Z-įverčio skaičiuoklė - Standartinio įverčio ir tikimybės įrankis

Kas yra z balas?

Z balas, dar vadinamas standartiniu balu, parodo, kiek standartinių nuokrypių duomenų taškas yra nutolęs nuo duomenų rinkinio vidurkio. Z balas 0 reiškia, kad reikšmė lygi vidurkiui. Teigiamas z balas reiškia, kad reikšmė yra didesnė už vidurkį, o neigiamas z balas – kad ji yra mažesnė už vidurkį.

Z balo formulė

Duomenų taško z balas apskaičiuojamas pagal šią formulę:

$$z = \frac{x - \mu}{\sigma}$$

Kur:

• $z$ yra z balas
• $x$ yra duomenų taškas
• $\mu$ yra duomenų rinkinio vidurkis
• $\sigma$ yra duomenų rinkinio standartinis nuokrypis

Standartinis nuokrypis negali būti lygus nuliui, nes dalybos iš nulio rezultatas neapibrėžtas. Jis taip pat negali būti neigiamas, nes pagal apibrėžimą standartinis nuokrypis visada yra lygus nuliui arba teigiamas.

Kaip apskaičiuoti z balą

1. Apskaičiuokite duomenų rinkinio vidurkį: sudėkite visas reikšmes ir padalykite iš reikšmių skaičiaus, $n$.

$$\mu = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n}$$

2. Apskaičiuokite standartinį nuokrypį. Pirmiausia apskaičiuokite dispersiją – vidutinį kvadratinių nuokrypių nuo vidurkio dydį, – tada ištraukite iš jos kvadratinę šaknį.

$$\sigma = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \mu)^2}{n}}$$

Tai yra populiacijos standartinis nuokrypis, apskaičiuojamas dalijant iš $n$. Kai skaičiai yra imtis iš didesnės grupės, vietoj to dalykite iš $n - 1$.

3. Iš duomenų taško atimkite vidurkį ir padalykite iš standartinio nuokrypio.

$$z = \frac{x - \mu}{\sigma}$$

Skaičiavimo pavyzdys

Mokinys per testą surinko 85 balus. Klasės vidurkis yra 75, o klasės rezultatų standartinis nuokrypis – 10.

• Duomenų taškas: $x = 85$
• Vidurkis: $\mu = 75$
• Standartinis nuokrypis: $\sigma = 10$

$$z = \frac{85 - 75}{10} = 1.0$$

Mokinio z balas yra 1,0. Jo rezultatas yra vienu standartiniu nuokrypiu didesnis už klasės vidurkį.

Z balas ir kumuliacinė tikimybė

Z balą galima paversti sukauptąja tikimybe – tikimybe, kad atsitiktinai parinkta normaliojo skirstinio reikšmė bus ne didesnė už tą tašką. Tai yra plotas po standartinio normaliojo skirstinio kreive kairėje nuo $z$.

$$P(Z \leq z) = \Phi(z)$$

Mokinio z balui 1,0 kumuliacinė tikimybė yra maždaug 0,8413, arba 84,13 %. Tai reiškia, kad mokinys surinko geresnį rezultatą nei maždaug 84 % klasės mokinių, jei rezultatai pasiskirstę pagal normalųjį skirstinį. Skaičiuotuvas z balą pateikia keturių skaitmenų po kablelio tikslumu, o kumuliacinę tikimybę – procentais, dviejų skaitmenų po kablelio tikslumu.

Keli atskaitos taškai:

Z balo interpretavimas

Dauguma normaliojo skirstinio reikšmių patenka į 2 standartinių nuokrypių nuo vidurkio intervalą. Z balai, didesni už +3 arba mažesni už -3, yra reti ir dažnai laikomi išskirtinėmis reikšmėmis – reikšmėmis, kurios labai skiriasi nuo likusių duomenų.

