Pitch-Durchmesser-Rechner: Essentielles Werkzeug für Zahnrad- und Gewindemaß

Einführung in den Pitch-Durchmesser

Der Pitch-Durchmesser-Rechner ist ein essentielles Werkzeug für Ingenieure, Maschinenbauer und Designer, die mit Zahnrädern und gewindetriebenen Komponenten arbeiten. Der Pitch-Durchmesser stellt eine kritische Dimension im Maschinenbau dar, die direkt beeinflusst, wie Zahnräder ineinandergreifen und wie gewindetriebene Befestigungen sich verbinden. Dieser Rechner bietet eine einfache, genaue Möglichkeit, den Pitch-Durchmesser sowohl für Zahnräder als auch für Gewinde zu bestimmen, wodurch komplexe manuelle Berechnungen entfallen und das Potenzial für Fehler in Ihren Designs reduziert wird.

Für Zahnräder ist der Pitch-Durchmesser der theoretische Kreis, an dem das Ineinandergreifen zwischen zwei Zahnrädern stattfindet. Er ist weder der Außendurchmesser noch der Wurzel-Durchmesser, sondern vielmehr die entscheidende mittlere Dimension, an der die Kraft übertragen wird. Bei gewindetriebenen Komponenten stellt der Pitch-Durchmesser den theoretischen Median-Durchmesser dar, an dem die Dicke des Gewindes der Breite der Gewindefurche entspricht, was für eine ordnungsgemäße Passform und Funktion entscheidend ist.

Egal, ob Sie ein Präzisionsgetriebe entwerfen, gewindetriebene Komponenten herstellen oder einfach nur Spezifikationen überprüfen müssen, dieser Pitch-Durchmesser-Rechner bietet eine unkomplizierte Lösung, um schnell genaue Messungen zu erhalten.

Verständnis des Pitch-Durchmessers

Was ist der Pitch-Durchmesser bei Zahnrädern?

Der Pitch-Durchmesser eines Zahnrads ist der Durchmesser des Teilungskreises - eines imaginären Kreises, der die theoretische Kontaktfläche zwischen zwei ineinandergreifenden Zahnrädern darstellt. Es ist eine der wichtigsten Dimensionen im Zahndesign, da sie bestimmt, wie Zahnräder miteinander interagieren. Der Teilungskreis teilt den Zahn in zwei Teile: den Addendum (Teil über dem Teilungskreis) und den Dedendum (Teil unter dem Teilungskreis).

Für Stirnräder, die Zähne parallel zur Drehachse haben, wird der Pitch-Durchmesser (D) mit einer einfachen Formel berechnet:

$D = m \times z$

Wo:

• D = Pitch-Durchmesser (mm)
• m = Modul (mm)
• z = Anzahl der Zähne

Der Modul (m) ist ein standardisiertes Parameter im Zahndesign, das das Verhältnis des Pitch-Durchmessers zur Anzahl der Zähne darstellt. Er definiert im Wesentlichen die Größe der Zähne. Größere Modulwerte führen zu größeren Zähnen, während kleinere Modulwerte kleinere Zähne erzeugen.

Was ist der Pitch-Durchmesser bei Gewinden?

Für gewindetriebene Befestigungen und Komponenten ist der Pitch-Durchmesser ebenfalls wichtig, wird jedoch anders berechnet. Der Pitch-Durchmesser eines Gewindes ist der Durchmesser eines imaginären Zylinders, der durch die Gewinde verläuft, an den Punkten, an denen die Breite des Gewindes der Breite des Raums zwischen den Gewinden entspricht.

Für Standardgewinde wird der Pitch-Durchmesser (D₂) mit dieser Formel berechnet:

$D_2 = D - 0.6495 \times P$

Wo:

• D₂ = Pitch-Durchmesser (mm)
• D = Hauptdurchmesser (mm)
• P = Gewindesteigung (mm)

Der Hauptdurchmesser (D) ist der größte Durchmesser des Gewindes (der Außendurchmesser der Schraube oder der Innendurchmesser der Mutter). Die Gewindesteigung (P) ist der Abstand zwischen benachbarten Gewinden, gemessen parallel zur Gewindeachse.

