Kritisko vērtību kalkulators | Z-tests, t-tests, Hī-kvadrāta tests

Kritiskā vērtība ir robežpunkts varbūtību sadalījumā, kas hipotēzes pārbaudē iezīmē “noraidīšanas apgabala” malu. Ja testa statistika pārsniedz kritisko vērtību, rezultāts tiek uzskatīts par statistiski nozīmīgu un nulles hipotēze tiek noraidīta. Šis kalkulators atrod kritiskās vērtības trim visbiežāk izmantotajiem testiem: Z testam, t testam un hī kvadrāta testam.

Kas ir kritiskā vērtība?

Statistikā pētnieki bieži sāk ar nulles hipotēzi — vienkāršu pieņēmumu, ka nekas neparasts nenotiek, piemēram, ka jaunām zālēm nav ietekmes. No izlases datiem aprēķina testa statistiku un salīdzina to ar kritisko vērtību, lai noteiktu, vai dati sniedz pietiekami daudz pierādījumu pret nulles hipotēzi.

Kritiskā vērtība ir atkarīga no trim lietām: izvēlētā testa, nozīmības līmeņa (apzīmēta ar α, grieķu alfas burtu) un tā, vai tests ir vienpusējs vai divpusējs. Nozīmības līmenis ir varbūtība kļūdaini noraidīt patiesu nulles hipotēzi; to bieži nosaka kā 0,05 (5%) vai 0,01 (1%).

Vienpusējs tests pārbauda ietekmi vienā virzienā, piemēram, “lielāks par”. Tam ir viena kritiskā vērtība. Divpusējs tests pārbauda ietekmi abos virzienos, un tam ir divas kritiskās vērtības — pa vienai katrā sadalījuma pusē.

Kā aprēķināt kritisko vērtību

1. Izvēlieties testu: Z testu (lielām izlasēm vai zināmai populācijas dispersijai), t testu (mazām izlasēm ar nezināmu dispersiju) vai hī kvadrāta testu (kategoriskiem datiem vai atbilstības pārbaudei).
2. Izvēlieties astes tipu: vienpusējs vai divpusējs.
3. Izvēlieties nozīmības līmeni α — skaitli starp 0 un 1. Bieži izmanto 0,10, 0,05 un 0,01.
4. t testam vai hī kvadrāta testam ievadiet brīvības pakāpju skaitu (df). t testam df ir vienāds ar izlases lielumu mīnus 1. Hī kvadrāta atbilstības testam df ir vienāds ar kategoriju skaitu mīnus 1.
5. Atrodiet (vai aprēķiniet) vērtību, kas zem sadalījuma līknes nogriež izvēlētās astes apgabalu. Tā ir kritiskā vērtība.

Kritiskās vērtības formulas

Katrā formulā izmanto kumulatīvā sadalījuma funkcijas inverso funkciju: tā ir tāda x vērtība, kurai laukums zem līknes līdz x ir vienāds ar mērķa varbūtību p.

Z testa formula

$Z_c = \Phi^{-1}(1 - \alpha) \quad \text{(vienpusējs)}$ $Z_c = \Phi^{-1}\left(1 - \frac{\alpha}{2}\right) \quad \text{(divpusējs)}$

Φ⁻¹ ir standarta normālā kumulatīvā sadalījuma funkcijas inversā funkcija.

t testa formula

$t_c = t^{-1}(1 - \alpha,\ df) \quad \text{(vienpusējs)}$ $t_c = t^{-1}\left(1 - \frac{\alpha}{2},\ df\right) \quad \text{(divpusējs)}$

t⁻¹(p, df) ir t sadalījuma kumulatīvā sadalījuma funkcijas inversā funkcija ar df brīvības pakāpēm.

Hī kvadrāta kritērija formula

$\chi^2_c = \chi^2_{1-\alpha,\ df} \quad \text{(vienpusējs)}$ $\chi^2_{\text{apakšējā}} = \chi^2_{\alpha/2,\ df}, \qquad \chi^2_{\text{augšējā}} = \chi^2_{1-\alpha/2,\ df} \quad \text{(divpusējs)}$

Hī kvadrāta sadalījums pieņem tikai pozitīvas vērtības, tāpēc abas kritiskās vērtības ir pozitīvas, un apakšējā vērtība ir mazāka par augšējo.

Piemērs: Z testa kritiskā vērtība

Kvalitātes kontroles komanda vēlas vienpusēja Z testa kritisko vērtību pie α = 0,05.

$Z_c = \Phi^{-1}(1 - 0.05) = \Phi^{-1}(0.95) \approx 1.6449$

Jebkura testa statistika virs 1,6449 nonāk noraidīšanas apgabalā.

Piemērs: t testa kritiskā vērtība

Pētnieks veic eksperimentu ar 20 dalībniekiem, tāpēc df = 19. Viņš vēlas divpusēja testa kritisko vērtību pie α = 0,01.

