Kritiskās vērtības kalkulators statistikas testiem

Kritiskās vērtības kalkulators

Ievads

Kritiskās vērtības ir būtiskas statistiskajā hipotēžu testēšanā. Tās nosaka slieksni, pie kura mēs noraidām nulles hipotēzi par labu alternatīvai hipotēzei. Aprēķinot kritisko vērtību, pētnieki var noteikt, vai viņu testēšanas statistika atrodas noraidīšanas reģionā un pieņemt pamatotus lēmumus, pamatojoties uz saviem datiem.

Šis kalkulators palīdz jums atrast vienpusējās un divpusējās kritiskās vērtības visbiežāk izmantotajiem statistiskajiem testiem, tostarp Z-testam, t-testam un hi-kvadrāta testam. Tas atbalsta dažādus nozīmīguma līmeņus un brīvības pakāpes, nodrošinot precīzus rezultātus jūsu statistiskajās analīzēs.

Kā izmantot šo kalkulatoru

Izvēlieties testa veidu:
- Z-tests: Lieliem paraugu izmēriem vai zināmai populācijas dispersijai.
- t-tests: Kad paraugu izmērs ir mazs un populācijas dispersija nav zināma.
- Hi-kvadrāta tests: Kategoriskiem datiem un piemērotības testiem.
Izvēlieties astes veidu:
- Vienpusējs tests: Pārbauda virziena efektu (piemēram, lielāks par vai mazāks par noteiktu vērtību).
- Divpusējs tests: Pārbauda jebkādu nozīmīgu atšķirību neatkarīgi no virziena.
Ievadiet nozīmīguma līmeni (( \alpha )):
- Vērtība starp 0 un 1 (izplatītākie izvēles ir 0.05, 0.01, 0.10).
- Pārstāv varbūtību noraidīt nulles hipotēzi, kad tā ir patiesa (I tipa kļūda).
Ievadiet brīvības pakāpes (ja piemērojams):
- Nepieciešams t-testiem un hi-kvadrāta testiem.
- T-testiem: ( df = n - 1 ), kur ( n ) ir paraugu izmērs.
- Hi-kvadrāta testiem: ( df = ) kategoriju skaits mīnus 1.
Aprēķināt:
- Noklikšķiniet uz Aprēķināt pogas, lai iegūtu kritiskās vērtības.
- Rezultāts parādīs kritiskās vērtības, kas atbilst jūsu ievadēm.

Formula

Z-testu kritiskā vērtība

Standarta normālai sadalījumam:

Vienpusējs tests: $Z_c = \Phi^{-1}(1 - \alpha)$
Divpusējs tests: $Z_c = \Phi^{-1}\left(1 - \dfrac{\alpha}{2}\right)$

Kur:

( \Phi^{-1} ) ir inversā kumulatīvā sadalījuma funkcija (kvantila funkcija) standartnormālajai sadalījumam.

t-testu kritiskā vērtība

t-sadalījumam ar ( df ) brīvības pakāpēm:

Vienpusējs tests: $t_c = t^{-1}(1 - \alpha, df)$
Divpusējs tests: $t_c = t^{-1}\left(1 - \dfrac{\alpha}{2}, df\right)$

Kur:

( t^{-1}(p, df) ) ir p-tā kvantila t-sadalījumam ar ( df ) brīvības pakāpēm.

Hi-kvadrāta testa kritiskā vērtība

Hi-kvadrāta sadalījumam ar ( df ) brīvības pakāpēm:

Vienpusējs tests: $\chi^2_c = \chi^2_{1 - \alpha, df}$
Divpusējs tests (sniedz gan apakšējās, gan augšējās kritiskās vērtības):
- Apakšējā kritiskā vērtība: $\chi^2_{\text{lower}} = \chi^2_{\alpha/2, df}$
- Augšējā kritiskā vērtība: $\chi^2_{\text{upper}} = \chi^2_{1 - \alpha/2, df}$

Kur:

( \chi^2_{p, df} ) ir p-tā kvantila hi-kvadrāta sadalījumam.

