Kāta tilpuma kalkulators - Aprēķiniet kāta un nošķeltā kāta tilpumu

Kas ir konusa tilpuma kalkulators?

Konusa tilpuma kalkulators aprēķina konusa vai nošķelta konusa (frustuma) tilpumu pēc tā rādiusa un augstuma. Konuss ir telpisks ķermenis ar vienu plakanu, apaļu pamatni, kas vienmērīgi sašaurinās līdz vienam punktam, ko sauc par virsotni. Nošķelts konuss ir konusa daļa, kas paliek pēc tā augšdaļas nogriešanas ar griezumu, kas ir paralēls pamatnei, tādējādi vienas apļveida skaldnes vietā paliek divas.

Konusa tilpuma formula

Pilna konusa tilpums ir atkarīgs no tā pamatnes rādiusa un augstuma.

$V = \frac{1}{3} \times \pi \times r² \times h$

• V ir konusa tilpums.
• r ir apaļās pamatnes rādiuss.
• h ir augstums, ko mēra taisni no pamatnes līdz virsotnei.
• π (pī) ir aptuveni 3,14159.

Atrisināts piemērs

Konusam, kura pamatnes rādiuss ir 3 vienības un augstums ir 4 vienības, tilpums ir šāds:

V = (1/3) × π × 3² × 4 = (1/3) × π × 36 = 12π ≈ 37,70 kubikvienības

Kā aprēķināt konusa tilpumu ar kalkulatoru

Kalkulatoram nepieciešamas trīs ievadvērtības:

1. Rādiuss — pamatnes rādiuss.
2. Augstums — konusa augstums no pamatnes līdz virsotnei.
3. Griezuma augstums no pamatnes (pēc izvēles) — attālums virs pamatnes, kurā konuss tiek nogriezts, ja tā augšdaļa ir nošķelta.

Ja griezuma augstuma lauku atstāj tukšu vai ievada 0, tiek aprēķināts pilna, nenogrieztā konusa tilpums. Ievadot griezuma augstumu, kas ir mazāks par pilno augstumu, tiek aprēķināts nošķeltā konusa tilpums zem griezuma. Zem ievades laukiem redzamajā diagrammā šie paši trīs mērījumi ir atzīmēti uz ķermeņa.

Kalkulators nepieņem nulli, negatīvu vai tukšu rādiusa vai augstuma vērtību, kā arī vērtību, kas ir pārāk liela, lai to apstrādātu kā parastu skaitli. Šādos gadījumos tas tilpuma vietā parāda paziņojumu, tāpēc nekad neuzrāda izdomātu skaitli.

Nošķelta konusa (frustuma) tilpuma formula

Nošķelta konusa tilpums ir atkarīgs no abu tā apļveida pamatņu rādiusiem un paša augstuma.

$V = \frac{1}{3} \times \pi \times h \times (R² + r² + R \times r)$

• R ir lielākās, apakšējās skaldnes rādiuss.
• r ir mazākās, augšējās skaldnes rādiuss.
• h ir nošķelta konusa augstums, ko mēra starp abām skaldnēm.

Kalkulators neprasa tieši ievadīt augšējās skaldnes rādiusu. Tā vietā tas izmanto pamatnes rādiusu, konusa augstumu, kāds tam būtu, ja tas nebūtu nogriezts, un griezuma augstumu. Pēc tam tas, izmantojot līdzīgus trijstūrus, aprēķina augšējās skaldnes rādiusu:

$r = R \times \left(1 - \frac{c}{f}\right)$

kur c ir griezuma augstums virs pamatnes, bet f — nenogrieztā konusa pilnais augstums.

Atrisināts piemērs

Pieņemsim, ka pamatnes rādiuss ir 3 vienības, pilna (nenogrieztā) konusa augstums ir 12 vienības un griezuma augstums ir 4 vienības.

