Kalkulator Taburan Gamma - Alat Analisis Statistik

Apakah Kalkulator Taburan Gamma?

Kalkulator taburan gamma mencari min, varians, kecondongan, kurtosis dan mod taburan gamma daripada dua input: parameter bentuk dan parameter skala. Kalkulator ini juga melukis fungsi ketumpatan kebarangkalian taburan tersebut sebagai lengkung.

Apakah Taburan Gamma?

Taburan gamma ialah taburan kebarangkalian selanjar untuk nilai positif. Ia ditakrifkan oleh dua parameter: parameter bentuk, biasanya ditulis sebagai k, dan parameter skala, biasanya ditulis sebagai θ (theta). Kedua-duanya mesti lebih besar daripada sifar. Taburan gamma digunakan untuk memodelkan kuantiti yang tidak boleh bernilai negatif, seperti jumlah hujan, saiz tuntutan insurans dan masa sehingga komponen mesin rosak.

Formula Taburan Gamma

Fungsi ketumpatan kebarangkalian (PDF) bagi taburan gamma ialah:

f(x; k, θ) = x^(k−1) · e^(−x/θ) / (θ^k · Γ(k))

Di sini, x ialah nilai tempat ketumpatan diukur, manakala Γ(k) ialah fungsi gamma, iaitu pengitlakan faktorial kepada nombor bukan integer. Formula ini hanya terpakai untuk x > 0; ketumpatan bernilai sifar di semua tempat lain.

Cara Mengira Sifat Taburan Gamma

Berdasarkan parameter bentuk k dan parameter skala θ, kalkulator mencari:

• Min: k × θ
• Varians: k × θ²
• Kecondongan: 2 / √k
• Kurtosis: 3 + 6 / k
• Mod: (k − 1) × θ apabila k ≥ 1, jika tidak 0

Kecondongan mengukur sejauh mana bentuk lengkung tidak simetri. Nilai k yang lebih kecil menghasilkan ekor kanan yang lebih panjang. Kurtosis mengukur ketebalan ekor berbanding dengan taburan normal, yang mempunyai kurtosis 3. Mod ialah nilai x apabila lengkung mencapai puncaknya. Apabila k kurang daripada 1, ketumpatan terus meningkat apabila x menghampiri 0, jadi tiada puncak dalaman dan kalkulator melaporkan mod sebagai 0.

Contoh pengiraan

Ambil parameter bentuk k = 2 dan parameter skala θ = 3.

• Min = 2 × 3 = 6
• Varians = 2 × 3² = 18
• Kecondongan = 2 / √2 ≈ 1.4142
• Kurtosis = 3 + 6 / 2 = 6
• Mod = (2 − 1) × 3 = 3

Pada mod, x = 3, ketumpatan dikira sebagai f(3; 2, 3) = 3¹ · e^(−1) / (3² · Γ(2)) = (3 × 0.3679) / 9 ≈ 0.1226. Kalkulator melakarkan lengkung penuh secara automatik sebaik sahaja kedua-dua parameter dimasukkan.

Cara Menggunakan Kalkulator Taburan Gamma

1. Masukkan parameter bentuk (k), iaitu nombor positif.
2. Masukkan parameter skala (θ), iaitu nombor positif.
3. Min, varians, kecondongan, kurtosis dan mod dipaparkan sebaik sahaja kedua-dua medan mengandungi nombor yang sah. Tiada butang pengiraan berasingan; keputusan dikemas kini semasa nombor dimasukkan.
4. Carta di bawah keputusan menunjukkan fungsi ketumpatan kebarangkalian. Carta itu dilukis dari nilai yang sedikit melebihi x = 0 hingga nilai yang lebih besar antara tiga kali ganda min atau lima kali ganda parameter skala.

Kedua-dua parameter mestilah nombor terhingga yang lebih besar daripada 0, dan tiada satu pun boleh lebih besar daripada 1000. Nilai yang lebih kecil daripada kira-kira 2 × 10⁻¹⁶ juga ditolak kerana nombor ringkasan tidak lagi bermakna pada saiz tersebut. Nilai di luar julat yang diterima menghasilkan mesej ralat dan bukannya keputusan.

Kegunaan Taburan Gamma

Taburan gamma memodelkan banyak kuantiti sebenar yang sentiasa positif dan sering condong ke kanan:

• Insurans: saiz tuntutan dan jumlah bayaran
• Meteorologi: jumlah hujan dalam tempoh yang ditetapkan
• Kejuruteraan: masa sehingga sesuatu komponen rosak
• Teori barisan: masa menunggu yang terbina daripada beberapa langkah eksponen
• Biologi: tahap ekspresi gen dan data bilangan spesies

Taburan Berkaitan

Dua taburan yang terkenal ialah kes khas taburan gamma:

• Taburan eksponen: taburan gamma dengan k = 1
• Taburan khi kuasa dua: taburan gamma dengan k = n/2 dan θ = 2, dengan n ialah darjah kebebasan

Taburan Weibull dan log-normal ialah alternatif yang lazim untuk memodelkan data positif yang condong.

Soalan lazim

Untuk apakah taburan gamma digunakan? Taburan ini memodelkan kuantiti selanjar dan positif seperti masa menunggu, jumlah hujan dan tuntutan insurans, khususnya apabila data cenderung kepada nilai yang besar.

Bagaimanakah min taburan gamma ditentukan? Darabkan parameter bentuk dengan parameter skala: min = k × θ. Bagi k = 2 dan θ = 3, minnya ialah 6.

Apakah perbezaan antara parameter bentuk dan parameter skala? Parameter bentuk (k) mengawal bentuk lengkung, termasuk kecondongannya. Parameter skala (θ) meregangkan atau memampatkan lengkung sepanjang paksi-x tanpa mengubah bentuk asasnya.

Apakah hubungan antara taburan gamma dengan taburan eksponen? Taburan eksponen ialah taburan gamma dengan parameter bentuk k = 1.

Bolehkah taburan gamma mengambil nilai negatif? Tidak. Taburan ini ditakrifkan hanya untuk x > 0. Data yang boleh bernilai negatif memerlukan taburan lain, seperti taburan normal.

Adakah kalkulator ini mengira fungsi taburan kumulatif? Tidak. Kalkulator ini mengira min, varians, kecondongan, kurtosis dan mod, serta melakarkan fungsi ketumpatan kebarangkalian. Kalkulator ini tidak mengeluarkan nilai kebarangkalian kumulatif.

Rujukan

1. "Gamma distribution." Wikipedia, Wikimedia Foundation. https://en.wikipedia.org/wiki/Gamma_distribution
2. Johnson, N. L., Kotz, S., & Balakrishnan, N. (1994). Continuous Univariate Distributions, Jilid 1. John Wiley & Sons.