Kalkulator Taburan Laplace

Pengenalan

Taburan Laplace, juga dikenali sebagai taburan eksponensial berganda, adalah taburan kebarangkalian berterusan yang dinamakan sempena Pierre-Simon Laplace. Ia simetri di sekitar puratanya (parameter lokasi) dan mempunyai ekor yang lebih berat berbanding taburan normal. Kalkulator ini membolehkan anda mengira fungsi ketumpatan kebarangkalian (PDF) bagi taburan Laplace untuk parameter yang diberikan dan memvisualisasikan bentuknya.

Cara Menggunakan Kalkulator Ini

1. Masukkan parameter lokasi (μ), yang mewakili purata taburan.
2. Masukkan parameter skala (b), yang menentukan penyebaran taburan (b > 0).
3. Kalkulator akan memaparkan nilai fungsi ketumpatan kebarangkalian (PDF) pada x = 0 dan menunjukkan graf taburan.

Nota: Parameter skala mesti positif (b > 0).

Formula

Fungsi ketumpatan kebarangkalian (PDF) bagi taburan Laplace diberikan oleh:

$f(x|\mu,b) = \frac{1}{2b} \exp\left(-\frac{|x-\mu|}{b}\right)$

Di mana:

• x adalah pembolehubah
• μ (mu) adalah parameter lokasi
• b adalah parameter skala (b > 0)

Pengiraan

Kalkulator menggunakan formula ini untuk mengira nilai PDF pada x = 0 berdasarkan input pengguna. Berikut adalah penjelasan langkah demi langkah:

1. Sahkan input: Pastikan bahawa parameter skala b adalah positif.
2. Kira |x - μ|: Dalam kes ini, ia adalah |0 - μ| = |μ|.
3. Kira istilah eksponensial: $\exp(-|μ| / b)$
4. Kira hasil akhir: $\frac{1}{2b} \exp(-|μ| / b)$

Kes tepi yang perlu dipertimbangkan:

• Jika b ≤ 0, paparkan mesej ralat.
• Untuk |μ| yang sangat besar atau b yang sangat kecil, hasilnya mungkin sangat dekat dengan sifar.
• Untuk μ = 0, PDF akan mencapai nilai maksimum 1/(2b) pada x = 0.

Kes Penggunaan

Taburan Laplace mempunyai pelbagai aplikasi dalam pelbagai bidang:

1. Pemprosesan Isyarat: Digunakan dalam pemodelan dan menganalisis isyarat audio dan imej.

2. Kewangan: Digunakan dalam pemodelan pulangan kewangan dan penilaian risiko.

3. Pembelajaran Mesin: Digunakan dalam mekanisme Laplace untuk privasi pembezaan dan dalam beberapa model inferens Bayesian.

4. Pemprosesan Bahasa Semulajadi: Digunakan dalam model bahasa dan tugas klasifikasi teks.

5. Geologi: Digunakan dalam pemodelan taburan magnitud gempa bumi (undang-undang Gutenberg-Richter).

Alternatif

Walaupun taburan Laplace berguna dalam banyak senario, terdapat taburan kebarangkalian lain yang mungkin lebih sesuai dalam situasi tertentu:

1. Taburan Normal (Gaussian): Lebih biasa digunakan untuk memodelkan fenomena semula jadi dan ralat pengukuran.

2. Taburan Cauchy: Mempunyai ekor yang lebih berat daripada taburan Laplace, berguna untuk memodelkan data yang terdedah kepada outlier.

3. Taburan Eksponensial: Digunakan untuk memodelkan masa antara peristiwa dalam proses Poisson.

4. Taburan t Student: Selalu digunakan dalam ujian hipotesis dan pemodelan pulangan kewangan.

5. Taburan Logistik: Serupa dalam bentuk dengan taburan normal tetapi dengan ekor yang lebih berat.

Sejarah

Taburan Laplace diperkenalkan oleh Pierre-Simon Laplace dalam memoirnya pada tahun 1774 "On the Probability of Causes of Events." Walau bagaimanapun, taburan ini mendapat lebih banyak perhatian pada awal abad ke-20 dengan perkembangan statistik matematik.

