ಸರಳ ವೃತ್ತಾಕಾರದ ಕೊನಿನ ಮೇಲ್ಮಟ್ಟ ಮತ್ತು ಪ್ರಮಾಣ ಗಣಕ

सरळ वर्तुळाकार शंकू गणक

परिचय

सरळ वर्तुळाकार शंकू हा एक त्रिमितीय भौगोलिक आकार आहे जो सपाट वर्तुळाकार तळापासून एक बिंदू, ज्याला शिखर किंवा शिखर म्हणतात, पर्यंत हळूहळू संकुचित होतो. त्याला "सरळ" असे म्हणतात कारण शिखराला तळाच्या केंद्राशी जोडणारा रेषा विभाग (अक्ष) तळाशी लांब आहे. हा गणक तुम्हाला सरळ वर्तुळाकार शंकूच्या मुख्य गुणधर्मांची माहिती मिळवण्यात मदत करतो:

एकूण पृष्ठभाग क्षेत्र (A): तळाच्या क्षेत्र आणि बाजूच्या (साइड) पृष्ठभाग क्षेत्राचा एकत्रित.
आकार (V): शंकूच्या आत बंदिस्त जागेची मोजणी.
बाजूचे पृष्ठभाग क्षेत्र (Aₗ): शंकूच्या बाजूच्या (साइड) पृष्ठभागाचे क्षेत्र.
तळाचे पृष्ठभाग क्षेत्र (A_b): वर्तुळाकार तळाचे क्षेत्र.

हे गुणधर्म समजून घेणे अभियांत्रिकी, वास्तुकला आणि विविध भौतिक विज्ञानांमध्ये आवश्यक आहे.

सूत्र

व्याख्या

चला:

r = तळाचा त्रिज्या
h = शंकूची उंची (तळापासून शिखरापर्यंतची लंब रेखा)

स्लांट उंची (l) पायथागोरसच्या प्रमेयाचा वापर करून गणना केली जाऊ शकते:

l = \sqrt{r^2 + h^2}

गणना

तळाचे पृष्ठभाग क्षेत्र (A_b):

वर्तुळाकार तळाचे क्षेत्र असे दिले जाते:
$A_b = \pi r^2$
बाजूचे पृष्ठभाग क्षेत्र (Aₗ):

बाजूचे पृष्ठभाग क्षेत्र म्हणजे शंकूच्या बाजूच्या पृष्ठभागाचे क्षेत्र:
$Aₗ = \pi r l$
एकूण पृष्ठभाग क्षेत्र (A):

तळाचे क्षेत्र आणि बाजूचे पृष्ठभाग क्षेत्र यांचा एकत्रित:
$A = A_b + Aₗ = \pi r^2 + \pi r l = \pi r (r + l)$
आकार (V):

शंकूच्या आत बंदिस्त जागा:
$V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$

काठाचे प्रकरण

शून्य त्रिज्या (r = 0): जर त्रिज्या शून्य असेल, तर शंकू एक रेषेत संकुचित होतो, ज्यामुळे आकार आणि पृष्ठभाग क्षेत्र शून्य होते.
शून्य उंची (h = 0): जर उंची शून्य असेल, तर शंकू एक सपाट वर्तुळ (तळ) बनतो, आणि आकार शून्य आहे. एकूण पृष्ठभाग क्षेत्र तळाच्या क्षेत्राच्या समकक्ष आहे.
नकारात्मक मूल्ये: त्रिज्या किंवा उंचीच्या नकारात्मक मूल्ये या संदर्भात अशारीरिक आहेत. गणक हे सुनिश्चित करते की r ≥ 0 आणि h ≥ 0.

उपयोग केसेस

अभियांत्रिकी आणि डिझाइन

निर्माण: फनेल, संरक्षणात्मक शंकू, आणि यांत्रिक भागांचे डिझाइन करणे.
बांधकाम: शंकूच्या छतांसाठी, टॉवर्स, किंवा समर्थन संरचनांसाठी लागणाऱ्या सामग्रीची गणना करणे.

भौतिक विज्ञान

ऑप्टिक्स: शंकूच्या संरचनांमध्ये प्रकाशाचा प्रसार समजून घेणे.
भूगर्भशास्त्र: ज्वालामुखी शंकूंचे मॉडेलिंग आणि मॅग्मा चेंबरच्या आकारांची गणना करणे.

