Pengira Distribusi Binomial

Pengenalan

Distribusi binomial adalah distribusi probabilitas diskrit yang memodelkan jumlah kejayaan dalam jumlah percubaan Bernoulli yang tetap dan bebas. Ia digunakan secara meluas dalam pelbagai bidang, termasuk statistik, teori probabilitas, dan sains data. Kalkulator ini membolehkan anda mengira probabilitas untuk distribusi binomial berdasarkan parameter yang diberikan oleh pengguna.

Formula

Fungsi massa probabilitas untuk distribusi binomial diberikan oleh:

$P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$

Di mana:

• n adalah jumlah percubaan
• k adalah jumlah kejayaan
• p adalah probabilitas kejayaan untuk setiap percubaan
• $\binom{n}{k}$ adalah koefisien binomial, dikira sebagai $\frac{n!}{k!(n-k)!}$

Cara Menggunakan Kalkulator Ini

1. Masukkan jumlah percubaan (n)
2. Masukkan probabilitas kejayaan untuk setiap percubaan (p)
3. Masukkan jumlah kejayaan (k)
4. Klik butang "Kira" untuk mendapatkan probabilitas
5. Hasilnya akan dipaparkan sebagai probabilitas desimal

Pengiraan

Kalkulator menggunakan formula probabilitas binomial untuk mengira probabilitas berdasarkan input pengguna. Berikut adalah penjelasan langkah demi langkah tentang pengiraan:

1. Kira koefisien binomial $\binom{n}{k}$
2. Kira $p^k$
3. Kira $(1-p)^{n-k}$
4. Kalikan hasil dari langkah 1, 2, dan 3

Kalkulator melakukan pengiraan ini menggunakan aritmetik titik terapung ketepatan berganda untuk memastikan ketepatan.

Pengesahan Input

Kalkulator melakukan pemeriksaan berikut pada input pengguna:

• n mesti integer positif
• p mesti nombor antara 0 dan 1 (inklusif)
• k mesti integer bukan negatif yang tidak lebih besar daripada n

Jika input tidak sah dikesan, mesej ralat akan dipaparkan, dan pengiraan tidak akan diteruskan sehingga diperbetulkan.

Kes Penggunaan

Kalkulator distribusi binomial mempunyai pelbagai aplikasi di pelbagai bidang:

1. Kawalan Kualiti: Menganggar probabilitas item cacat dalam satu batch pengeluaran.

2. Perubatan: Mengira kemungkinan kejayaan rawatan dalam ujian klinikal.

3. Kewangan: Memodelkan probabilitas pergerakan harga saham.

4. Analitik Sukan: Meramalkan jumlah percubaan yang berjaya dalam satu siri permainan.

5. Epidemiologi: Menganggar probabilitas penyebaran penyakit dalam populasi.

Alternatif

Walaupun distribusi binomial digunakan secara meluas, terdapat distribusi berkaitan lain yang mungkin lebih sesuai dalam situasi tertentu:

1. Distribusi Poisson: Apabila n sangat besar dan p sangat kecil, distribusi Poisson boleh menjadi anggaran yang baik.

2. Anggaran Normal: Untuk n yang besar, distribusi binomial boleh dianggarkan oleh distribusi normal.

3. Distribusi Binomial Negatif: Apabila anda berminat dengan jumlah percubaan yang diperlukan untuk mencapai sejumlah kejayaan tertentu.

4. Distribusi Hipergeometrik: Apabila pengambilan dilakukan tanpa penggantian dari populasi terhad.

Sejarah

Distribusi binomial mempunyai akar dalam kerja Jacob Bernoulli, yang diterbitkan selepas kematiannya dalam bukunya "Ars Conjectandi" pada tahun 1713. Bernoulli mengkaji sifat percubaan binomial dan memperoleh hukum nombor besar untuk distribusi binomial.

Pada abad ke-18 dan ke-19, ahli matematik seperti Abraham de Moivre, Pierre-Simon Laplace, dan Siméon Denis Poisson terus mengembangkan teori distribusi binomial dan aplikasinya. Kerja de Moivre tentang menganggarkan distribusi binomial dengan distribusi normal adalah sangat penting.

Hari ini, distribusi binomial tetap menjadi konsep asas dalam teori probabilitas dan statistik, memainkan peranan penting dalam ujian hipotesis, interval keyakinan, dan pelbagai aplikasi di pelbagai disiplin.

Contoh

Berikut adalah beberapa contoh kod untuk mengira probabilitas binomial:

1' Fungsi VBA Excel untuk Probabilitas Binomial
2Function BinomialProbability(n As Integer, k As Integer, p As Double) As Double
3    BinomialProbability = Application.WorksheetFunction.Combin(n, k) * p ^ k * (1 - p) ^ (n - k)
4End Function
5' Penggunaan:
6' =BinomialProbability(10, 3, 0.5)
7

1import math
2
3def binomial_probability(n, k, p):
4    return math.comb(n, k) * (p ** k) * ((1 - p) ** (n - k))
5
6## Penggunaan contoh:
7n = 10
8k = 3
9p = 0.5
10probability = binomial_probability(n, k, p)
11print(f"Probabilitas: {probability:.6f}")
12

