Kalkulator Taburan Binomial - Alat Kebarangkalian Percuma

Apakah kalkulator taburan binomial?

Kalkulator taburan binomial mencari kebarangkalian mendapat bilangan kejayaan yang tepat dalam bilangan percubaan bebas yang tetap, apabila setiap percubaan mempunyai peluang kejayaan yang sama. Kalkulator ini digunakan dalam statistik, kawalan kualiti, perubatan dan apa-apa bidang yang mengkaji peristiwa ya atau tidak yang berulang.

Idea asasnya ialah taburan binomial, iaitu model kebarangkalian untuk mengira kejayaan dalam percubaan berulang yang setiap satunya hanya mempunyai dua hasil, biasanya disebut kejayaan dan kegagalan.

Formula taburan binomial

Kebarangkalian mendapat tepat k kejayaan dalam n percubaan ialah:

$P(X = k) = \binom{n}{k} \, p^k (1-p)^{n-k}$

Setiap simbol bermaksud:

• n — bilangan percubaan.
• k — bilangan kejayaan yang kebarangkaliannya hendak ditentukan.
• p — kebarangkalian kejayaan dalam satu percubaan, iaitu nombor antara 0 dan 1.
• $\binom{n}{k}$ — pekali binomial, iaitu bilangan cara berbeza untuk memilih k kejayaan daripada n percubaan. Nilainya ialah $\frac{n!}{k!(n-k)!}$.

Setiap percubaan mestilah bebas, bermakna hasil satu percubaan tidak mengubah kebarangkalian percubaan lain, dan kebarangkalian kejayaan p mestilah kekal sama bagi semua percubaan. Satu percubaan dengan dua hasil yang mungkin, seperti satu lambungan syiling, dipanggil percubaan Bernoulli. Taburan binomial diperoleh dengan menjumlahkan n percubaan Bernoulli.

Cara mengira kebarangkalian binomial

1. Catatkan n, k dan p.
2. Hitung pekali binomial $\binom{n}{k}$, iaitu bilangan cara menyusun k kejayaan dalam n percubaan.
3. Naikkan p kepada kuasa k.
4. Naikkan (1 − p) kepada kuasa (n − k).
5. Darabkan ketiga-tiga nombor.

Kalkulator pada halaman ini melakukan langkah-langkah tersebut secara automatik. Masukkan n, p dan k, dan kalkulator mengembalikan P(X = k) bersama-sama carta bar yang menunjukkan kebarangkalian setiap hasil yang mungkin, daripada 0 hingga n kejayaan.

Contoh pengiraan

Contoh 1: lambungan syiling

Lambungkan syiling adil sebanyak 10 kali. Apakah kebarangkalian mendapat tepat 3 kepala?

• n = 10, p = 0.5, k = 3
• $\binom{10}{3} = 120$
• $0.5^3 = 0.125$
• $0.5^{7} = 0.0078125$
• Hasil: 120 × 0.125 × 0.0078125 ≈ 0.1172, atau kira-kira 11.72%

Contoh 2: kawalan kualiti

Sebuah kilang memeriksa 100 item. Setiap item mempunyai peluang 2% untuk rosak. Apakah kebarangkalian bahawa tiada satu pun daripada 100 item itu rosak?

• n = 100, p = 0.02, k = 0
• Oleh sebab k = 0, formula menjadi $(1-p)^n = 0.98^{100}$
• Hasil: ≈ 0.1326, atau kira-kira 13.26%

Contoh 3: pengujian penyakit

Sebuah bandar menguji 1,000 orang untuk penyakit yang menjangkiti 0.1% daripada populasi (p = 0.001). Apakah kebarangkalian bahawa tepat 5 daripada 1,000 orang itu dijangkiti?

• n = 1000, p = 0.001, k = 5
• $\binom{1000}{5} = 8{,}250{,}291{,}250{,}200$
• $0.001^5 = 1 \times 10^{-15}$
• $0.999^{995} \approx 0.3695$
• Hasil: 8,250,291,250,200 × 1e-15 × 0.3695 ≈ 0.00305, atau kira-kira 0.30% (nilai tepat 0.0030488, iaitu 0.30488%)

Min dan varians

Bagi taburan binomial dengan parameter n dan p:

• Min (nilai jangkaan): E(X) = np
• Varians: Var(X) = np(1 − p)
• Sisihan piawai: σ = √[np(1 − p)]

Min menunjukkan purata bilangan kejayaan yang dijangka selepas banyak ulangan. Dalam Contoh 1, min ialah 10 × 0.5 = 5 kepala.