Aprēķins

Kalkulators veic šādas darbības:

Ievades validācija:
- Pārbauda, vai ( \alpha ) ir starp 0 un 1 (0 < ( \alpha ) < 1).
- Pārliecinās, ka ( df ) ir pozitīvs vesels skaitlis (t-testiem un hi-kvadrāta testiem).
Pielāgojiet nozīmīguma līmeni astes tipam:
- Divpusēju testu gadījumā ( \alpha ) tiek sadalīts uz 2.
Aprēķināt kritiskās vērtības:
- Izmanto statistisko sadalījuma funkcijas, lai atrastu kritiskās vērtības.
- Nodrošina precizitāti pat ekstremālu ( \alpha ) vērtību un ( df ) gadījumā.
Parādīt rezultātus:
- Prezentē kritiskās vērtības, noapaļotas līdz četriem cipariem aiz komata.
- Divpusēju hi-kvadrāta testu gadījumā tiek sniegtas gan apakšējās, gan augšējās kritiskās vērtības.

Malu gadījumi un apsvērumi

Ekstremālie nozīmīguma līmeņi (( \alpha ) tuvu 0 vai 1):
- Kritiskās vērtības tuvojas bezgalībai, kad ( \alpha ) tuvojas 0.
- Kad ( \alpha ) ir ārkārtīgi maza (piemēram, mazāk par ( 10^{-10} )), kritiskā vērtība var būt skaitliski bezgalīga vai nenoteikta.
- Rīcība: Kalkulators parādīs 'Bezgalība' vai 'Nenoteikts' šādos gadījumos. Lietotājiem būtu rūpīgi jāinterpretē šie rezultāti un jāapsver, vai šādi ekstremāli nozīmīguma līmeņi ir piemēroti viņu analīzei.
Lielas brīvības pakāpes (( df )):
- Palielinoties ( df ), t-sadalījums un hi-kvadrāta sadalījums tuvojas normālajam sadalījumam.
- Ļoti lieliem ( df ) kritiskās vērtības var kļūt nenoteiktas sakarā ar skaitliskām ierobežojumiem.
- Rīcība: Kalkulators sniedz brīdinājumus, kad ( df ) pārsniedz praktiskos skaitliskos ierobežojumus. Apsveriet Z-testu kā tuvinājumu šādos gadījumos.
Mazās brīvības pakāpes (( df \leq 1 )):
- Kad ( df = 1 ), t-sadalījums un hi-kvadrāta sadalījums ir smagiem astēm.
- Kritiskās vērtības var būt ļoti lielas vai nenoteiktas.
- Rīcība: Kalkulators brīdina lietotājus, ja ( df ) ir pārāk mazs, lai nodrošinātu uzticamus rezultātus.
Vienpusējie un divpusējie testi:
- Pareiza astes tipa izvēle ir izšķiroša precīzām kritiskajām vērtībām.
- Nepareiza izmantošana var novest pie nepareiziem secinājumiem hipotēžu testēšanā.
- Vadība: Pārliecinieties, ka jūsu pētījuma jautājums atbilst izvēlētajam astes tipam.

Lietošanas gadījumi

Kritiskās vērtības tiek izmantotas dažādās jomās:

Akadēmiskie pētījumi:
- Hipotēžu testēšana eksperimentos un pētījumos.
- Statistisko rezultātu nozīmīguma noteikšana.
Kvalitātes nodrošināšana:
- Ražošanas procesu uzraudzība.
- Kontroles diagrammu izmantošana, lai atklātu anomālijas.
Veselība un medicīna:
- Jaunu ārstēšanas vai medikamentu efektivitātes novērtēšana.
- Klīnisko izmēģinājumu rezultātu analīze.
Finanses un ekonomika:
- Tirgus tendences un ekonomisko rādītāju novērtēšana.
- Datu balstītu investīciju lēmumu pieņemšana.

