Kalkulator Taburan Poisson - Kira Kebarangkalian Peristiwa

Apakah kalkulator taburan Poisson?

Kalkulator taburan Poisson mencari kebarangkalian bahawa bilangan peristiwa tertentu berlaku dalam tempoh masa atau ruang yang tetap, berdasarkan kekerapan purata peristiwa itu berlaku. Kalkulator ini digunakan apabila peristiwa berlaku satu demi satu, secara bebas antara satu sama lain, pada kadar purata yang tetap. Contoh lazim termasuk bilangan panggilan telefon yang diterima pusat panggilan dalam sejam atau bilangan kesilapan taip pada satu halaman.

Rumus taburan Poisson

Taburan Poisson memberikan kebarangkalian tepat k peristiwa apabila kadar purata ialah λ (huruf Yunani lambda):

$P(X = k) = \dfrac{e^{-\lambda} \lambda^{k}}{k!}$

Setiap simbol bermaksud:

• λ (lambda) — bilangan purata peristiwa bagi setiap selang. Ini ialah satu-satunya parameter taburan tersebut.
• k — bilangan tepat peristiwa yang kebarangkaliannya sedang dikira. Nilainya mestilah nombor bulat, 0 atau lebih.
• e — nombor Euler, pemalar tetap yang kira-kira bersamaan dengan 2.71828.
• k! — “k faktorial”, hasil darab semua nombor bulat daripada 1 hingga k. Contohnya, 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24. Mengikut konvensyen, 0! = 1.

Rumus ini hanya memerlukan λ dan k. Ia tidak memerlukan jumlah percubaan, tidak seperti taburan binomial.

Cara mengira kebarangkalian Poisson

1. Pilih λ, iaitu bilangan purata peristiwa dalam selang yang dikaji.
2. Pilih k, iaitu bilangan tepat peristiwa yang kebarangkaliannya hendak dicari.
3. Naikkan e kepada kuasa negatif λ: ini memberikan e^(−λ).
4. Naikkan λ kepada kuasa k: ini memberikan λ^k.
5. Cari k!, iaitu faktorial bagi k.
6. Darabkan hasil langkah 3 dan 4, kemudian bahagikan dengan hasil langkah 5.

Nombor yang terhasil ialah kebarangkalian antara 0 dan 1. Darabkan nombor itu dengan 100 untuk menyatakannya sebagai peratusan.

Contoh pengiraan

Sebuah pusat panggilan menerima purata 5 panggilan sejam (λ = 5). Apakah kebarangkalian pusat itu menerima tepat 3 panggilan dalam sejam tertentu (k = 3)?

1. e^(−5) ≈ 0.006738
2. 5^3 = 125
3. 3! = 3 × 2 × 1 = 6
4. Darabkan: 0.006738 × 125 ≈ 0.842243
5. Bahagikan dengan 6: 0.842244 ÷ 6 ≈ 0.140374

Kebarangkalian tepat 3 panggilan dalam sejam itu ialah kira-kira 0.140, atau 14%.

Contoh lain

Penggunaan taburan Poisson

Taburan Poisson memodelkan bilangan peristiwa yang jarang berlaku dan saling bebas. Penggunaan lazimnya termasuk:

• Pusat panggilan dan khidmat pelanggan: meramalkan bilangan panggilan atau sembang yang tiba setiap jam.
• Pembuatan: menganggarkan bilangan kecacatan dalam satu kelompok produk.
• Insurans: menganggarkan bilangan tuntutan yang akan tiba dalam tempoh tertentu.
• Biologi dan perubatan: memodelkan bilangan mutasi atau penyebaran penyakit yang jarang berlaku.
• Fizik: menerangkan pereputan radioaktif, apabila setiap atom mereput secara bebas pada kadar purata yang tetap.
• Kejuruteraan trafik dan rangkaian: menganggarkan ketibaan kenderaan di persimpangan atau permintaan yang sampai ke pelayan.

Syarat untuk menggunakan taburan Poisson

Taburan Poisson hanya sesuai untuk sesuatu keadaan apabila semua perkara berikut dipenuhi:

• Peristiwa berlaku satu demi satu; dua peristiwa tidak boleh berlaku tepat pada saat yang sama.
• Peristiwa berlaku secara bebas — satu peristiwa tidak menjadikan peristiwa seterusnya lebih atau kurang berkemungkinan.
• Kadar purata, λ, kekal tetap sepanjang selang yang dikaji.

Jika kadar berubah mengikut masa atau peristiwa cenderung berkumpul, taburan Poisson biasa tidak akan menerangkan data dengan baik.

