Kūgio Tūrio Skaičiuoklė - Apskaičiuokite Kūgio ir Nupjauto Kūgio Tūrį

Kas yra kūgio tūrio skaičiuotuvas?

Kūgio tūrio skaičiuotuvas pagal spindulį ir aukštį apskaičiuoja kūgio arba nupjautinio kūgio (kūgio nupjautosios dalies) tūrį. Kūgis yra geometrinis kūnas, turintis vieną plokščią apskritą pagrindą, kuris tolygiai siaurėja iki vieno taško, vadinamo viršūne. Nupjautinis kūgis yra tai, kas lieka nuo kūgio, kai jo viršus nupjaunamas pjūviu, lygiagrečiu pagrindui, todėl vietoj vieno apskrito paviršiaus lieka du.

Kūgio tūrio formulė

Viso kūgio tūris priklauso nuo jo pagrindo spindulio ir aukščio.

$V = \frac{1}{3} \times \pi \times r² \times h$

• V yra kūgio tūris.
• r yra apskrito pagrindo spindulys.
• h yra aukštis, išmatuotas tiesia linija nuo pagrindo iki viršūnės.
• π (pi) yra apytiksliai 3,14159.

Skaičiavimo pavyzdys

Kūgio, kurio pagrindo spindulys yra 3 vienetai, o aukštis – 4 vienetai, tūris yra toks:

V = (1/3) × π × 3² × 4 = (1/3) × π × 36 = 12π ≈ 37,70 kubinių vienetų

Kaip apskaičiuoti kūgio tūrį naudojant skaičiuotuvą

Skaičiuotuvas priima tris įvestis:

1. Spindulys — pagrindo spindulys.
2. Aukštis — kūgio aukštis nuo pagrindo iki viršūnės.
3. Pjūvio aukštis nuo pagrindo (neprivaloma) — atstumas nuo pagrindo iki vietos, kurioje kūgis nupjaunamas, jei jo viršus nupjaunamas.

Jei pjūvio aukščio laukelis paliekamas tuščias arba įvedama 0, apskaičiuojamas viso, nenupjauto kūgio tūris. Įvedus pjūvio aukštį, mažesnį už visą aukštį, apskaičiuojamas po pjūviu esančios nupjauto kūgio dalies tūris. Po įvesties laukeliais esančioje schemoje ant kūno pažymimi tie patys trys matmenys.

Skaičiuotuvas atmeta spindulį arba aukštį, kuris yra lygus nuliui, neigiamas, neįvestas arba per didelis, kad būtų apdorotas kaip įprastas skaičius. Tokiais atvejais vietoj tūrio parodomas pranešimas, todėl niekada nepateikiamas išgalvotas rezultatas.

Nupjauto kūgio tūrio formulė

Nupjauto kūgio tūris priklauso nuo jo dviejų apskritų pagrindų spindulių ir paties kūgio aukščio.

$V = \frac{1}{3} \times \pi \times h \times (R² + r² + R \times r)$

• R yra didesniojo, apatinio paviršiaus spindulys.
• r yra mažesniojo, viršutinio paviršiaus spindulys.
• h yra nupjauto kūgio aukštis, išmatuotas tarp dviejų paviršių.

Skaičiuotuvas neprašo tiesiogiai įvesti viršutinio spindulio. Vietoj to jis naudoja pagrindo spindulį, kūgio, jei jis nebūtų nupjautas, aukštį ir pjūvio aukštį. Tada, naudodamas panašiuosius trikampius, apskaičiuoja viršutinį spindulį:

$r = R \times \left(1 - \frac{c}{f}\right)$

čia c yra pjūvio aukštis virš pagrindo, o f – visas nenupjauto kūgio aukštis.

Skaičiavimo pavyzdys

Tarkime, kad pagrindo spindulys yra 3 vienetai, visas (nenupjauto) kūgio aukštis yra 12 vienetų, o pjūvio aukštis – 4 vienetai.