Verwendung des Pitch-Durchmesser-Rechners

Unser Pitch-Durchmesser-Rechner ist so konzipiert, dass er intuitiv und einfach zu bedienen ist und genaue Ergebnisse sowohl für Zahnrad- als auch für Gewindeberechnungen liefert. Befolgen Sie diese einfachen Schritte, um den Pitch-Durchmesser für Ihre spezifische Anwendung zu bestimmen:

Für Zahnradberechnungen:

1. Wählen Sie "Zahnrad" aus den Berechnungsmodus-Optionen aus.
2. Geben Sie die Anzahl der Zähne (z) in Ihrem Zahndesign ein.
3. Geben Sie den Modulwert (m) in Millimetern ein.
4. Der Rechner zeigt sofort das Ergebnis des Pitch-Durchmessers an.
5. Verwenden Sie die Kopiertaste, um das Ergebnis bei Bedarf in Ihre Zwischenablage zu speichern.

Für Gewindeberechnungen:

1. Wählen Sie "Gewinde" aus den Berechnungsmodus-Optionen aus.
2. Geben Sie den Hauptdurchmesser (D) Ihres Gewindes in Millimetern ein.
3. Geben Sie die Gewindesteigung (P) in Millimetern ein.
4. Der Rechner berechnet und zeigt automatisch den Pitch-Durchmesser an.
5. Kopieren Sie das Ergebnis nach Bedarf für Ihre Entwurfsdokumente oder Fertigungsspezifikationen.

Der Rechner bietet auch eine hilfreiche Visualisierung, die sich in Echtzeit aktualisiert, während Sie die Eingabeparameter anpassen, sodass Sie ein klares Verständnis dafür erhalten, was der Pitch-Durchmesser in Ihrer spezifischen Anwendung darstellt.

Formeln und Berechnungen

Formel für den Pitch-Durchmesser von Zahnrädern

Die Formel zur Berechnung des Pitch-Durchmessers eines Zahnrads ist einfach:

$D = m \times z$

Wo:

• D = Pitch-Durchmesser (mm)
• m = Modul (mm)
• z = Anzahl der Zähne

Diese einfache Multiplikation gibt Ihnen den genauen Pitch-Durchmesser, der für das ordnungsgemäße Ineinandergreifen von Zahnrädern erforderlich ist. Der Modul ist ein standardisierter Wert im Zahndesign, der im Wesentlichen die Größe der Zahnräder definiert.

Beispielberechnung:

Für ein Zahnrad mit 24 Zähnen und einem Modul von 2 mm:

• D = 2 mm × 24
• D = 48 mm

Daher beträgt der Pitch-Durchmesser dieses Zahnrads 48 mm.

Formel für den Pitch-Durchmesser von Gewinden

Für Gewinde verwendet die Berechnung des Pitch-Durchmessers diese Formel:

$D_2 = D - 0.6495 \times P$

Wo:

• D₂ = Pitch-Durchmesser (mm)
• D = Hauptdurchmesser (mm)
• P = Gewindesteigung (mm)

Die Konstante 0.6495 ergibt sich aus dem standardmäßigen 60°-Gewindeprofil, das in den meisten gewindetriebenen Befestigungen verwendet wird. Diese Formel gilt für metrische Gewinde, die weltweit am häufigsten vorkommen.

Beispielberechnung:

Für ein metrisches Gewinde mit einem Hauptdurchmesser von 12 mm und einer Steigung von 1,5 mm:

• D₂ = 12 mm - (0.6495 × 1,5 mm)
• D₂ = 12 mm - 0.97425 mm
• D₂ = 11.02575 mm ≈ 11.026 mm

Daher beträgt der Pitch-Durchmesser dieses Gewindes ungefähr 11.026 mm.

Praktische Anwendungen und Anwendungsfälle

Anwendungen im Zahndesign

Der Pitch-Durchmesser-Rechner ist in zahlreichen Zahndesign-Szenarien von unschätzbarem Wert:

1. Präzisionsmaschinenbau: Bei der Konstruktion von Getrieben für Anwendungen wie Robotik, CNC-Maschinen oder Präzisionsinstrumente stellen genaue Pitch-Durchmesser-Berechnungen sicher, dass Zahnräder ordnungsgemäß ineinandergreifen und reibungslos arbeiten.

2. Automotive-Getriebesysteme: Automobilingenieure verwenden Pitch-Durchmesser-Berechnungen, um Getriebe zu entwerfen, die spezifische Drehmomentanforderungen erfüllen und gleichzeitig die Effizienz aufrechterhalten.

