Z-testas Skaičiuoklė - Nemokamas Statistinio Reikšmingumo Įrankis

Kas yra z testas?

Z testas yra statistinis testas, kuriuo tikrinama, ar imties vidurkis reikšmingai skiriasi nuo žinomo populiacijos vidurkio, kai populiacijos standartinis nuokrypis jau yra žinomas. Jis pateikia vieną skaičių – z balą, rodančią, kiek standartinių nuokrypių imties vidurkis nutolęs nuo populiacijos vidurkio. Tyrėjai, kokybės inspektoriai ir analitikai jį naudoja vertindami, ar stebimas skirtumas tikriausiai yra tikras, ar atsirado dėl atsitiktinumo.

Z testo formulė

Z testu z reikšmė apskaičiuojama pagal formulę:

$Z = \dfrac{\bar{x} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}}$

$\bar{x}$ yra imties vidurkis
$\mu$ yra populiacijos vidurkis
$\sigma$ yra populiacijos standartinis nuokrypis
$n$ yra imties dydis

Apatinė formulės dalis, $\sigma / \sqrt{n}$ , vadinama standartine paklaida. Ji parodo, kiek imčių vidurkiai gali skirtis vien dėl atsitiktinės atrankos.

Kaip žingsnis po žingsnio apskaičiuoti z testą

Iš surinktų duomenų raskite imties vidurkį ( $\bar{x}$ ).
Nustatykite žinomą populiacijos vidurkį ( $\mu$ ).
Nustatykite žinomą populiacijos standartinį nuokrypį ( $\sigma$ ).
Suskaičiuokite imties dydį ( $n$ ).
Iš $\bar{x}$ atimkite $\mu$ .
Padalykite $\sigma$ iš $n$ kvadratinės šaknies, kad gautumėte standartinę paklaidą.
5-ojo žingsnio rezultatą padalykite iš 6-ojo žingsnio rezultato. Gautas atsakymas yra z reikšmė.

Skaičiavimo pavyzdys

Gamykla teigia, kad jos gaminamų varžtų vidutinis ilgis yra 10 cm, o populiacijos standartinis nuokrypis – 0,2 cm. Inspektorius išmatuoja 100 varžtų ir nustato, kad imties vidurkis yra 10,05 cm.

$\bar{x} = 10.05$
$\mu = 10$
$\sigma = 0.2$
$n = 100$

Standartinė paklaida: $0.2 / \sqrt{100} = 0.2 / 10 = 0.02$

Z reikšmė: $(10.05 - 10) / 0.02 = 0.05 / 0.02 = 2.5$

Z balas yra 2,5. Imties vidurkis yra 2,5 standartinės paklaidos virš populiacijos vidurkio.

Kaip interpretuoti z reikšmę

Z reikšmė, artima 0, reiškia, kad imties vidurkis yra artimas populiacijos vidurkiui. Didelė teigiama arba neigiama z reikšmė reiškia, kad imties vidurkis yra toli nuo populiacijos vidurkio, o tai rodo tikrą, o ne atsitiktinį skirtumą.

Įprastos dvipusio testo kritinės reikšmės:

α = 0,10 (90 % pasikliautinasis lygis): z = ±1,645
α = 0,05 (95 % pasikliautinasis lygis): z = ±1,96
α = 0,01 (99 % pasikliautinasis lygis): z = ±2,58

Jei apskaičiuotas z balas yra už pasirinktam reikšmingumo lygiui nustatytos kritinės reikšmės ribų, rezultatas vadinamas statistiškai reikšmingu, o nulinė hipotezė (kad skirtumo nėra) atmetama.

Pateiktame pavyzdyje z balas = 2,5 yra už ±1,96 ribų, todėl skirtumas yra statistiškai reikšmingas esant 0,05 reikšmingumo lygiui. Dvipusio testo p reikšmė, kai z balas = 2,5, yra maždaug 1,24 %, o tai reiškia, kad tikimybė gauti tokio dydžio skirtumą, jei tikrasis vidutinis varžto ilgis iš tiesų būtų 10 cm, yra maždaug 1 iš 80.

Kada naudoti z testą

Z testas tinka, kai:

Populiacijos standartinis nuokrypis yra žinomas.
Imties dydis yra pakankamai didelis, paprastai didesnis nei 30.
Duomenys gauti atsitiktinės atrankos būdu.
Populiacija pasiskirsčiusi pagal normalųjį skirstinį arba imtis yra pakankamai didelė, kad būtų galima taikyti centrinės ribinės teoremos sąlygas.

Jei populiacijos standartinis nuokrypis nežinomas arba imtis maža, vietoj jo naudojamas t testas. T testu kintamumas įvertinamas pagal pačią imtį ir atsižvelgiama į dėl to atsirandantį papildomą neapibrėžtumą.