Alternatīvas

p-vērtības:
- Priekšrocības:
  - Sniedz precīzu varbūtību, ka tiek iegūta testēšanas statistika vismaz tikpat ekstremāla kā novērotā vērtība.
  - Atļauj niansētāku lēmumu pieņemšanu, nevis stingru robežu.
- Trūkumi:
  - Var tikt nepareizi interpretētas; maza p-vērtība nenozīmē efekta lielumu vai tā nozīmīgumu.
  - Atkarīgas no paraugu lieluma; lieli paraugi var radīt mazas p-vērtības trivialiem efektiem.
Uzticības intervāli:
- Priekšrocības:
  - Piedāvā vērtību diapazonu, kurā patiesais parametrs, visticamāk, atrodas.
  - Sniedz informāciju par novērtējuma precizitāti.
- Trūkumi:
  - Tie netiek tieši izmantoti hipotēžu testēšanā.
  - Interpretācija var būt sarežģīta, ja uzticības intervāli pārklājas.
Bajesian metodes:
- Priekšrocības:
  - Iekļauj iepriekšējo zināšanu vai uzskatu analīzē.
  - Sniedz parametra novērtējuma varbūtību sadalījumu.
- Trūkumi:
  - Prasa iepriekšējo sadalījumu specifikāciju, kas var būt subjektīva.
  - Skaitliski intensīvas sarežģītiem modeļiem.
Neparametriskie testi:
- Priekšrocības:
  - Nepieciešams pieņēmums par konkrētu sadalījumu.
  - Noderīgi, ja dati neatbilst parametru testu pieņēmumiem.
- Trūkumi:
  - Parasti mazāk jaudīgi nekā parametru testi, kad pieņēmumi ir izpildīti.
  - Rezultātu interpretācija var būt mazāk skaidra.

Vēsture

Kritisko vērtību attīstība ir saistīta ar statistiskās inferenci attīstību:

20. gadsimta sākums:
- Karl Pearson 1900. gadā ieviesa hi-kvadrāta testu, veidojot pamatu piemērotības testēšanai.
- William Gosset (zem pseidonīma "Student") 1908. gadā izstrādāja t-sadalījumu maziem paraugiem.
Ronald Fisher:
- 20. gadsimta 20. gados Fisher formalizēja statistiskās hipotēžu testēšanas jēdzienu.
- Ieviesa terminu "nozīmīguma līmenis" un uzsvēra pareizu kritisko vērtību izvēli.
Datoru attīstība:
- Datoru parādīšanās ļāva precīzi aprēķināt kritiskās vērtības dažādām sadalījuma funkcijām.
- Statistiskā programmatūra tagad nodrošina ātrus un precīzus rezultātus, atvieglojot plašu izmantošanu pētījumos.

Piemēri

Piemērs 1: Z-testu kritiskās vērtības aprēķināšana (vienpusējs)

Scenārijs: Uzņēmums vēlas pārbaudīt, vai jauns process samazina vidējo ražošanas laiku. Viņi nosaka ( \alpha = 0.05 ).

Risinājums:

Kritiskā vērtība: $Z_c = \Phi^{-1}(1 - \alpha) = \Phi^{-1}(0.95) \approx 1.6449$

Koda piemēri:

Python

1import scipy.stats as stats
2
3alpha = 0.05
4Z_c = stats.norm.ppf(1 - alpha)
5print(f"Kritiskā vērtība (Z_c): {Z_c:.4f}")
6

JavaScript

1// JavaScript piemērs Z-testu kritiskajai vērtībai
2function calculateZCriticalValue(alpha) {
3  return jStat.normal.inv(1 - alpha, 0, 1);
4}
5
6const alpha = 0.05;
7const Z_c = calculateZCriticalValue(alpha);
8console.log(`Kritiskā vērtība (Z_c): ${Z_c.toFixed(4)}`);
9

Piezīme: Prasa jStat bibliotēku statistikas funkcijām.

Excel

1' Excel formula Z-testu kritiskai vērtībai (vienpusējs)
2' Šūnā ievadiet:
3=NORM.S.INV(1 - 0.05)
4
5' Rezultāts:
6' Atgriež 1.6449
7

Piemērs 2: t-testu kritiskās vērtības aprēķināšana (divpusējs)

Scenārijs: Pētnieks veic eksperimentu ar 20 dalībniekiem (( df = 19 )) un izmanto ( \alpha = 0.01 ).