3. Industrielle Ausrüstung: Fertigungsanlagen benötigen oft maßgeschneiderte Zahndesigns mit spezifischen Pitch-Durchmessern, um gewünschte Übersetzungsverhältnisse und Leistungsübertragungsfähigkeiten zu erreichen.

4. Uhren- und Zeitmessung: Uhrmacher verlassen sich auf präzise Pitch-Durchmesser-Berechnungen für die winzigen Zahnräder, die in mechanischen Zeitmessern verwendet werden.

5. 3D-Druck benutzerdefinierter Zahnräder: Hobbyisten und Prototypenbauer können den Pitch-Durchmesser-Rechner verwenden, um benutzerdefinierte Zahnräder für den 3D-Druck zu entwerfen und so eine ordnungsgemäße Passform und Funktion sicherzustellen.

Anwendungen im Gewindedesign

Für gewindetriebene Komponenten erfüllt der Pitch-Durchmesser-Rechner diese wichtigen Funktionen:

1. Befestigungsherstellung: Hersteller verwenden Pitch-Durchmesser-Spezifikationen, um sicherzustellen, dass gewindetriebene Befestigungen den Branchenstandards entsprechen und ordnungsgemäß mit benachbarten Komponenten verbunden werden.

2. Qualitätskontrolle: Qualitätsprüfer verwenden Pitch-Durchmesser-Messungen, um zu überprüfen, ob gewindetriebene Komponenten den Entwurfsspezifikationen entsprechen.

3. Benutzerdefiniertes Gewindedesign: Ingenieure, die spezialisierte gewindetriebene Komponenten für Luft- und Raumfahrt, Medizin oder andere hochpräzise Anwendungen entwerfen, benötigen genaue Pitch-Durchmesser-Berechnungen.

4. Gewindereparatur: Mechaniker und Wartungsfachleute verwenden Pitch-Durchmesser-Informationen, wenn sie beschädigte Gewinde reparieren oder ersetzen.

5. Rohrleitungen und Rohrverbindungen: Eine ordnungsgemäße Gewindeverbindung in Rohrverbindungen hängt von genauen Pitch-Durchmesser-Spezifikationen ab, um leckagefreie Verbindungen zu gewährleisten.

Alternativen zum Pitch-Durchmesser

Während der Pitch-Durchmesser ein grundlegendes Parameter im Zahnrad- und Gewindedesign ist, gibt es alternative Messungen, die in bestimmten Situationen möglicherweise geeigneter sind:

Für Zahnräder:

1. Zahnradmodul: Häufig in imperialen Messsystemen verwendet, ist der Zahnradmodul die Anzahl der Zähne pro Zoll Pitch-Durchmesser. Es ist das Inverse des Moduls.

2. Kreis-Pitch: Der Abstand zwischen entsprechenden Punkten auf benachbarten Zähnen, gemessen entlang des Teilungskreises.

3. Basis-Kreis-Durchmesser: Wird im involuten Zahndesign verwendet, der Basis-Kreis ist der Punkt, an dem die involute Kurve, die das Zahnprofil bildet, entsteht.

4. Druckwinkel: Obwohl es sich nicht um eine Durchmesser-Messung handelt, beeinflusst der Druckwinkel, wie Zahnräder Kraft übertragen, und wird oft zusammen mit dem Pitch-Durchmesser berücksichtigt.

Für Gewinde:

1. Effektiver Durchmesser: Ähnlich wie der Pitch-Durchmesser, berücksichtigt jedoch die Gewindeverformung unter Last.

2. Minordurchmesser: Der kleinste Durchmesser eines Außengewindes oder der größte Durchmesser eines Innengewindes.

3. Gang: Für mehrgängige Gewinde kann der Gang (der Abstand, der bei einer Umdrehung zurückgelegt wird) relevanter sein als die Steigung.

4. Gewinde-Winkel: Der eingeschlossene Winkel zwischen den Gewindeflanken, der die Festigkeit und das Ineinandergreifen des Gewindes beeinflusst.

Geschichte und Entwicklung des Pitch-Durchmessers

Das Konzept des Pitch-Durchmessers hat eine reiche Geschichte im Maschinenbau, die sich parallel zur Entwicklung standardisierter Fertigungspraktiken entwickelt hat.