Z testas ir t testas

Abu testai matuoja, kiek imties vidurkis nutolęs nuo tikėtinos reikšmės, standartinės paklaidos vienetais. Z testu daroma prielaida, kad populiacijos standartinis nuokrypis yra žinomas. T testu ši reikšmė įvertinama pagal imtį ir naudojamas platesnis, nuo imties dydžio priklausantis skirstinys, kad būtų atsižvelgta į papildomą neapibrėžtumą. Praktikoje t testas naudojamas daug dažniau, nes tikrasis populiacijos standartinis nuokrypis retai būna žinomas.

Z testo taikymas realiame pasaulyje

Kokybės kontrolė: tikrinama, ar pagamintų detalių partija atitinka tikslinę specifikaciją.
Medicininiai tyrimai: gydymo grupės vidutinis rezultatas lyginamas su žinoma populiacijos reikšme.
Švietimas: klasės testų rezultatai lyginami su šalies vidurkiu.
Finansai: tikrinama, ar fondo grąža skiriasi nuo lyginamojo indekso vidurkio.

Istorija

Normalųjį skirstinį, kuriuo grindžiamas z testas, Abrahamas de Moivre'as aprašė 1733 metais kaip binominio skirstinio aproksimaciją. Carlas Friedrichas Gaussas ir Pierre'as-Simonas Laplace'as šią teoriją toliau plėtojo XIX amžiaus pradžioje, 1800-aisiais. Formalūs hipotezių tikrinimo metodai, įskaitant z reikšmių ir kritinių reikšmių naudojimą statistiniam reikšmingumui vertinti, buvo sukurti 20 amžiaus pradžioje; prie jų prisidėjo statistikai Ronaldas Fisheris, Jerzy Neymanas ir Egonas Pearsonas.

Ką rodo šis skaičiuotuvas

Skaičiuotuvas prašo įvesti keturis skaičius: imties vidurkį, populiacijos vidurkį, populiacijos standartinį nuokrypį ir imties dydį. Jis pateikia z reikšmę, suapvalintą iki keturių skaitmenų po kablelio. Po rezultatu nubrėžiama standartinio normaliojo skirstinio kreivė ir z reikšmė pažymima vertikalia linija, todėl matoma rezultato vieta skirstinyje. Kreivė yra standartinio normaliojo skirstinio tankio funkcija, $\varphi(x) = e^{-x^{2}/2} / \sqrt{2\pi}$ .

Įvestims taikomi du apribojimai. Imties dydis turi būti didesnis už 0. Populiacijos standartinis nuokrypis turi būti ne mažesnis kaip 0,0001; dėl mažesnės sklaidos z reikšmė tampa milžiniška ir nebeturi naudingos prasmės. Skaičiuotuvas nepateikia p reikšmės, todėl spręsdami, ar rezultatas reikšmingas, naudokite pirmiau pateiktas kritines reikšmes arba standartinio normaliojo skirstinio lentelę.

Dažnai užduodami klausimai

Kuo skiriasi z testas nuo t testo?

Z testui reikalingas žinomas populiacijos standartinis nuokrypis, o geriausiai jis veikia su didelėmis imtimis. T testas naudojamas, kai populiacijos standartinis nuokrypis nežinomas ir jį reikia įvertinti pagal imtį; jis tinka tiek mažoms, tiek didelėms imtims.

Kokio imties dydžio reikia z testui?

Įprasta taisyklė yra didesnė nei 30 imtis. Kai imtis mažesnė, z testo rezultatai tampa nepatikimi, todėl paprastai geriau rinktis t testą.

Ką reiškia z reikšmė 2,5?

Z reikšmė 2,5 reiškia, kad imties vidurkis yra 2,5 standartinės paklaidos virš populiacijos vidurkio. Tai viršija dvipusio testo kritinę reikšmę ±1,96 esant 95 % pasikliautinojo lygio, todėl skirtumas šiame lygyje yra statistiškai reikšmingas. Dvipusio testo p reikšmė, kai z = 2,5, yra maždaug 1,24 %.

Kas yra p reikšmė atliekant z testą?

P reikšmė yra tikimybė gauti bent jau tokį pat kraštutinį rezultatą, koks buvo stebėtas, jei iš tikrųjų nebūtų skirtumo nuo populiacijos vidurkio. Mažesnė p reikšmė yra stipresnis įrodymas prieš nulinę hipotezę. P reikšmė, mažesnė už 0,05, paprastai laikoma statistiškai reikšminga.

Kas yra nulinė hipotezė atliekant z testą?

Nulinė hipotezė teigia, kad tarp imties vidurkio ir populiacijos vidurkio nėra skirtumo. Z testu matuojama, kiek įrodymų imtis pateikia prieš šį teiginį.

Ar z testą galima naudoti mažoms imtims?

Tai nerekomenduojama. Kai imtis maža arba populiacijos standartinis nuokrypis nežinomas, t testas pateikia tikslesnius rezultatus, nes atsižvelgia į papildomą neapibrėžtumą, kylantį vertinant kintamumą pagal ribotus duomenis.