差点への車両の到着や、サーバーに届くリクエストの数を推定する。

ポアソン分布を使うための条件

ポアソン分布は、次の条件がすべて成り立つ場合にのみ状況に適合します。

• 事象は一度に1つずつ発生し、2つの事象がまったく同じ瞬間に発生することはありません。
• 事象は独立して発生します。ある事象が次の事象の起こりやすさを変えることはありません。
• 平均率 λ は、調べる区間全体で一定です。

率が時間とともに変化したり、事象がまとまって発生する傾向があったりする場合、通常のポアソン分布ではデータを適切に表せません。

ポアソン分布と関連する分布の比較

• 二項分布：試行回数が決まっていて、各試行の成功確率がわかっている場合に使います。たとえば、コインを20回投げる場合です。ポアソン分布が当てはまるのは、各試行で事象が起こる確率が非常に小さく、試行回数が非常に多い場合です。このとき、試行回数と一回あたりの確率の積が、λの役割を果たします。
• 正規分布：λが大きいと、ポアソン分布は、平均がλ、分散がλの釣鐘形の正規分布に近くなります。
• 指数分布: ポアソン分布が一定区間内で発生する事象の数を数えるのに対し、指数分布はそれらの事象間の待ち時間を表します。

歴史についての補足

フランスの数学者シメオン・ドニ・ポアソンは、裁判の評決に確率を応用した著書の中で、1837年にこの分布を紹介しました。この業績は、当時ほとんど評価されませんでした。1898年、ラディスラウス・ボルトキエヴィッチが少数の法則を発表しました。彼は、毎年のプロイセン兵の馬の蹴りによる死者数を用いて、大きな母集団における稀な事象がポアソン分布に従うことを示しました。

よくある質問

ポアソン分布におけるラムダ（λ）とは何ですか。 ラムダは、調べている区間で起こると予想される事象の平均回数です。これは分布の分散でもあります。標準偏差は√λなので、λが大きいほど、平均の回数も、起こりうる結果のばらつきも大きくなります。

kやλは、負の数や分数でもよいですか。 λは0より大きくなければなりませんが、一時間あたり2.5回のように小数でも構いません。kは実際の事象の回数を数えるので、0以上の整数でなければならず、負の数や分数にはできません。また計算機は、結果を数値的に安定させるため、λを700まで、kを1,000までに制限しています。

ポアソン分布は二項分布とどう違いますか？ 二項分布には、固定された試行回数と、試行ごとに固定された成功確率が必要です。ポアソン分布に必要なのは平均率だけであり、原理上は何回でも発生しうる事象に適用できます。

代わりに正規分布を使うのは、どのようなときですか。 λが大きいと、平均と分散が同じ正規分布がポアソン分布をよく近似し、手計算ではそのほうが扱いやすいことも多くなります。

なぜ計算機は、数値を科学的記数法で表示することがあるのですか。 確率が0.0001未満になると、計算機は小数点以下六桁の科学的記数法に切り替えます（例：1.000000e-7）。それより大きい結果は、小数点以下六桁で表示します。小数六桁の固定表示では、ごく小さい結果が0.000000と表示され、どれほど小さいかがわからなくなります。

ポアソン分布では、同時に複数の事象が発生することを許容しますか？ いいえ。このモデルでは、事象は一度に1つずつ発生すると仮定します。2つの事象が常に同時に発生する場合は、別の分布のほうがデータに適しています。

参考文献

1. NIST/SEMATECH。e-Handbook of Statistical Methods, 1.3.6.6.19 Poisson Distribution。NIST：ポアソン分布 — 確率質量関数、平均λ、標準偏差√λ。
2. セント・アンドルーズ大学、MacTutor数学史。Siméon-Denis Poisson。MacTutor：ポアソン — この分布は、1837年のRecherchesに初めて登場。確率が小さく、試行回数が多い場合。当時はほとんど評価されなかった。
3. セント・アンドルーズ大学、MacTutor数学史。Ladislaus Bortkiewicz。MacTutor：ボルトキエヴィッチ — The Law of Small Numbers（1898年）と、プロイセンの馬の蹴りのデータ。