Frühe Zahnradsysteme

Antike Zivilisationen, einschließlich der Griechen und Römer, verwendeten primitive Zahnradsysteme in Geräten wie dem Antikythera-Mechanismus (ca. 100 v. Chr.), aber diese frühen Zahnräder wiesen keine Standardisierung auf. Während der Industriellen Revolution (18.-19. Jahrhundert) wurde der Bedarf an standardisierten Zahnradparametern offensichtlich, als Maschinen komplexer und weit verbreiteter wurden.

1864 wurde das erste standardisierte System für Zahnräder von dem Philadelphia-Zahnräderhersteller William Sellers vorgeschlagen. Dieses System, das auf dem diametralen Pitch basiert, wurde in den Vereinigten Staaten weit verbreitet. In Europa wurde das Modul-System (direkt mit dem Pitch-Durchmesser verbunden) entwickelt und schließlich durch ISO-Spezifikationen zum internationalen Standard.

Gewindestandards

Die Geschichte der gewindetriebenen Befestigungen reicht bis in die Antike zurück, aber standardisierte Gewindeformen sind eine relativ neue Entwicklung. 1841 schlug Joseph Whitworth das erste standardisierte Gewindesystem in England vor, das als Whitworth-Gewinde bekannt wurde. 1864 führte William Sellers einen konkurrierenden Standard in den Vereinigten Staaten ein.

Das Konzept des Pitch-Durchmessers wurde entscheidend, als sich diese Standards entwickelten und eine konsistente Möglichkeit bot, Gewinde zu messen und zu spezifizieren. Der moderne einheitliche Gewindestandard, der den Pitch-Durchmesser als wichtige Spezifikation verwendet, wurde in den 1940er Jahren als Zusammenarbeit zwischen den USA, dem Vereinigten Königreich und Kanada entwickelt.

Heute bleibt der Pitch-Durchmesser ein grundlegendes Parameter sowohl im ISO-metrischen Gewindestandard (weltweit verwendet) als auch im Unified Thread Standard (häufig in den USA).

Code-Beispiele zur Berechnung des Pitch-Durchmessers

Hier sind Beispiele in verschiedenen Programmiersprachen zur Berechnung des Pitch-Durchmessers:

1' Excel-Formel für den Pitch-Durchmesser von Zahnrädern
2=B2*C2
3' Wo B2 den Modul und C2 die Anzahl der Zähne enthält
4
5' Excel-Formel für den Pitch-Durchmesser von Gewinden
6=D2-(0.6495*E2)
7' Wo D2 den Hauptdurchmesser und E2 die Gewindesteigung enthält
8

1# Python-Funktionen zur Berechnung des Pitch-Durchmessers
2
3def gear_pitch_diameter(module, teeth):
4    """Berechnet den Pitch-Durchmesser eines Zahnrads.
5    
6    Args:
7        module (float): Der Modul in mm
8        teeth (int): Anzahl der Zähne
9        
10    Returns:
11        float: Pitch-Durchmesser in mm
12    """
13    return module * teeth
14
15def thread_pitch_diameter(major_diameter, thread_pitch):
16    """Berechnet den Pitch-Durchmesser eines Gewindes.
17    
18    Args:
19        major_diameter (float): Der Hauptdurchmesser in mm
20        thread_pitch (float): Gewindesteigung in mm
21        
22    Returns:
23        float: Pitch-Durchmesser in mm
24    """
25    return major_diameter - (0.6495 * thread_pitch)
26
27# Beispielverwendung
28gear_pd = gear_pitch_diameter(2, 24)
29print(f"Pitch-Durchmesser Zahnrad: {gear_pd} mm")
30
31thread_pd = thread_pitch_diameter(12, 1.5)
32print(f"Pitch-Durchmesser Gewinde: {thread_pd:.4f} mm")
33

1// JavaScript-Funktionen zur Berechnung des Pitch-Durchmessers
2
3function gearPitchDiameter(module, teeth) {
4  return module * teeth;
5}
6
7function threadPitchDiameter(majorDiameter, threadPitch) {
8  return majorDiameter - (0.6495 * threadPitch);
9}
10
11// Beispielverwendung
12const gearPD = gearPitchDiameter(2, 24);
13console.log(`Pitch-Durchmesser Zahnrad: ${gearPD} mm`);
14
15const threadPD = threadPitchDiameter(12, 1.5);
16console.log(`Pitch-Durchmesser Gewinde: ${threadPD.toFixed(4)} mm`);
17

