Z-vērtības kalkulators - Standarta punktu un varbūtības rīks

Kas ir z-rādītājs?

Z-rādītājs, ko sauc arī par standartizēto rādītāju, nosaka, cik standartnoviržu attālumā datu punkts atrodas no datu kopas vidējās vērtības. Z-rādītājs 0 nozīmē, ka vērtība ir vienāda ar vidējo vērtību. Pozitīvs z-rādītājs nozīmē, ka vērtība ir lielāka par vidējo vērtību, bet negatīvs z-rādītājs — ka tā ir mazāka par vidējo vērtību.

Z-rādītāja formula

Datu punkta z-rādītāju aprēķina, izmantojot šo formulu:

$$z = \frac{x - \mu}{\sigma}$$

Kur:

• $z$ ir z-rādītājs
• $x$ ir datu punkts
• $\mu$ ir datu kopas vidējā vērtība
• $\sigma$ ir datu kopas standartnovirze

Standartnovirze nevar būt nulle, jo dalīšanai ar nulli nav definēta rezultāta. Tā nevar būt arī negatīva, jo pēc definīcijas standartnovirze vienmēr ir nulle vai pozitīva.

Kā aprēķināt z-rādītāju

1. Aprēķiniet datu kopas vidējo vērtību, saskaitot visas vērtības un dalot ar vērtību skaitu $n$.

$$\mu = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n}$$

2. Aprēķiniet standartnovirzi. Vispirms aprēķiniet dispersiju — kvadrātā kāpināto noviržu no vidējās vērtības vidējo lielumu — un pēc tam iegūstiet tās kvadrātsakni.

$$\sigma = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \mu)^2}{n}}$$

Tā ir ģenerālkopas standartnovirze, ko aprēķina, dalot ar $n$. Ja skaitļi ir no lielākas kopas ņemta izlase, daliet ar $n - 1$.

3. No datu punkta atņemiet vidējo vērtību un izdaliet ar standartnovirzi.

$$z = \frac{x - \mu}{\sigma}$$

Atrisināts piemērs

Students testā iegūst 85 punktus. Klases vidējais rezultāts ir 75, bet klases rezultātu standartnovirze ir 10.

• Datu punkts: $x = 85$
• Vidējā vērtība: $\mu = 75$
• Standartnovirze: $\sigma = 10$

$$z = \frac{85 - 75}{10} = 1.0$$

Studenta z-rādītājs ir 1,0. Viņa rezultāts ir par vienu standartnovirzi lielāks nekā klases vidējais rezultāts.

Z-rādītājs un kumulatīvā varbūtība

Z-rādītāju var pārveidot par kumulatīvo varbūtību — varbūtību, ka nejauši izvēlēta vērtība no normālā sadalījuma atrodas šajā punktā vai zem tā. Tā ir laukuma daļa zem standarta normālā sadalījuma līknes pa kreisi no $z$.

$$P(Z \leq z) = \Phi(z)$$

Studenta z-rādītājam 1,0 kumulatīvā varbūtība ir aptuveni 0,8413 jeb 84,13%. Tas nozīmē, ka students ir ieguvis labāku rezultātu nekā aptuveni 84% klases audzēkņu, pieņemot, ka rezultāti atbilst normālajam sadalījumam. Kalkulators parāda z-rādītāju ar četrām zīmēm aiz komata, bet kumulatīvo varbūtību — procentos ar divām zīmēm aiz komata.

Daži atskaites punkti:

Z-rādītāja interpretācija

Lielākā daļa normālā sadalījuma vērtību atrodas ne vairāk kā 2 standartnoviržu attālumā no vidējās vērtības. Z-rādītāji, kas pārsniedz +3 vai -3, ir reti un bieži tiek uzskatīti par novirzēm — vērtībām, kas krasi atšķiras no pārējiem datiem.

