Kalkulator Taburan Gamma

Pengenalan

Taburan gamma adalah taburan kebarangkalian berterusan yang digunakan secara meluas dalam pelbagai bidang sains, kejuruteraan, dan kewangan. Ia dicirikan oleh dua parameter: parameter bentuk (k atau α) dan parameter skala (θ atau β). Kalkulator ini membolehkan anda mengira pelbagai sifat taburan gamma berdasarkan parameter input ini.

Formula

Fungsi ketumpatan kebarangkalian (PDF) bagi taburan gamma diberikan oleh:

$f(x; k, \theta) = \frac{x^{k-1} e^{-x/\theta}}{\theta^k \Gamma(k)}$

Di mana:

• x > 0 adalah pemboleh ubah rawak
• k > 0 adalah parameter bentuk
• θ > 0 adalah parameter skala
• Γ(k) adalah fungsi gamma

Fungsi taburan kumulatif (CDF) adalah:

$F(x; k, \theta) = \frac{\gamma(k, x/\theta)}{\Gamma(k)}$

Di mana γ(k, x/θ) adalah fungsi gamma tidak lengkap yang lebih rendah.

Sifat utama taburan gamma termasuk:

1. Min: $E[X] = k\theta$
2. Varians: $Var[X] = k\theta^2$
3. Skewness: $\frac{2}{\sqrt{k}}$
4. Kurtosis: $3 + \frac{6}{k}$

Cara Menggunakan Kalkulator Ini

1. Masukkan parameter bentuk (k atau α)
2. Masukkan parameter skala (θ atau β)
3. Klik "Kira" untuk mengira pelbagai sifat taburan gamma
4. Hasil akan memaparkan min, varians, skewness, kurtosis, dan maklumat lain yang berkaitan
5. Visualisasi fungsi ketumpatan kebarangkalian akan ditunjukkan

Pengiraan

Kalkulator menggunakan formula yang disebutkan di atas untuk mengira pelbagai sifat taburan gamma. Berikut adalah penjelasan langkah demi langkah:

1. Sahkan parameter input (kedua-dua k dan θ mesti positif)
2. Kira min: $k\theta$
3. Kira varians: $k\theta^2$
4. Kira skewness: $\frac{2}{\sqrt{k}}$
5. Kira kurtosis: $3 + \frac{6}{k}$
6. Kira mod: $(k-1)\theta$ untuk k ≥ 1, jika tidak 0
7. Hasilkan titik untuk lengkung PDF menggunakan formula yang diberikan di atas
8. Plot lengkung PDF

Pertimbangan Numerik

Apabila melaksanakan pengiraan taburan gamma, beberapa pertimbangan numerik perlu diambil kira:

1. Untuk parameter bentuk yang sangat kecil (k < 1), PDF boleh mendekati tak terhingga apabila x mendekati 0, yang mungkin menyebabkan ketidakstabilan numerik.
2. Untuk parameter bentuk yang besar, fungsi gamma Γ(k) boleh menjadi sangat besar, berpotensi menyebabkan overflow. Dalam kes ini, adalah dinasihatkan untuk bekerja dengan logaritma fungsi gamma.
3. Apabila mengira CDF, sering kali lebih stabil secara numerik untuk menggunakan algoritma khusus untuk fungsi gamma tidak lengkap daripada pengintegrasian langsung PDF.
4. Untuk nilai parameter yang ekstrem, mungkin perlu menggunakan aritmetik ketepatan lanjutan untuk mengekalkan ketepatan.

Kes Penggunaan

Taburan gamma mempunyai banyak aplikasi di pelbagai bidang:

1. Kewangan: Memodelkan taburan pendapatan, jumlah tuntutan insurans, dan pulangan aset
2. Meteorologi: Menganalisis corak hujan dan fenomena berkaitan cuaca lain
3. Kejuruteraan: Analisis kebolehpercayaan dan pemodelan masa kegagalan
4. Fizik: Menggambarkan masa menunggu antara peristiwa peluruhan radioaktif
5. Biologi: Memodelkan kelimpahan spesies dan tahap ekspresi gen
6. Penyelidikan Operasi: Teori antrian dan pengurusan inventori

Alternatif

Walaupun taburan gamma adalah serbaguna, terdapat taburan berkaitan yang mungkin lebih sesuai dalam situasi tertentu:

1. Taburan Eksponen: Kes khas taburan gamma apabila k = 1
2. Taburan Chi-kuasa: Kes khas taburan gamma dengan k = n/2 dan θ = 2
3. Taburan Weibull: Sering digunakan sebagai alternatif dalam analisis kebolehpercayaan
4. Taburan Log-normal: Pilihan biasa lain untuk memodelkan data positif yang condong

Anggaran Parameter

Apabila bekerja dengan data dunia nyata, sering kali perlu untuk menganggarkan parameter taburan gamma. Kaedah biasa termasuk:

1. Kaedah Momen: Menyamakan momen sampel dengan momen teori
2. Anggaran Maksimum Likelihood (MLE): Mencari parameter yang memaksimumkan kebarangkalian untuk mengamati data
3. Anggaran Bayesian: Menggabungkan pengetahuan awal tentang parameter

Ujian Hipotesis

Taburan gamma boleh digunakan dalam pelbagai ujian hipotesis, termasuk:

