Kalkulator Taburan Laplace - Alat PDF & Visualisasi Percuma

Apakah taburan Laplace?

Taburan Laplace, yang juga dikenali sebagai taburan eksponen berganda, ialah taburan kebarangkalian selanjar yang berbentuk seperti dua lengkung eksponen yang disambungkan secara belakang-ke-belakang pada puncaknya. Taburan ini simetri di sekitar nilai tengah dan mempunyai ekor yang lebih berat berbanding taburan normal, jadi ia memberikan kebarangkalian yang lebih tinggi kepada nilai ekstrem. Kalkulator taburan Laplace pada halaman ini mencari ketumpatan kebarangkalian puncak taburan berdasarkan parameter lokasi dan parameter skala, serta melukis lengkung ketumpatan penuh.

Taburan ini dinamakan sempena Pierre-Simon Laplace, ahli matematik Perancis yang mula-mula menghuraikannya pada 1774.

Formula taburan Laplace

Fungsi ketumpatan kebarangkalian (PDF) bagi taburan Laplace ialah:

$f(x \mid \mu, b) = \frac{1}{2b} \exp\left(-\frac{|x-\mu|}{b}\right)$

• x ialah sebarang titik pada garis nombor.
• μ (mu), iaitu parameter lokasi, ialah pusat taburan. Nilai ini juga merupakan min dan median.
• b, iaitu parameter skala, mengawal sejauh mana taburan tersebar. Nilainya mestilah lebih besar daripada 0.
• |x − μ| ialah jarak antara x dengan pusat, tanpa mengambil kira arah.

Lengkung mencapai titik tertingginya tepat pada x = μ. Pada titik itu, formula menjadi lebih ringkas kerana |μ − μ| = 0 dan exp(0) = 1, lalu menghasilkan:

$f(\mu \mid \mu, b) = \frac{1}{2b}$

Nilai puncak ini, 1/(2b), ialah nombor yang dilaporkan oleh kalkulator.

Cara menggunakan kalkulator taburan Laplace

1. Masukkan parameter lokasi (μ). Ini menetapkan kedudukan pusat taburan.
2. Masukkan parameter skala (b). Nilai ini mestilah nombor positif; semakin besar nilainya, semakin rendah dan tersebar luas lengkung tersebut.
3. Kalkulator memaparkan ketumpatan puncak, 1/(2b), dan memplot lengkung ketumpatan f(x) daripada μ − 4b hingga μ + 4b. Paksi menegak graf ialah ketumpatan kebarangkalian, dan lengkung tersebut boleh dimuat turun sebagai jadual nilai x dan f(x).

Kalkulator ini tidak menerima nilai x yang berasingan. Ia sentiasa melaporkan ketumpatan pada puncak taburan itu sendiri, x = μ, kerana itulah satu-satunya nombor ringkasan yang paling berguna untuk membandingkan taburan dengan skala yang berbeza. Untuk mencari ketumpatan pada titik lain, gunakan formula di atas dengan nilai x yang dikehendaki, atau baca ketinggiannya pada graf.

Contoh pengiraan

Ambil lokasi μ = 4 dan skala b = 2.

1. Pastikan b positif: 2 > 0, jadi input adalah sah.
2. Puncak berlaku pada x = μ = 4, apabila |x − μ| = 0.
3. Hitung ketumpatan puncak: 1 / (2 × 2) = 1 / 4 = 0.25.

Kalkulator memaparkan 0.250000. Lengkung yang diplot memuncak pada (4, 0.25) dan menurun secara simetri pada kedua-dua belah, merangkumi μ − 4b hingga μ + 4b, iaitu daripada −4 hingga 12 dalam kes ini.

Oleh sebab formula ketumpatan puncak, 1/(2b), tidak mengandungi μ, perubahan lokasi hanya mengalihkan lengkung ke kiri atau ke kanan. Perubahan itu tidak mengubah ketinggiannya. Hanya parameter skala yang mengubah ketinggian.