Risinājums:

Kritiskā vērtība: $t_c = t^{-1}\left(1 - \dfrac{\alpha}{2}, df\right) = t^{-1}(0.995, 19) \approx 2.8609$

Koda piemēri:

R

1alpha <- 0.01
2df <- 19
3t_c <- qt(1 - alpha / 2, df)
4print(paste("Kritiskā vērtība (t_c):", round(t_c, 4)))
5

MATLAB

1alpha = 0.01;
2df = 19;
3t_c = tinv(1 - alpha / 2, df);
4fprintf('Kritiskā vērtība (t_c): %.4f\n', t_c);
5

JavaScript

1// JavaScript piemērs t-testu kritiskajai vērtībai
2function calculateTCriticalValue(alpha, df) {
3  return jStat.studentt.inv(1 - alpha / 2, df);
4}
5
6const alpha = 0.01;
7const df = 19;
8const t_c = calculateTCriticalValue(alpha, df);
9console.log(`Kritiskā vērtība (t_c): ${t_c.toFixed(4)}`);
10

Piezīme: Prasa jStat bibliotēku.

Excel

1' Excel formula t-testu kritiskai vērtībai (divpusējs)
2' Šūnā ievadiet:
3=T.INV.2T(0.01, 19)
4
5' Rezultāts:
6' Atgriež 2.8609
7

Piemērs 3: Hi-kvadrāta testa kritiskās vērtības aprēķināšana (divpusējs)

Scenārijs: Analītiķis pārbauda novērotos datus ar sagaidāmajām frekvencēm piecās kategorijās (( df = 4 )) ar ( \alpha = 0.05 ).

Risinājums:

Apakšējā kritiskā vērtība: $\chi^2_{\text{lower}} = \chi^2_{\alpha/2, df} = \chi^2_{0.025, 4} \approx 0.7107$
Augšējā kritiskā vērtība: $\chi^2_{\text{upper}} = \chi^2_{1 - \alpha/2, df} = \chi^2_{0.975, 4} \approx 11.1433$

Koda piemēri:

Python

1import scipy.stats as stats
2
3alpha = 0.05
4df = 4
5chi2_lower = stats.chi2.ppf(alpha / 2, df)
6chi2_upper = stats.chi2.ppf(1 - alpha / 2, df)
7print(f"Apakšējā kritiskā vērtība: {chi2_lower:.4f}")
8print(f"Augšējā kritiskā vērtība: {chi2_upper:.4f}")
9

MATLAB

1alpha = 0.05;
2df = 4;
3chi2_lower = chi2inv(alpha / 2, df);
4chi2_upper = chi2inv(1 - alpha / 2, df);
5fprintf('Apakšējā kritiskā vērtība: %.4f\n', chi2_lower);
6fprintf('Augšējā kritiskā vērtība: %.4f\n', chi2_upper);
7

JavaScript

1// JavaScript piemērs hi-kvadrāta testa kritiskajām vērtībām
2function calculateChiSquaredCriticalValues(alpha, df) {
3  const lower = jStat.chisquare.inv(alpha / 2, df);
4  const upper = jStat.chisquare.inv(1 - alpha / 2, df);
5  return { lower, upper };
6}
7
8const alpha = 0.05;
9const df = 4;
10const chi2_vals = calculateChiSquaredCriticalValues(alpha, df);
11console.log(`Apakšējā kritiskā vērtība: ${chi2_vals.lower.toFixed(4)}`);
12console.log(`Augšējā kritiskā vērtība: ${chi2_vals.upper.toFixed(4)}`);
13

Piezīme: Prasa jStat bibliotēku.