Perkara yang diterima oleh kalkulator

• n mestilah nombor bulat 1 atau lebih. Entri perpuluhan dibundarkan kepada nombor bulat terdekat bagi bilangan percubaan, maka 10.9 dianggap sebagai 11.
• p mestilah antara 0 dan 1, termasuk kedua-dua hujung.
• k mestilah nombor bulat 0 atau lebih, dan tidak boleh lebih besar daripada n. Mendapat 8 kejayaan dalam 5 percubaan adalah mustahil, jadi kalkulator melaporkan ralat dan bukannya nombor.

Jika mana-mana kotak dibiarkan kosong, kalkulator tidak menunjukkan hasil atau carta, bukannya meneka suatu nilai.

Apabila taburan binomial terpakai

Taburan binomial hanya sesuai untuk keadaan apabila keempat-empat syarat dipenuhi:

1. Bilangan percubaan, n, ditetapkan terlebih dahulu.
2. Setiap percubaan hanya mempunyai dua hasil: kejayaan atau kegagalan.
3. Kebarangkalian kejayaan, p, adalah sama dalam setiap percubaan.
4. Percubaan-percubaan itu adalah bebas antara satu sama lain.

Mengambil kad daripada dek tanpa penggantian melanggar syarat kebebasan kerana pengambilan satu kad mengubah kebarangkalian untuk pengambilan seterusnya. Keadaan itu memerlukan taburan hipergeometri.

Taburan berkaitan

• Taburan Poisson: digunakan untuk menghampiri taburan binomial apabila n besar dan p kecil, supaya purata bilangan kejayaan (np) kekal sederhana. Taburan ini biasa digunakan untuk memodelkan peristiwa yang jarang berlaku seperti kes penyakit dalam Contoh 3.
• Taburan normal: bagi n yang besar, dan apabila p tidak terlalu hampir dengan 0 atau 1, taburan binomial kelihatan lebih kurang berbentuk loceng dan boleh dihampiri oleh taburan normal dengan min np dan varians np(1 − p).
• Taburan hipergeometri: digunakan sebagai ganti taburan binomial apabila pensampelan dilakukan tanpa penggantian daripada populasi terhingga.

Soalan lazim

Apakah fungsi kalkulator taburan binomial?

Kalkulator ini mengira kebarangkalian mendapat tepat k kejayaan dalam n percubaan bebas, setiap satunya dengan kebarangkalian kejayaan p, menggunakan formula P(X = k) = C(n, k) × p^k × (1 − p)^(n − k).

Apakah perbezaan antara taburan binomial dengan taburan normal?

Taburan binomial adalah diskret, bermakna taburan ini hanya menghasilkan kiraan kejayaan dalam nombor bulat. Taburan normal adalah selanjar. Bagi n yang besar, taburan binomial boleh dihampiri oleh lengkung normal dengan min np dan varians np(1 − p).

Bolehkah p menjadi 0 atau 1?

Ya. Jika p = 0, tiada percubaan boleh berjaya, maka P(X = 0) = 1. Jika p = 1, setiap percubaan berjaya, maka P(X = n) = 1. Semua nilai k yang lain mempunyai kebarangkalian 0 dalam keadaan tersebut.

Apakah hubungan antara taburan binomial dengan taburan Bernoulli?

Taburan Bernoulli menerangkan satu percubaan dengan dua hasil (n = 1). Taburan binomial ialah jumlah n percubaan Bernoulli yang bebas, maka taburan Bernoulli hanyalah taburan binomial dengan n = 1.

Sejauh manakah n boleh meningkat sebelum kalkulator menjadi tidak tepat?

Kalkulator ini berfungsi menggunakan aritmetik ketepatan berganda piawai. Kalkulator mendarabkan tiga bahagian formula secara langsung dan beralih kepada logaritma apabila pekali binomial melebihi nilai terbesar yang boleh diwakili oleh nombor titik apungan berketepatan berganda, yang berlaku hampir pada n = 1,000 apabila k hampir dengan n/2. Hasilnya kekal tepat melebihi titik itu. Kebarangkalian yang lebih kecil daripada kira-kira 1e-308 dilaporkan sebagai 0 kerana tiada nombor berganda yang dapat menyimpannya.

Bagaimanakah pekali binomial dikira?

Pekali binomial C(n, k) mengira bilangan cara memilih k item daripada n item tanpa mengambil kira susunan. Nilainya ialah n! / (k! × (n − k)!). Kalkulator membinanya langkah demi langkah dengan mendarab satu faktor dan membahagi dengan faktor seterusnya, supaya kalkulator tidak perlu menyimpan faktorial penuh. Bagi n yang sangat besar, kalkulator menjumlahkan logaritma faktor-faktor tersebut.

Rujukan

1. "Binomial Distribution." Wikipedia, Yayasan Wikimedia. https://en.wikipedia.org/wiki/Binomial_distribution.
2. Ross, Sheldon M. Introduction to Probability Models. Academic Press, 2014.
3. Johnson, Norman L. dan lain-lain. Discrete Distributions. Wiley Series in Probability and Statistics, 2005.