Viršutinis spindulys = 3 × (1 − 4/12) = 3 × 2/3 = 2 vienetai

V = (1/3) × π × 4 × (3² + 2² + 3 × 2) = (1/3) × π × 4 × 19 = (76/3)π ≈ 79,59 kubinių vienetų

Jei pjūvio aukštis yra lygus visam aukščiui arba už jį didesnis, pjūvis atliekamas ties viršūne arba virš jos, todėl niekas nepašalinama. Tada skaičiuotuvas pateikia viso kūgio tūrį, o schemoje pavaizduojamas visas kūgis.

Kūgio tūrio formulės istorija

Senovės graikų matematikai pirmieji susiejo kūgio tūrį su cilindro tūriu. Demokritui, veikusiam vėlyvajame 5 amžiuje prieš mūsų erą, priskiriamas teiginys, kad kūgio tūris lygus vienam trečdaliui cilindro, turinčio tokį pat pagrindą ir aukštį, tūrio. Jis to neįrodė. Knido Eudoksas, dirbęs kitame amžiuje, pateikė pirmąjį griežtą įrodymą, naudodamas išsenkamųjų plotų metodą – ankstyvą integralinio skaičiavimo pirmtaką. Nuo tada formulė V = (1/3)πr²h nepasikeitė.

Kūgio tūrio skaičiavimų taikymas

Kūgio ir nupjauto kūgio tūriai apskaičiuojami kaskart, kai forma siaurėja nuo plataus pagrindo iki taško arba mažesnio viršaus. Inžinieriai naudoja šias formules kūginių talpyklų, bunkerių ir piltuvų matmenims nustatyti. Architektai jas naudoja kūginių stogų medžiagų kiekiui įvertinti. Geologai jas naudoja vulkaninių kūgių ir panašių reljefo formų tūriui įvertinti.

Dažnai užduodami klausimai

Kaip apskaičiuoti kūgio tūrį?

Padauginkite π iš spindulio kvadrato, gautą rezultatą padauginkite iš aukščio ir padalykite iš 3: V = (1/3)πr²h. Kūgio, kurio spindulys yra 5 cm, o aukštis – 10 cm, tūris yra maždaug 261,80 kubinių centimetrų.

Kokia yra nupjauto kūgio tūrio formulė?

V = (1/3)πh(R² + r² + Rr), kur R ir r yra dviejų apskritų paviršių spinduliai, o h yra paties nupjauto kūgio aukštis, išmatuotas tarp tų paviršių.

Kaip skaičiuotuvas nustato nupjauto kūgio viršutinį spindulį?

Jis naudoja panašiuosius trikampius. Viršutinis spindulys lygus pagrindo spinduliui, padaugintam iš (1 − pjūvio aukštis ÷ visas kūgio aukštis). Laikoma, kad nupjautas kūgis yra gautas iš kūgio tiesiais šonais.

Kas nutinka, jei pjūvio aukštis yra didesnis už aukštį arba jam lygus?

Skaičiuotuvas laiko, kad tai yra visas, nenupjautas kūgis, ir, naudodamas įvestą spindulį bei aukštį, pateikia V = (1/3)πr²h.

Kas nutinka, jei spindulys arba aukštis yra lygus nuliui arba neigiamas?

Skaičiuotuvas reikalauja, kad spindulys ir aukštis būtų didesni už nulį. Jei kuris nors iš jų lygus nuliui, neigiamas, neįvestas arba per didelis, kad būtų apdorotas kaip įprastas skaičius, vietoj tūrio parodomas pranešimas.

Kaip rasti kūgio tūrį, kai pateiktas skersmuo, o ne spindulys?

Padalykite skersmenį iš 2, kad gautumėte spindulį, tada, kaip įprasta, taikykite formulę V = (1/3)πr²h.

Šaltiniai

1. Weisstein, Eric W. "Cone." MathWorld—Wolfram žiniatinklio išteklius. https://mathworld.wolfram.com/Cone.html
2. Weisstein, Eric W. "Frustum." MathWorld—Wolfram žiniatinklio išteklius. https://mathworld.wolfram.com/Frustum.html