1public class PitchDiameterCalculator {
2    /**
3     * Berechnet den Pitch-Durchmesser eines Zahnrads
4     * 
5     * @param module Der Modul in mm
6     * @param teeth Anzahl der Zähne
7     * @return Pitch-Durchmesser in mm
8     */
9    public static double gearPitchDiameter(double module, int teeth) {
10        return module * teeth;
11    }
12    
13    /**
14     * Berechnet den Pitch-Durchmesser eines Gewindes
15     * 
16     * @param majorDiameter Der Hauptdurchmesser in mm
17     * @param threadPitch Gewindesteigung in mm
18     * @return Pitch-Durchmesser in mm
19     */
20    public static double threadPitchDiameter(double majorDiameter, double threadPitch) {
21        return majorDiameter - (0.6495 * threadPitch);
22    }
23    
24    public static void main(String[] args) {
25        double gearPD = gearPitchDiameter(2.0, 24);
26        System.out.printf("Pitch-Durchmesser Zahnrad: %.2f mm%n", gearPD);
27        
28        double threadPD = threadPitchDiameter(12.0, 1.5);
29        System.out.printf("Pitch-Durchmesser Gewinde: %.4f mm%n", threadPD);
30    }
31}
32

1#include <iostream>
2#include <iomanip>
3
4// Berechnet den Pitch-Durchmesser eines Zahnrads
5double gearPitchDiameter(double module, int teeth) {
6    return module * teeth;
7}
8
9// Berechnet den Pitch-Durchmesser eines Gewindes
10double threadPitchDiameter(double majorDiameter, double threadPitch) {
11    return majorDiameter - (0.6495 * threadPitch);
12}
13
14int main() {
15    double gearPD = gearPitchDiameter(2.0, 24);
16    std::cout << "Pitch-Durchmesser Zahnrad: " << gearPD << " mm" << std::endl;
17    
18    double threadPD = threadPitchDiameter(12.0, 1.5);
19    std::cout << "Pitch-Durchmesser Gewinde: " << std::fixed << std::setprecision(4) 
20              << threadPD << " mm" << std::endl;
21    
22    return 0;
23}
24

Häufig gestellte Fragen (FAQ)

Was ist der Pitch-Durchmesser bei Zahnrädern?

Der Pitch-Durchmesser bei Zahnrädern ist der Durchmesser des theoretischen Teilungskreises, an dem das Ineinandergreifen zwischen zwei Zahnrädern stattfindet. Er wird berechnet, indem der Modul mit der Anzahl der Zähne multipliziert wird. Dieser Durchmesser ist entscheidend für das ordnungsgemäße Ineinandergreifen von Zahnrädern und die Bestimmung der Mittelpunktabstände zwischen Zahnrädern.

Wie unterscheidet sich der Pitch-Durchmesser vom Außendurchmesser bei Zahnrädern?

Der Pitch-Durchmesser ist kleiner als der Außendurchmesser (auch als Addendum-Durchmesser bezeichnet) eines Zahnrads. Der Außendurchmesser entspricht dem Pitch-Durchmesser plus zweimal dem Addendum-Wert, der typischerweise dem Modul entspricht. Wenn ein Zahnrad beispielsweise einen Pitch-Durchmesser von 48 mm und einen Modul von 2 mm hat, beträgt sein Außendurchmesser 52 mm (48 mm + 2 × 2 mm).

Warum ist der Pitch-Durchmesser für Gewinde wichtig?

Der Pitch-Durchmesser ist für Gewinde entscheidend, da er bestimmt, ob benachbarte Gewinde ordnungsgemäß zusammenpassen. Es ist der theoretische Durchmesser, an dem die Breite des Gewindes der Breite der Gewindefurche entspricht. Ein genauer Pitch-Durchmesser stellt sicher, dass Befestigungen eine ordnungsgemäße Verbindung, Lastverteilung und Dichtfähigkeit erreichen.

Kann ich diesen Rechner für imperiale Zahnräder und Gewinde verwenden?