Poisson berbanding taburan berkaitan

• Taburan binomial: digunakan apabila terdapat bilangan percubaan yang tetap dan kebarangkalian kejayaan yang diketahui bagi setiap percubaan, seperti melambung syiling sebanyak 20 kali. Taburan Poisson ialah bentuk yang didekati oleh taburan binomial apabila bilangan percubaan menjadi sangat besar dan kebarangkalian kejayaan bagi setiap percubaan menghampiri sifar, manakala hasil darab kedua-duanya kekal sekitar λ.
• Taburan normal: bagi λ yang besar, kira-kira melebihi 20, taburan Poisson kelihatan hampir seperti taburan normal berbentuk loceng dengan min λ dan varians λ.
• Taburan eksponen: taburan Poisson mengira bilangan peristiwa yang berlaku dalam selang tetap, manakala taburan eksponen menerangkan masa menunggu antara peristiwa tersebut.

Catatan tentang sejarah

Ahli matematik Perancis Siméon Denis Poisson memperkenalkan taburan ini pada 1837, dalam sebuah buku tentang kebarangkalian yang diaplikasikan pada keputusan mahkamah. Pada mulanya, taburan ini kurang mendapat perhatian. Penggunaannya berkembang pada awal abad ke-20, selepas ahli statistik seperti Ladislaus Bortkiewicz dan Ronald Fisher mengaplikasikannya pada data kiraan sebenar, termasuk kajian terkenal tentang askar Prusia yang terbunuh akibat tendangan kuda.

Soalan lazim

Apakah maksud lambda (λ) dalam taburan Poisson? Lambda ialah bilangan purata peristiwa yang dijangka berlaku dalam selang yang dikaji. Lambda juga ialah varians taburan tersebut, jadi λ yang lebih besar bermaksud kedua-dua kiraan purata yang lebih tinggi dan sebaran hasil yang mungkin lebih luas.

Bolehkah k atau λ bernilai negatif atau pecahan? λ mestilah lebih besar daripada 0 tetapi boleh berupa perpuluhan, seperti 2.5 peristiwa sejam. k mestilah nombor bulat 0 atau lebih kerana ia mengira peristiwa sebenar; k tidak boleh bernilai negatif atau pecahan.

Apakah perbezaan taburan Poisson dengan taburan binomial? Taburan binomial memerlukan bilangan percubaan yang tetap dan kebarangkalian kejayaan yang tetap bagi setiap percubaan. Taburan Poisson hanya memerlukan kadar purata dan sesuai untuk peristiwa yang pada asasnya boleh berlaku berapa kali pun.

Bilakah taburan normal patut digunakan? Bagi λ yang besar, biasanya melebihi kira-kira 20, taburan normal dengan min dan varians yang sama memberikan anggaran yang hampir kepada taburan Poisson dan selalunya lebih mudah digunakan secara manual.

Mengapakah kalkulator kadangkala menunjukkan nombor dalam tatatanda saintifik? Hasil biasanya ditunjukkan hingga enam tempat perpuluhan. Apabila kebarangkalian lebih kecil daripada 0.0001, enam tempat perpuluhan akan membundarkannya kepada 0.000000 dan menyembunyikan betapa kecilnya nilai sebenar, jadi kalkulator beralih kepada tatatanda saintifik. Bagi λ = 20 dan k = 1, kalkulator menunjukkan 4.122307e-8, yang bermaksud 0.00000004122307.

Adakah terdapat had pada nilai yang diterima oleh kalkulator? Ya. λ mestilah lebih besar daripada 0 dan tidak lebih besar daripada 700, manakala k mestilah nombor bulat daripada 0 hingga 1000. Di luar had tersebut, kalkulator menunjukkan ralat. Had ini memastikan hasil kekal dalam julat nombor yang boleh disimpan oleh komputer dan memastikan carta mempunyai bilangan bar yang mudah dibaca.

Adakah taburan Poisson membenarkan lebih daripada satu peristiwa berlaku serentak? Tidak. Model ini mengandaikan bahawa peristiwa berlaku satu demi satu. Jika dua peristiwa lazimnya berlaku bersama, taburan yang berbeza akan lebih sesuai dengan data tersebut.

Rujukan

1. Poisson, Siméon Denis. Recherches sur la probabilité des jugements en matière criminelle et en matière civile. Paris, 1837.
2. Haight, Frank A. Handbook of the Poisson Distribution. New York: John Wiley & Sons, 1967.
3. "Poisson Distribution." NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods, bahagian 1.3.6.6.19. https://www.itl.nist.gov/div898/handbook/eda/section3/eda366j.htm
4. Johnson, Norman L., Adrienne W. Kemp, dan Samuel Kotz. Univariate Discrete Distributions. John Wiley & Sons, 2005.