$t_c = t^{-1}(1 - 0.005,\ 19) = t^{-1}(0.995,\ 19) \approx 2.8609$

Noraidīšanas apgabali ir t < -2,8609 un t > 2,8609.

Piemērs: hī kvadrāta kritiskās vērtības

Analītiķis salīdzina novēroto un sagaidāmo skaitu 5 kategorijās, tāpēc df = 4. Viņš vēlas divpusēja testa kritiskās vērtības pie α = 0,05.

$\chi^2_{\text{apakšējā}} = \chi^2_{0.025,\ 4} \approx 0.4844$ $\chi^2_{\text{augšējā}} = \chi^2_{0.975,\ 4} \approx 11.1433$

Hī kvadrāta statistika, kas ir mazāka par 0,4844 vai lielāka par 11,1433, nonāktu noraidīšanas apgabalā.

Biežāk izmantotās kritiskās vērtības

Palielinoties brīvības pakāpju skaitam, t sadalījuma kritiskās vērtības tuvojas atbilstošajām Z testa vērtībām, jo t sadalījums tuvojas normālajam sadalījumam.

Biežāk uzdotie jautājumi

Kādam nolūkam izmanto kritisko vērtību? Tā nosaka robežu, pēc kuras spriež, vai testa statistika ir pietiekami ekstrēma, lai noraidītu nulles hipotēzi. Ja statistika pārsniedz kritisko vērtību, rezultāts izvēlētajā α līmenī ir statistiski nozīmīgs.

Kāda ir atšķirība starp vienpusēja un divpusēja testa kritisko vērtību? Vienpusējs tests meklē ietekmi vienā virzienā, un tam ir viena kritiskā vērtība. Divpusējs tests meklē ietekmi abos virzienos, un tam ir divas kritiskās vērtības, kas Z testa un t testa gadījumā simetriski izvietotas ap centru. Pie vienāda α divpusēja testa kritiskā vērtība pēc absolūtās vērtības ir lielāka nekā vienpusēja testa kritiskā vērtība, jo viena un tā pati kopējā varbūtība tiek sadalīta starp divām astēm, nevis vienu.

Kad Z tests jāizmanto t testa vietā? Z testu izmanto, ja populācijas dispersija ir zināma vai izlase ir liela, parasti 30 vai vairāk novērojumu. t testu izmanto mazākām izlasēm ar nezināmu populācijas dispersiju. Palielinoties izlases lielumam, t testa kritiskās vērtības tuvojas Z testa kritiskajām vērtībām.

Vai kritiskā vērtība var būt negatīva? Jā. Z testa un t testa sadalījumi ir simetriski ap nulli, tāpēc divpusējam testam ir viena negatīva un viena pozitīva kritiskā vērtība. Hī kvadrāta kritiskās vērtības vienmēr ir pozitīvas, jo hī kvadrāta sadalījums ir definēts tikai nulles vai lielākām vērtībām.

Kā brīvības pakāpju skaits ietekmē kritisko vērtību? Brīvības pakāpes raksturo, cik daudz neatkarīgas informācijas ir datos; parasti tas ir izlases lielums mīnus jau novērtēto parametru skaits. Mazāks brīvības pakāpju skaits rada platākus sadalījumus ar smagākām astēm un lielākām kritiskajām vērtībām. Lielāks brīvības pakāpju skaits t sadalījumu un hī kvadrāta sadalījumu tuvina normālajam sadalījumam.

Kura kritiskā vērtība atbilst 95% ticamības līmenim? 95% ticamības līmenim atbilst α = 0,05. Divpusējam Z testam kritiskās vērtības ir ±1,9600. Vienpusējam Z testam kritiskā vērtība ir 1,6449.

Vēsture

Karls Pīrsons hī kvadrāta testu ieviesa 1900. Viljams Sīlijs Gosets, publicējoties ar pseidonīmu “Student”, izstrādāja t sadalījumu 1908, lai Ginesa alus darītavā varētu analizēt mazas izlases. Ronalds Fišers formalizēja nozīmības testēšanu un kritiskās vērtības 1920. gados savā grāmatā Statistical Methods for Research Workers. Pirms datoru parādīšanās pētnieki kritiskās vērtības meklēja drukātās tabulās; tagad kalkulatori un programmatūra tās aprēķina tieši no sadalījumu formulām.

Atsauces

1. Pearson, K. (1900). “On the criterion that a given system of deviations... is such that it can be reasonably supposed to have arisen from random sampling.” Philosophical Magazine, Series 5, 50(302), 157–175.
2. Student [Gosset, W. S.] (1908). “The probable error of a mean.” Biometrika, 6(1), 1–25.
3. Fisher, R. A. (1925). Statistical Methods for Research Workers. Edinburga: Oliver & Boyd.
4. NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods, “Critical Values.”