Z-rādītāji ļauj arī salīdzināt vērtības, kas izmērītas dažādās skalās. Testa rezultātu un auguma mērījumu nevar tieši salīdzināt, taču to z-rādītājus var salīdzināt, jo abi raksturo attālumu no vidējās vērtības vienādās standartnovirzes vienībās.

Z-rādītājs un t-rādītājs

Z-rādītājs pieņem, ka ģenerālkopas standartnovirze ir zināma, un vislabāk darbojas ar lielām izlasēm. T-rādītāju izmanto, ja ģenerālkopas standartnovirze nav zināma un izlase ir maza, parasti ar mazāk nekā 30 novērojumiem. Abi raksturo attālumu no vidējās vērtības, taču t-rādītāju iegūst no t-sadalījuma, kuram ir smagākas astes, lai ņemtu vērā lielāku nenoteiktību mazā izlasē.

Z-rādītāju izplatītākie lietojumi

• Standartizēta testēšana. Studenta neapstrādātā rezultāta salīdzināšana ar kopējo rezultātu sadalījumu.
• Noviržu noteikšana. Datu punktu, kas datu kopā atrodas tālu no vidējās vērtības, identificēšana.
• Kvalitātes kontrole. Pārbaude, vai izgatavots izstrādājums atbilst pieļaujamajam diapazonam.
• Hipotēžu pārbaude. Z-testi izmanto z-rādītājus, lai novērtētu, vai izlases vidējā vērtība būtiski atšķiras no zināmās ģenerālkopas vidējās vērtības.

Vēsture

Z-rādītājs balstās uz normālo sadalījumu, ko Ābrams de Muavrē aprakstīja 1733. gadā un ko vēlāk attīstīja Karls Frīdrihs Gauss un Pjērs Simons Laplass 19. gadsimta sākumā. Vērtību standartizēšana standartnovirzes vienībās kļuva par ierastu praksi psiholoģiskajā testēšanā un kvalitātes kontrolē 20. gadsimtā.

Biežāk uzdotie jautājumi

Kas statistikā ir z-rādītājs? Z-rādītājs ir standartnoviržu skaits, kas datu punktu atdala no tā datu kopas vidējās vērtības. To aprēķina pēc formulas z = (x − μ) / σ.

Kā interpretēt z-rādītāja rezultātu? Z-rādītājs 0 nozīmē, ka vērtība ir vienāda ar vidējo vērtību. Pozitīva vērtība ir lielāka par vidējo vērtību, bet negatīva vērtība ir mazāka par to. Vērtības, kas pārsniedz +3 vai -3, ir neparastas.

Vai z-rādītājs var būt negatīvs? Jā. Negatīvs z-rādītājs vienkārši nozīmē, ka datu punkts atrodas zem vidējās vērtības. Z-rādītājs -2 nozīmē, ka vērtība atrodas 2 standartnoviržu zem vidējās vērtības.

Kāda ir atšķirība starp z-rādītāju un t-rādītāju? Z-rādītāju izmanto lielām izlasēm, ja ģenerālkopas standartnovirze ir zināma. T-rādītāju izmanto mazām izlasēm, parasti ar mazāk nekā 30 novērojumiem, ja tā nav zināma.

Ko z-rādītājam nozīmē kumulatīvā varbūtība? Tā ir varbūtība, ka nejauši izvēlēta vērtība no normālā sadalījuma ir mazāka par doto z-rādītāju vai vienāda ar to. Tā ir laukuma daļa zem normālā sadalījuma līknes pa kreisi no šī punkta.

Kas notiek, ja standartnovirze ir nulle? Z-rādītājs nav definēts, jo formulā būtu jādalās ar nulli. Standartnovirze, kas ir nulle, nozīmē, ka visas datu kopas vērtības ir identiskas.

Atsauces

1. Standartizētais rādītājs, Wikipedia: https://en.wikipedia.org/wiki/Standard_score
2. Normālais sadalījums un z-rādītāji, Khan Academy: https://www.khanacademy.org/math/statistics-probability/modeling-distributions-of-data/z-scores/a/z-scores-review