गणित शिक्षण

ज्यामिती शिकवणे: त्रिमितीय ज्यामिती आणि कलनाच्या तत्त्वांचे प्रदर्शन करणे.
समस्या सोडवणे: गणितीय संकल्पनांसाठी व्यावहारिक अनुप्रयोग प्रदान करणे.

पर्याय

सिलिंडर गणना: समान क्रॉस-सेक्शन असलेल्या आकारांसाठी, सिलिंड्रिकल सूत्रे अधिक योग्य असू शकतात.
शंकूचा फ्रस्टम: जर शंकू कापला गेला असेल (कापला गेला), तर शंकूच्या फ्रस्टमसाठी गणना आवश्यक आहे.

इतिहास

शंकूंचा अभ्यास प्राचीन ग्रीक गणितज्ञांपासून सुरू झाला, जसे की यूक्लिड आणि अपोलोनियस ऑफ पर्गा, ज्यांनी प्रणालीबद्धपणे शंकूच्या विभागांचा अभ्यास केला. शंकूंचा अभ्यास ज्यामिती, कलन, आणि खगोलशास्त्र आणि भौतिकशास्त्रामध्ये अनुप्रयोगांसाठी महत्त्वपूर्ण आहे.

यूक्लिडचे घटक: शंकूंची प्रारंभिक व्याख्या आणि गुणधर्म.
अपोलोनियसचे शंकूचे विभाग: शंकूला समतलाने छेदल्याने तयार होणाऱ्या वक्रांचा सखोल अभ्यास.
कलनाचा विकास: आकार आणि पृष्ठभाग क्षेत्रांची गणना एकात्मिक कलनाच्या विकासात योगदान दिले.

उदाहरणे

संख्यात्मक उदाहरण

एक शंकू ज्याची त्रिज्या r = 5 युनिट आणि उंची h = 12 युनिट आहे.

स्लांट उंची (l) गणना करा:
$l = \sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13 \text{ युनिट}$
तळाचे पृष्ठभाग क्षेत्र (A_b):
$A_b = \pi r^2 = \pi (5)^2 = 25\pi \approx 78.54 \text{ युनिट}^2$
बाजूचे पृष्ठभाग क्षेत्र (Aₗ):
$Aₗ = \pi r l = \pi (5)(13) = 65\pi \approx 204.20 \text{ युनिट}^2$
एकूण पृष्ठभाग क्षेत्र (A):
$A = A_b + Aₗ = 25\pi + 65\pi = 90\pi \approx 282.74 \text{ युनिट}^2$
आकार (V):
$V = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \pi (5)^2 (12) = \frac{1}{3} \pi (25)(12) = 100\pi \approx 314.16 \text{ युनिट}^3$

कोड उदाहरणे

एक्सेल

1' Excel VBA मध्ये सरळ वर्तुळाकार शंकूच्या गुणधर्मांची गणना करा
2Function ConeProperties(r As Double, h As Double) As String
3    If r < 0 Or h < 0 Then
4        ConeProperties = "त्रिज्या आणि उंची शून्य किंवा त्यापेक्षा जास्त असावी."
5        Exit Function
6    End If
7    l = Sqr(r ^ 2 + h ^ 2)
8    A_b = WorksheetFunction.Pi() * r ^ 2
9    A_l = WorksheetFunction.Pi() * r * l
10    A = A_b + A_l
11    V = (1 / 3) * WorksheetFunction.Pi() * r ^ 2 * h
12    ConeProperties = "तळाचे क्षेत्र: " & A_b & vbCrLf & _
13                     "बाजूचे क्षेत्र: " & A_l & vbCrLf & _
14                     "एकूण पृष्ठभाग क्षेत्र: " & A & vbCrLf & _
15                     "आकार: " & V
16End Function
17' Excel सेलमध्ये वापर:
18' =ConeProperties(5, 12)
19

पायथन

1import math
2
3def cone_properties(r, h):
4    if r < 0 or h < 0:
5        return "त्रिज्या आणि उंची शून्य किंवा त्यापेक्षा जास्त असावी."
6    l = math.sqrt(r ** 2 + h ** 2)
7    A_b = math.pi * r ** 2
8    A_l = math.pi * r * l
9    A = A_b + A_l
10    V = (1 / 3) * math.pi * r ** 2 * h
11    return {
12        'तळाचे क्षेत्र': A_b,
13        'बाजूचे क्षेत्र': A_l,
14        'एकूण पृष्ठभाग क्षेत्र': A,
15        'आकार': V
16    }
17
18## उदाहरण वापर
19result = cone_properties(5, 12)
20for key, value in result.items():
21    print(f"{key}: {value:.4f}")
22