1. Ujian kesesuaian untuk menentukan sama ada data mengikuti taburan gamma
2. Ujian untuk kesamaan parameter skala antara dua taburan gamma
3. Ujian untuk kesamaan parameter bentuk antara dua taburan gamma

Sejarah

Taburan gamma mempunyai sejarah yang kaya dalam matematik dan statistik:

• Abad ke-18: Leonhard Euler memperkenalkan fungsi gamma, yang berkait rapat dengan taburan gamma
• 1836: Siméon Denis Poisson menggunakan kes khas taburan gamma dalam karyanya mengenai teori kebarangkalian
• 1920-an: Ronald Fisher mempopularkan penggunaan taburan gamma dalam analisis statistik
• Pertengahan abad ke-20: Taburan gamma menjadi digunakan secara meluas dalam kejuruteraan kebolehpercayaan dan ujian hayat
• Akhir abad ke-20 hingga kini: Kemajuan dalam kuasa pengkomputeran telah memudahkan kerja dengan taburan gamma dalam pelbagai aplikasi

Contoh

Berikut adalah beberapa contoh kod untuk mengira sifat-sifat taburan gamma:

1' Fungsi VBA Excel untuk PDF Taburan Gamma
2Function GammaPDF(x As Double, k As Double, theta As Double) As Double
3    If x <= 0 Or k <= 0 Or theta <= 0 Then
4        GammaPDF = CVErr(xlErrValue)
5    Else
6        GammaPDF = (x ^ (k - 1) * Exp(-x / theta)) / (WorksheetFunction.Gamma(k) * theta ^ k)
7    End If
8End Function
9' Penggunaan:
10' =GammaPDF(2, 3, 1)
11

1import numpy as np
2import matplotlib.pyplot as plt
3from scipy.stats import gamma
4
5def plot_gamma_distribution(k, theta):
6    x = np.linspace(0, 20, 1000)
7    y = gamma.pdf(x, a=k, scale=theta)
8    
9    plt.figure(figsize=(10, 6))
10    plt.plot(x, y, 'b-', lw=2, label='PDF')
11    plt.title(f'Taburan Gamma (k={k}, θ={theta})')
12    plt.xlabel('x')
13    plt.ylabel('Ketumpatan Kebarangkalian')
14    plt.legend()
15    plt.grid(True)
16    plt.show()
17
18## Contoh penggunaan:
19k, theta = 2, 2
20plot_gamma_distribution(k, theta)
21
22## Kira sifat
23mean = k * theta
24variance = k * theta**2
25skewness = 2 / np.sqrt(k)
26kurtosis = 3 + 6 / k
27
28print(f"Min: {mean}")
29print(f"Varians: {variance}")
30print(f"Skewness: {skewness}")
31print(f"Kurtosis: {kurtosis}")
32

1function gammaFunction(n) {
2    if (n === 1) return 1;
3    if (n === 0.5) return Math.sqrt(Math.PI);
4    return (n - 1) * gammaFunction(n - 1);
5}
6
7function gammaPDF(x, k, theta) {
8    if (x <= 0 || k <= 0 || theta <= 0) return NaN;
9    return (Math.pow(x, k - 1) * Math.exp(-x / theta)) / (Math.pow(theta, k) * gammaFunction(k));
10}
11
12function calculateGammaProperties(k, theta) {
13    const mean = k * theta;
14    const variance = k * Math.pow(theta, 2);
15    const skewness = 2 / Math.sqrt(k);
16    const kurtosis = 3 + 6 / k;
17
18    console.log(`Min: ${mean}`);
19    console.log(`Varians: ${variance}`);
20    console.log(`Skewness: ${skewness}`);
21    console.log(`Kurtosis: ${kurtosis}`);
22}
23
24// Contoh penggunaan:
25const k = 2, theta = 2;
26calculateGammaProperties(k, theta);
27
28// Plot PDF (menggunakan perpustakaan plotting hipotetikal)
29const xValues = Array.from({length: 100}, (_, i) => i * 0.2);
30const yValues = xValues.map(x => gammaPDF(x, k, theta));
31// plotLine(xValues, yValues);
32

Contoh-contoh ini menunjukkan cara mengira sifat-sifat taburan gamma dan memvisualisasikan fungsi ketumpatan kebarangkalian menggunakan pelbagai bahasa pengaturcaraan. Anda boleh menyesuaikan fungsi-fungsi ini mengikut keperluan spesifik anda atau mengintegrasikannya ke dalam sistem analisis statistik yang lebih besar.

Rujukan

1. "Taburan Gamma." Wikipedia, Yayasan Wikimedia, https://en.wikipedia.org/wiki/Gamma_distribution. Diakses pada 2 Ogos 2024.
2. Johnson, N. L., Kotz, S., & Balakrishnan, N. (1994). Continuous univariate distributions, volume 1 (Vol. 1). John Wiley & Sons.
3. Forbes, C., Evans, M., Hastings, N., & Peacock, B. (2011). Statistical distributions. John Wiley & Sons.
4. Thom, H. C. S. (1958). A note on the gamma distribution. Monthly Weather Review, 86(4), 117-122.
5. Stacy, E. W. (1962). A generalization of the gamma distribution. The Annals of Mathematical Statistics, 33(3), 1187-1192.