1function binomialProbability(n, k, p) {
2  const binomialCoefficient = (n, k) => {
3    if (k === 0 || k === n) return 1;
4    return binomialCoefficient(n - 1, k - 1) + binomialCoefficient(n - 1, k);
5  };
6  
7  return binomialCoefficient(n, k) * Math.pow(p, k) * Math.pow(1 - p, n - k);
8}
9
10// Penggunaan contoh:
11const n = 10;
12const k = 3;
13const p = 0.5;
14const probability = binomialProbability(n, k, p);
15console.log(`Probabilitas: ${probability.toFixed(6)}`);
16

1public class BinomialDistributionCalculator {
2    public static double binomialProbability(int n, int k, double p) {
3        return binomialCoefficient(n, k) * Math.pow(p, k) * Math.pow(1 - p, n - k);
4    }
5
6    private static long binomialCoefficient(int n, int k) {
7        if (k == 0 || k == n) return 1;
8        return binomialCoefficient(n - 1, k - 1) + binomialCoefficient(n - 1, k);
9    }
10
11    public static void main(String[] args) {
12        int n = 10;
13        int k = 3;
14        double p = 0.5;
15
16        double probability = binomialProbability(n, k, p);
17        System.out.printf("Probabilitas: %.6f%n", probability);
18    }
19}
20

Contoh-contoh ini menunjukkan cara mengira probabilitas binomial menggunakan pelbagai bahasa pengaturcaraan. Anda boleh menyesuaikan fungsi-fungsi ini kepada keperluan spesifik anda atau mengintegrasikannya ke dalam sistem analisis statistik yang lebih besar.

Contoh Numerik

1. Lemparan Syiling:

   • n = 10 (lemparan)
   • p = 0.5 (syiling adil)
   • k = 3 (kepala)
   • Probabilitas ≈ 0.1172

2. Kawalan Kualiti:

   • n = 100 (item diperiksa)
   • p = 0.02 (probabilitas cacat)
   • k = 0 (tiada cacat)
   • Probabilitas ≈ 0.1326

3. Epidemiologi:

   • n = 1000 (saiz populasi)
   • p = 0.001 (kadar jangkitan)
   • k = 5 (individu yang dijangkiti)
   • Probabilitas ≈ 0.0003

Kes Tepi dan Pertimbangan

1. n Besar: Apabila n sangat besar (contohnya, n > 1000), kecekapan pengiraan menjadi kebimbangan. Dalam kes ini, anggaran seperti distribusi normal mungkin lebih praktikal.

2. Nilai p Ekstrem: Apabila p sangat dekat dengan 0 atau 1, isu ketepatan numerik mungkin timbul. Pengendalian khas mungkin diperlukan untuk memastikan hasil yang tepat.

3. k = 0 atau k = n: Kes-kes ini boleh dikira dengan lebih cekap tanpa menggunakan pengiraan koefisien binomial penuh.

4. Probabilitas Kumulatif: Selalunya, pengguna berminat dengan probabilitas kumulatif (P(X ≤ k) atau P(X ≥ k)). Kalkulator boleh diperluas untuk memberikan pengiraan ini.

5. Visualisasi: Menambah representasi visual distribusi binomial (contohnya, plot fungsi massa probabilitas) dapat membantu pengguna mentafsir hasil dengan lebih intuitif.

Hubungan dengan Distribusi Lain

1. Anggaran Normal: Untuk n yang besar, distribusi binomial boleh dianggarkan oleh distribusi normal dengan min np dan varians np(1-p).

2. Anggaran Poisson: Apabila n besar dan p kecil, sedemikian rupa sehingga np sederhana, distribusi Poisson dengan parameter λ = np boleh menganggarkan distribusi binomial.

3. Distribusi Bernoulli: Distribusi binomial adalah jumlah n percubaan Bernoulli yang bebas.

Anggapan dan Had

1. Jumlah percubaan tetap (n)
2. Probabilitas kejayaan yang tetap (p) untuk setiap percubaan
3. Kebebasan percubaan
4. Hanya dua hasil yang mungkin untuk setiap percubaan (kejayaan atau kegagalan)

Memahami anggapan ini adalah penting untuk menerapkan model distribusi binomial dengan betul kepada masalah dunia nyata.

Mentafsir Hasil

Apabila mentafsir hasil distribusi binomial, pertimbangkan:

1. Nilai Jangkaan: E(X) = np
2. Varians: Var(X) = np(1-p)
3. Skewness: Untuk p ≠ 0.5, distribusi adalah condong; ia menjadi lebih simetri apabila n meningkat
4. Probabilitas Hasil Tepat vs. Julat: Selalunya, julat (contohnya, P(X ≤ k)) lebih bermakna daripada probabilitas tepat

Dengan memberikan maklumat yang komprehensif ini, pengguna dapat memahami dan menerapkan distribusi binomial dengan lebih baik kepada masalah spesifik mereka.

Rujukan

1. "Distribusi Binomial." Wikipedia, Yayasan Wikimedia, https://en.wikipedia.org/wiki/Binomial_distribution. Diakses 2 Ogos 2024.
2. Ross, Sheldon M. "Pengenalan kepada Model-model Probabilitas." Academic Press, 2014.
3. Johnson, Norman L., et al. "Distribusi Diskret." Siri Wiley dalam Probabilitas dan Statistik, 2005.