Ja, aber Sie müssen Ihre imperialen Maße zuerst in metrische umrechnen. Für Zahnräder konvertieren Sie den diametralen Pitch (DP) in Modul mit der Formel: Modul = 25,4 ÷ DP. Für Gewinde konvertieren Sie die Gewinde pro Zoll (TPI) in Steigung mit: Steigung = 25,4 ÷ TPI. Dann können Sie den Rechner normal verwenden und das Ergebnis bei Bedarf wieder in imperial umrechnen.

Wie genau ist der Pitch-Durchmesser-Rechner?

Der Rechner liefert Ergebnisse, die auf vier Dezimalstellen genau sind, was für die meisten Ingenieuranwendungen ausreichend ist. Für extrem hochpräzise Anwendungen müssen jedoch möglicherweise zusätzliche Faktoren wie Temperatureffekte, Materialverformung und Fertigungstoleranzen berücksichtigt werden.

Was ist die Beziehung zwischen Modul und diametralem Pitch?

Modul (m) und diametraler Pitch (DP) sind umgekehrt proportional: m = 25,4 ÷ DP. Modul wird in metrischen Systemen verwendet und in Millimetern gemessen, während der diametrale Pitch in imperialen Systemen verwendet wird und in Zähnen pro Zoll Pitch-Durchmesser gemessen wird.

Wie bestimme ich den richtigen Modul für mein Zahndesign?

Die Modulwahl hängt von Faktoren wie erforderlicher Festigkeit, verfügbarem Raum, Fertigungskapazitäten und Branchenstandards ab. Größere Module erzeugen stärkere Zähne, aber weniger Zähne für einen gegebenen Durchmesser. Gängige Standardmodule reichen von 0,3 mm für kleine Präzisionszahnräder bis zu 50 mm für große Industriezahnräder.

Ändert sich der Pitch-Durchmesser durch Gewindeverschleiß?

Ja, während Gewinde durch Gebrauch verschleißen, kann sich der Pitch-Durchmesser leicht ändern. Aus diesem Grund können kritische gewindetriebene Verbindungen spezifizierte Lebensdauerbeschränkungen haben oder regelmäßige Inspektionen und Ersetzungen erfordern.

Wie beeinflusst der Pitch-Durchmesser das Übersetzungsverhältnis von Zahnrädern?

Das Übersetzungsverhältnis wird durch das Verhältnis der Pitch-Durchmesser (oder gleichwertig, das Verhältnis der Zahnzahlen) zwischen ineinandergreifenden Zahnrädern bestimmt. Wenn beispielsweise ein 48-Zähne-Zahnrad (Pitch-Durchmesser 96 mm) mit einem 24-Zähne-Zahnrad (Pitch-Durchmesser 48 mm) ineinandergreift, beträgt das Übersetzungsverhältnis 2:1.

Kann dieser Rechner für schrägverzahnte Zahnräder verwendet werden?

Die grundlegende Formel (Pitch-Durchmesser = Modul × Anzahl der Zähne) gilt für schrägverzahnte Zahnräder, wenn der normale Modul verwendet wird. Wenn Sie den transversalen Modul haben, sind die Berechnungen bereits berücksichtigt. Für komplexere Berechnungen von schrägverzahnten Zahnrädern wären zusätzliche Formeln erforderlich.

Referenzen

1. Oberg, E., Jones, F. D., Horton, H. L., & Ryffel, H. H. (2016). Machinery's Handbook (30. Aufl.). Industrial Press.

2. ISO 54:1996. Zylindrische Zahnräder für den allgemeinen Maschinenbau und für den schweren Maschinenbau — Module.

3. ISO 68-1:1998. ISO-Gewinde — Grundprofil — Metrische Gewinde.

4. ANSI/AGMA 2101-D04. Fundamentale Bewertungsfaktoren und Berechnungsmethoden für involute Stirn- und schrägverzahnte Zahnräder.

5. Dudley, D. W. (1994). Handbuch für praktische Zahndesigns. CRC Press.

6. Colbourne, J. R. (1987). Die Geometrie der involuten Zahnräder. Springer-Verlag.

7. ASME B1.1-2003. Vereinigte Zoll-Schraubengewinde (UN und UNR-Gewindeform).

8. Deutschman, A. D., Michels, W. J., & Wilson, C. E. (1975). Maschinenbau: Theorie und Praxis. Macmillan.

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