Augšējās skaldnes rādiuss = 3 × (1 − 4/12) = 3 × 2/3 = 2 vienības

V = (1/3) × π × 4 × (3² + 2² + 3 × 2) = (1/3) × π × 4 × 19 = (76/3)π ≈ 79,59 kubikvienības

Ja griezuma augstums ir vienāds ar pilno augstumu vai lielāks par to, griezums atrodas virsotnes līmenī vai virs tās, tāpēc nekas netiek noņemts. Kalkulators tad atgriež pilna konusa tilpumu, un diagrammā tiek attēlots pilns konuss.

Konusa tilpuma formulas vēsture

Senie grieķu matemātiķi bija pirmie, kas saistīja konusa tilpumu ar cilindra tilpumu. Dēmokritam, kurš darbojās vēlajā 5. gadsimtā p. m. ē., piedēvē apgalvojumu, ka konusa tilpums ir viena trešdaļa no cilindra tilpuma, ja tiem ir vienāda pamatne un augstums. Viņš to nepierādīja. Knīdas Eudokss, kurš darbojās nākamajā gadsimtā, sniedza pirmo stingro pierādījumu, izmantojot paņēmienu, ko sauc par izsmelšanas metodi, kas ir agrīns integrālrēķinu priekštecis. Formula V = (1/3)πr²h kopš tā laika nav mainījusies.

Konusa tilpuma aprēķinu lietojums

Konusa un frustuma tilpumi ir būtiski ikreiz, kad ķermenis sašaurinās no platas pamatnes līdz punktam vai mazākai augšdaļai. Inženieri izmanto šīs formulas, lai noteiktu konisku tvertņu, piltuvju un bunkuru izmērus. Arhitekti tās izmanto, lai aplēstu konisku jumtu materiālu daudzumu. Ģeologi tās izmanto, lai aplēstu vulkānisko konusu un līdzīgu reljefa veidojumu tilpumu.

Biežāk uzdotie jautājumi

Kā aprēķināt konusa tilpumu?

Reiziniet π ar rādiusa kvadrātu, rezultātu reiziniet ar augstumu un pēc tam daliet ar 3: V = (1/3)πr²h. Konusam, kura rādiuss ir 5 cm un augstums ir 10 cm, tilpums ir aptuveni 261,80 kubikcentimetri.

Kāda ir nošķelta konusa (frustuma) formula?

V = (1/3)πh(R² + r² + Rr), kur R un r ir abu apaļo skaldņu rādiusi, bet h ir frustuma paša augstums, ko mēra starp šīm skaldnēm.

Kā kalkulators atrod frustuma augšējās skaldnes rādiusu?

Aprēķinā izmantoti līdzīgi trijstūri. Augšējās pamatnes rādiuss ir vienāds ar pamatnes rādiusu, kas reizināts ar (1 − griezuma augstums ÷ pilnais konusa augstums). Tiek pieņemts, ka nošķeltais konuss ir iegūts no konusa ar taisnām sānu malām.

Kas notiek, ja griezuma augstums ir lielāks par augstumu vai vienāds ar to?

Kalkulators uzskata, ka ķermenis ir pilns, nenogriezts konuss, un, izmantojot ievadīto rādiusu un augstumu, atgriež V = (1/3)πr²h.

Kas notiek, ja rādiuss vai augstums ir nulle vai negatīvs?

Kalkulators pieprasa, lai gan rādiuss, gan augstums būtu lielāki par nulli. Ja kāda no vērtībām ir nulle, negatīva, tukša vai pārāk liela, lai to apstrādātu kā parastu skaitli, tas tilpuma vietā parāda paziņojumu.

Kā atrast konusa tilpumu pēc diametra, nevis rādiusa?

Lai iegūtu rādiusu, daliet diametru ar 2 un pēc tam kā parasti izmantojiet V = (1/3)πr²h.

Atsauces

1. Weisstein, Eric W. "Cone." MathWorld—Wolfram tīmekļa resurss. https://mathworld.wolfram.com/Cone.html
2. Weisstein, Eric W. "Frustum." MathWorld—Wolfram tīmekļa resurss. https://mathworld.wolfram.com/Frustum.html