Excel

1' Excel formulas hi-kvadrāta testa kritiskām vērtībām (divpusējs)
2' Apakšējā kritiskā vērtība (šūnā):
3=CHISQ.INV(0.025, 4)
4
5' Augšējā kritiskā vērtība (citā šūnā):
6=CHISQ.INV(0.975, 4)
7
8' Rezultāti:
9' Apakšējā kritiskā vērtība: 0.7107
10' Augšējā kritiskā vērtība: 11.1433
11

Piemērs 4: Ekstremālo vērtību apstrāde (mala gadījums)

Scenārijs: Tests tiek veikts ar ļoti mazu nozīmīguma līmeni ( \alpha = 0.0001 ) un ( df = 1 ).

Risinājums:

Vienpusējā t-testā: $t_c = t^{-1}(1 - \alpha, df)$
Kritiskā vērtība tuvojas ļoti lielai vērtībai.

Koda piemērs (Python):

1import scipy.stats as stats
2
3alpha = 0.0001
4df = 1
5t_c = stats.t.ppf(1 - alpha, df)
6print(f"Kritiskā vērtība (t_c): {t_c}")
7

Rezultāts:

Izvade parādīs ļoti lielu kritisko vērtību, norādot, ka ar tik mazu ( \alpha ) un zemu ( df ) kritiskā vērtība ir ārkārtīgi augsta, potenciāli tuvojas bezgalībai. Tas ilustrē, kā ekstremālas ievades var radīt skaitliskas problēmas.

Apstrāde kalkulatorā:

Kalkulators atgriezīs 'Bezgalība' vai 'Nenoteikts' šādos gadījumos un ieteiks lietotājam apsvērt nozīmīguma līmeņa pielāgošanu vai alternatīvu metožu izmantošanu.

Vizualizācija

Izpratne par kritiskajām vērtībām tiek atvieglota, vizualizējot sadalījuma līknes un ēnotos noraidīšanas reģionus.

Normālais sadalījums (Z-tests)

0 1.96 Standarta normālais sadalījums Noraidīšanas reģions Pieņemšanas reģions Kritiskā vērtība

SVG diagramma, kas ilustrē standarta normālo sadalījumu ar atzīmētām kritiskajām vērtībām. Platība aiz kritiskās vērtības pārstāv noraidīšanas reģionu. X ass pārstāv z-skolu, un Y ass pārstāv varbūtības blīvuma funkciju f(z).

t-sadalījums

0 -2.101 2.101 t-sadalījums (df = 20) Kreisais noraidīšanas reģions Labais noraidīšanas reģions Pieņemšanas reģions Kritiskā vērtība Kritiskā vērtība

SVG diagramma, kas parāda t-sadalījumu ar norādītu brīvības pakāpju kritiskajām vērtībām. Jāatzīmē, ka t-sadalījumam ir smagākas astes salīdzinājumā ar normālo sadalījumu.

Hi-kvadrāta sadalījums

χ² Varbūtības blīvums Hi-kvadrāta sadalījums Divpusējs tests

SVG diagramma, kas attēlo hi-kvadrāta sadalījumu ar atzīmētām apakšējām un augšējām kritiskajām vērtībām divpusējam testam. Sadalījums ir novirzīts uz labo pusi.

Piezīme: SVG diagrammas ir iekļautas saturā, lai uzlabotu izpratni. Katrs diagramma ir precīzi marķēta, un krāsas ir izvēlētas, lai būtu papildinošas Tailwind CSS.

Atsauces

Pearson, K. (1900). On the Criterion that a Given System of Deviations from the Probable in the Case of a Correlated System of Variables is Such that it Can be Reasonably Supposed to Have Arisen from Random Sampling. Philosophical Magazine Series 5, 50(302), 157–175. Saite
Student (Gosset, W. S.) (1908). The Probable Error of a Mean. Biometrika, 6(1), 1–25. Saite
Fisher, R. A. (1925). Statistical Methods for Research Workers. Edinburgh: Oliver & Boyd.
NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods. Kritiskās vērtības. Saite
Wikipedia. Kritiskā vērtība. Saite

Kritiskās vērtības kalkulators statistikas testiem

Kritiskā vērtība

Dokumentācija