Z balai taip pat leidžia palyginti reikšmes, išmatuotas skirtingomis skalėmis. Testo rezultato ir ūgio matavimo negalima tiesiogiai palyginti, tačiau galima palyginti jų z balus, nes abu apibūdina atstumą nuo vidurkio tais pačiais standartinio nuokrypio vienetais.

Z balas ir t balas

Apskaičiuojant z balą laikoma, kad populiacijos standartinis nuokrypis yra žinomas, ir jis geriausiai tinka didelėms imtims. T balas naudojamas, kai populiacijos standartinis nuokrypis nežinomas, o imtis maža, paprastai kai ją sudaro mažiau nei 30 stebėjimų. Abu balai apibūdina atstumą nuo vidurkio, tačiau t balas gaunamas iš Stjudento t skirstinio, kurio uodegos yra sunkesnės ir taip atsižvelgiama į didesnį mažos imties neapibrėžtumą.

Dažniausi z balų taikymo būdai

• Standartizuotas testavimas. Mokinio neapdoroto rezultato palyginimas su bendru rezultatų pasiskirstymu.
• Išskirčių nustatymas. Duomenų taškų, esančių toli nuo duomenų rinkinio vidurkio, pažymėjimas.
• Kokybės kontrolė. Tikrinama, ar pagamintas gaminys patenka į priimtinų reikšmių intervalą.
• Hipotezių tikrinimas. Atliekant z testus, pagal z balus sprendžiama, ar imties vidurkis reikšmingai skiriasi nuo žinomo populiacijos vidurkio.

Istorija

Z balas remiasi normaliuoju skirstiniu, kurį 1733 metais aprašė Abrahamas de Moivre'as, o 19-ojo amžiaus pradžioje toliau išplėtojo Karlas Friedrichas Gaussas ir Pierre'as-Simonas Laplace'as. Reikšmių standartizavimas standartinio nuokrypio vienetais tapo įprastas psichologiniame testavime ir kokybės kontrolėje 20-ajame amžiuje.

Dažnai užduodami klausimai

Kas yra z balas statistikoje? Z balas – tai standartinių nuokrypių skaičius, nurodantis, kiek duomenų taškas nutolęs nuo savo duomenų rinkinio vidurkio. Jis apskaičiuojamas pagal formulę z = (x − μ) / σ.

Kaip interpretuoti z balo rezultatą? Z balas 0 reiškia, kad reikšmė lygi vidurkiui. Teigiama reikšmė yra didesnė už vidurkį, o neigiama – mažesnė už jį. Reikšmės, didesnės už +3 arba mažesnės už -3, yra neįprastos.

Ar z balas gali būti neigiamas? Taip. Neigiamas z balas paprasčiausiai reiškia, kad duomenų taškas yra mažesnis už vidurkį. Z balas -2 reiškia, kad reikšmė yra 2 standartiniais nuokrypiais mažesnė už vidurkį.

Kuo skiriasi z balas nuo t balo? Z balas taikomas didelėms imtims, kai žinomas populiacijos standartinis nuokrypis. T balas naudojamas mažoms imtims, paprastai mažesnėms nei 30, kai jis nežinomas.

Ką z balo atveju reiškia kumuliacinė tikimybė? Tai tikimybė, kad atsitiktinai pasirinkta normaliojo skirstinio reikšmė bus lygi pateiktam z balui arba už jį mažesnė. Ji lygi plotui po normaliojo skirstinio kreive kairėje nuo šio taško.

Kas nutinka, jei standartinis nuokrypis lygus nuliui? Z balas yra neapibrėžtas, nes pagal formulę reikėtų dalyti iš nulio. Nulinis standartinis nuokrypis reiškia, kad visos duomenų rinkinio reikšmės yra vienodos.

Šaltiniai

1. Standartinis balas, Vikipedija: https://en.wikipedia.org/wiki/Standard_score
2. Normalusis skirstinys ir z balai, „Khan Academy“: https://www.khanacademy.org/math/statistics-probability/modeling-distributions-of-data/z-scores/a/z-scores-review