Contoh lain

Min, varians dan sisihan piawai

Bagi taburan Laplace dengan lokasi μ dan skala b:

• Min = μ
• Median = μ
• Varians = 2b²
• Sisihan piawai = b√2

Taburan Laplace berbanding taburan normal

Kedua-dua taburan adalah simetri dan berbentuk loceng, serta kedua-duanya dicirikan sepenuhnya oleh nilai pusat dan parameter sebaran. Perbezaannya terletak pada ekor. Dalam taburan normal, ketumpatan mengecil mengikut kuasa dua jarak dari min, jadi nilai ekstrem menjadi sangat jarang dengan cepat. Dalam taburan Laplace, ketumpatan mengecil mengikut jarak biasa, jadi nilai ekstrem kekal secara perbandingan lebih berkemungkinan. Hal ini menjadikan taburan Laplace berguna apabila data sebenar mempunyai lebih banyak pencilan berbanding yang diramalkan oleh taburan normal.

Kegunaan umum

• Pemprosesan isyarat dan imej: memodelkan hingar dan memampatkan imej, kerana perbezaan piksel atau isyarat sering berkumpul berhampiran sifar dengan sesekali lompatan besar.
• Privasi berbeza: mekanisme Laplace menambahkan hingar bertaburan Laplace pada hasil pertanyaan untuk melindungi data individu sambil mengekalkan ketepatan keseluruhan.
• Statistik teguh dan regresi: regresi Lasso menggunakan taburan terdahulu berbentuk Laplace, yang memihak kepada penyelesaian dengan banyak pekali tepat sifar.
• Kewangan: memodelkan pulangan aset, yang cenderung mempunyai ekor lebih berat daripada yang dicadangkan oleh taburan normal.
• Seismologi: muncul dalam model corak magnitud gempa bumi yang berkaitan dengan hukum Gutenberg-Richter.

Soalan lazim

Apakah maksud hasil kalkulator?

Nilai itu ialah nilai puncak, atau maksimum, bagi fungsi ketumpatan kebarangkalian, yang sama dengan 1/(2b). Nilai ini ialah ketinggian lengkung pada pusatnya, x = μ.

Mengapakah kalkulator tidak meminta nilai x?

Ketumpatan puncak, 1/(2b), adalah sama pada setiap nilai x yang bersamaan dengan μ, jadi input x yang berasingan tidak diperlukan untuk mencarinya. Nilai ini ialah nombor tunggal piawai yang digunakan untuk membandingkan ketinggian dan kelebaran dua taburan Laplace. Lengkung penuh, yang menunjukkan ketumpatan pada setiap x, tersedia pada graf.

Bagaimanakah cara mencari ketumpatan pada titik selain puncak?

Gunakan formula $f(x) = \frac{1}{2b} \exp\left(-\frac{|x-\mu|}{b}\right)$ dengan nilai x yang dikehendaki, atau baca ketinggiannya secara langsung daripada lengkung yang diplot.

Apakah perbezaan taburan Laplace dengan taburan eksponen?

Taburan Laplace boleh dibina daripada dua taburan eksponen. Jika X dan Y ialah pemboleh ubah rawak beragihan eksponen yang bebas antara satu sama lain dengan kadar yang sama, maka X − Y mengikut taburan Laplace yang berpusat pada 0.

Apakah kegunaan lazim taburan Laplace?

Taburan ini digunakan dalam pemprosesan isyarat, pemampatan imej, privasi berbeza, statistik teguh, regresi Lasso, serta pemodelan pulangan kewangan dan magnitud gempa bumi, apabila data sebenar menunjukkan lebih banyak nilai ekstrem berbanding yang diramalkan oleh taburan normal.

Bolehkah taburan Laplace mempunyai nilai negatif atau adakah ia hanya untuk nilai positif?

Taburan ini ditakrifkan untuk semua nombor nyata, sama ada positif atau negatif, tidak seperti taburan eksponen yang hanya mengambil nilai tidak negatif.

Rujukan

1. Kotz, S., Kozubowski, T., & Podgórski, K. (2001). The Laplace Distribution and Generalizations. Birkhäuser, Boston, MA.
2. "Laplace distribution." Wikipedia, Wikimedia Foundation. https://en.wikipedia.org/wiki/Laplace_distribution