Pencapaian penting dalam sejarah taburan Laplace:

1. 1774: Pierre-Simon Laplace memperkenalkan taburan dalam karyanya mengenai teori kebarangkalian.
2. 1930-an: Taburan ini ditemui semula dan digunakan dalam pelbagai bidang, termasuk ekonomi dan kejuruteraan.
3. 1960-an: Taburan Laplace mendapat kepentingan dalam statistik kukuh sebagai alternatif kepada taburan normal.
4. 1990-an-sekarang: Penggunaan yang meningkat dalam pembelajaran mesin, pemprosesan isyarat, dan pemodelan kewangan.

Contoh

Berikut adalah beberapa contoh kod untuk mengira PDF taburan Laplace:

1' Fungsi Excel VBA untuk PDF Taburan Laplace
2Function LaplacePDF(x As Double, mu As Double, b As Double) As Double
3    If b <= 0 Then
4        LaplacePDF = CVErr(xlErrValue)
5    Else
6        LaplacePDF = (1 / (2 * b)) * Exp(-Abs(x - mu) / b)
7    End If
8End Function
9' Penggunaan:
10' =LaplacePDF(0, 1, 2)
11

1import math
2
3def laplace_pdf(x, mu, b):
4    if b <= 0:
5        raise ValueError("Parameter skala mesti positif")
6    return (1 / (2 * b)) * math.exp(-abs(x - mu) / b)
7
8## Contoh penggunaan:
9location = 1.0
10scale = 2.0
11x = 0.0
12pdf_value = laplace_pdf(x, location, scale)
13print(f"Nilai PDF pada x={x}: {pdf_value:.6f}")
14

1function laplacePDF(x, mu, b) {
2  if (b <= 0) {
3    throw new Error("Parameter skala mesti positif");
4  }
5  return (1 / (2 * b)) * Math.exp(-Math.abs(x - mu) / b);
6}
7
8// Contoh penggunaan:
9const location = 1;
10const scale = 2;
11const x = 0;
12const pdfValue = laplacePDF(x, location, scale);
13console.log(`Nilai PDF pada x=${x}: ${pdfValue.toFixed(6)}`);
14

1public class LaplacePDF {
2    public static double laplacePDF(double x, double mu, double b) {
3        if (b <= 0) {
4            throw new IllegalArgumentException("Parameter skala mesti positif");
5        }
6        return (1 / (2 * b)) * Math.exp(-Math.abs(x - mu) / b);
7    }
8
9    public static void main(String[] args) {
10        double location = 1.0;
11        double scale = 2.0;
12        double x = 0.0;
13        double pdfValue = laplacePDF(x, location, scale);
14        System.out.printf("Nilai PDF pada x=%.1f: %.6f%n", x, pdfValue);
15    }
16}
17

Contoh-contoh ini menunjukkan cara mengira PDF taburan Laplace untuk parameter yang diberikan. Anda boleh menyesuaikan fungsi-fungsi ini mengikut keperluan khusus anda atau mengintegrasikannya ke dalam sistem analisis statistik yang lebih besar.

Contoh Numerik

1. Taburan Laplace Standard:

   • Lokasi (μ) = 0
   • Skala (b) = 1
   • PDF pada x = 0: 0.500000

2. Taburan Laplace Terpindah:

   • Lokasi (μ) = 2
   • Skala (b) = 1
   • PDF pada x = 0: 0.183940

3. Taburan Laplace Berskala:

   • Lokasi (μ) = 0
   • Skala (b) = 3
   • PDF pada x = 0: 0.166667

4. Taburan Laplace Terpindah dan Berskala:

   • Lokasi (μ) = -1
   • Skala (b) = 0.5
   • PDF pada x = 0: 0.367879

Rujukan

1. Kotz, S., Kozubowski, T., & Podgorski, K. (2001). The Laplace Distribution and Generalizations. Birkhäuser, Boston, MA.
2. Keynes, J. M. (1911). The Principal Averages and the Laws of Error which Lead to Them. Journal of the Royal Statistical Society, 74(3), 322-331.
3. Peng, L., & Xu, X. (2019). The Laplace Mechanism in Differential Privacy. IEEE Access, 7, 39891-39900.
4. Norton, M. P., & Karczub, D. G. (2003). Fundamentals of Noise and Vibration Analysis for Engineers. Cambridge University Press.
5. "Taburan Laplace." Wikipedia, Wikimedia Foundation, https://en.wikipedia.org/wiki/Laplace_distribution. Diakses 2 Ogos 2024.