जावास्क्रिप्ट

1function coneProperties(r, h) {
2  if (r < 0 || h < 0) {
3    return "त्रिज्या आणि उंची शून्य किंवा त्यापेक्षा जास्त असावी.";
4  }
5  const l = Math.sqrt(r ** 2 + h ** 2);
6  const A_b = Math.PI * r ** 2;
7  const A_l = Math.PI * r * l;
8  const A = A_b + A_l;
9  const V = (1 / 3) * Math.PI * r ** 2 * h;
10  return {
11    तळाचे क्षेत्र: A_b,
12    बाजूचे क्षेत्र: A_l,
13    एकूण पृष्ठभाग क्षेत्र: A,
14    आकार: V,
15  };
16}
17
18// उदाहरण वापर
19const result = coneProperties(5, 12);
20for (const [key, value] of Object.entries(result)) {
21  console.log(`${key}: ${value.toFixed(4)}`);
22}
23

जावा

1public class RightCircularCone {
2    public static void main(String[] args) {
3        double r = 5;
4        double h = 12;
5        String result = coneProperties(r, h);
6        System.out.println(result);
7    }
8
9    public static String coneProperties(double r, double h) {
10        if (r < 0 || h < 0) {
11            return "त्रिज्या आणि उंची शून्य किंवा त्यापेक्षा जास्त असावी.";
12        }
13        double l = Math.sqrt(Math.pow(r, 2) + Math.pow(h, 2));
14        double A_b = Math.PI * Math.pow(r, 2);
15        double A_l = Math.PI * r * l;
16        double A = A_b + A_l;
17        double V = (1.0 / 3) * Math.PI * Math.pow(r, 2) * h;
18        return String.format("तळाचे क्षेत्र: %.4f\nबाजूचे क्षेत्र: %.4f\nएकूण पृष्ठभाग क्षेत्र: %.4f\nआकार: %.4f",
19                A_b, A_l, A, V);
20    }
21}
22

C++

1#include <iostream>
2#include <cmath>
3#include <string>
4
5std::string coneProperties(double r, double h) {
6    if (r < 0 || h < 0) {
7        return "त्रिज्या आणि उंची शून्य किंवा त्यापेक्षा जास्त असावी.";
8    }
9    double l = std::sqrt(r * r + h * h);
10    double A_b = M_PI * r * r;
11    double A_l = M_PI * r * l;
12    double A = A_b + A_l;
13    double V = (1.0 / 3) * M_PI * r * r * h;
14    char buffer[256];
15    snprintf(buffer, sizeof(buffer), "तळाचे क्षेत्र: %.4f\nबाजूचे क्षेत्र: %.4f\nएकूण पृष्ठभाग क्षेत्र: %.4f\nआकार: %.4f",
16             A_b, A_l, A, V);
17    return std::string(buffer);
18}
19
20int main() {
21    double r = 5;
22    double h = 12;
23    std::string result = coneProperties(r, h);
24    std::cout << result << std::endl;
25    return 0;
26}
27

रेखाचित्रे

सरळ वर्तुळाकार शंकूचे SVG रेखाचित्र

रेखाचित्राचे स्पष्टीकरण

शंकूचा आकार: शंकूच्या बाजूच्या रेषा आणि तळाच्या अंडाकृतीने त्रिमितीय आकार दर्शविला आहे.
उंची (h): शिखरापासून तळाच्या केंद्रापर्यंतच्या रेषेच्या रूपात दर्शविले आहे.
त्रिज्या (r): तळाच्या केंद्रापासून तळाच्या काठापर्यंतच्या रेषेच्या रूपात दर्शविले आहे.
लेबल: शंकूच्या मापांचे संकेत देतात.

संदर्भ

हायड्रॉलिक व्यास - विकिपीडिया
ओपन चॅनेल फ्लो गणक
थॉमस, जी. बी., & फिननी, आर. एल. (1996). कलन आणि विश्लेषणात्मक ज्यामिति. अॅडिसन वेस्ली.

नोट: गणक हे सुनिश्चित करते की त्रिज्या (r) आणि उंची (h) शून्य किंवा त्यापेक्षा जास्त असाव्यात. नकारात्मक इनपुट अवैध मानले जातात आणि एक त्रुटी संदेश तयार करतात.

Whiz Tools