Kalkulator Skor Z - Alat Skor Piawai & Kebarangkalian

Apakah Skor-Z?

Skor-z, yang juga dipanggil skor piawai, mengukur berapa banyak sisihan piawai sesuatu titik data daripada min suatu set data. Skor-z sebanyak 0 bermaksud nilainya sama dengan min. Skor-z positif bermaksud nilai itu berada di atas min, manakala skor-z negatif bermaksud nilai itu berada di bawah min.

Rumus Skor-Z

Skor-z bagi sesuatu titik data dikira menggunakan rumus ini:

$$z = \frac{x - \mu}{\sigma}$$

Dengan:

• $z$ ialah skor-z
• $x$ ialah titik data
• $\mu$ ialah min set data
• $\sigma$ ialah sisihan piawai set data

Sisihan piawai tidak boleh sama dengan sifar kerana pembahagian dengan sifar tidak mempunyai hasil yang ditakrifkan. Sisihan piawai juga tidak boleh negatif kerana mengikut takrif, sisihan piawai sentiasa sifar atau positif.

Cara Mengira Skor-Z

1. Cari min set data dengan menjumlahkan semua nilai dan membahagikannya dengan bilangan nilai, $n$.

$$\mu = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n}$$

2. Cari sisihan piawai. Mula-mula, kira varians, iaitu purata kuasa dua perbezaan daripada min, kemudian cari punca kuasa duanya.

$$\sigma = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \mu)^2}{n}}$$

Ini ialah sisihan piawai populasi, yang membahagi dengan $n$. Apabila nombor itu ialah sampel yang diambil daripada kumpulan yang lebih besar, bahagikan dengan $n - 1$.

3. Tolak min daripada titik data dan bahagikan hasilnya dengan sisihan piawai.

$$z = \frac{x - \mu}{\sigma}$$

Contoh pengiraan

Seorang pelajar mendapat skor 85 dalam suatu ujian. Min kelas ialah 75, dan sisihan piawai skor kelas ialah 10.

• Titik data: $x = 85$
• Min: $\mu = 75$
• Sisihan piawai: $\sigma = 10$

$$z = \frac{85 - 75}{10} = 1.0$$

Skor-z pelajar itu ialah 1.0. Skornya berada satu sisihan piawai di atas purata kelas.

Skor-Z dan Kebarangkalian Kumulatif

Skor-z boleh ditukarkan kepada kebarangkalian kumulatif, iaitu kebarangkalian bahawa nilai yang dipilih secara rawak daripada taburan normal berada pada atau di bawah titik itu. Ini ialah luas di bawah lengkung normal piawai di sebelah kiri $z$.

$$P(Z \leq z) = \Phi(z)$$

Bagi skor-z pelajar itu, iaitu 1.0, kebarangkalian kumulatif ialah kira-kira 0.8413, atau 84.13%. Ini bermaksud pelajar itu mendapat skor yang lebih baik daripada kira-kira 84% kelas, dengan andaian skor mengikut taburan normal. Kalkulator memaparkan skor-z hingga empat tempat perpuluhan dan kebarangkalian kumulatif sebagai peratus hingga dua tempat perpuluhan.

Beberapa titik rujukan:

Mentafsir Skor-Z

Kebanyakan nilai dalam taburan normal berada dalam lingkungan 2 sisihan piawai daripada min. Skor-z yang melebihi +3 atau -3 adalah jarang berlaku dan sering dianggap sebagai pencilan, iaitu nilai yang berbeza dengan ketara daripada data yang lain.

Skor-z juga membolehkan perbandingan nilai yang diukur pada skala yang berbeza. Skor ujian dan ukuran ketinggian tidak boleh dibandingkan secara langsung, tetapi skor-znya boleh dibandingkan kerana kedua-duanya menerangkan jarak daripada min dalam unit sisihan piawai yang sama.

Skor-Z berbanding Skor-T

Skor-z mengandaikan sisihan piawai populasi diketahui dan berfungsi paling baik dengan sampel yang besar. Skor-t pula digunakan apabila sisihan piawai populasi tidak diketahui dan sampelnya kecil, biasanya kurang daripada 30 pemerhatian. Kedua-duanya menerangkan jarak daripada min, tetapi skor-t berasal daripada taburan-t, yang mempunyai ekor lebih berat untuk mengambil kira ketidakpastian tambahan dalam sampel kecil.

Kegunaan Umum Skor-Z

• Ujian piawai. Membandingkan skor mentah pelajar dengan taburan skor keseluruhan.
• Pengesanan pencilan. Menandai titik data yang jauh daripada min dalam suatu set data.
• Kawalan kualiti. Memeriksa sama ada barangan yang dihasilkan berada dalam julat yang boleh diterima.
• Ujian hipotesis. Ujian-z menggunakan skor-z untuk menilai sama ada min sampel berbeza secara bermakna daripada min populasi yang diketahui.

Sejarah

Skor-z berasaskan taburan normal, yang dihuraikan oleh Abraham de Moivre pada 1733 dan dikembangkan selanjutnya oleh Carl Friedrich Gauss serta Pierre-Simon Laplace pada awal abad ke-19. Penyeragaman nilai kepada unit sisihan piawai menjadi amalan biasa dalam ujian psikologi dan kawalan kualiti pada abad ke-20.

Soalan lazim

Apakah skor-z dalam statistik? Skor-z ialah bilangan sisihan piawai sesuatu titik data daripada min set datanya. Skor ini diperoleh menggunakan rumus z = (x − μ) / σ.

Bagaimanakah saya mentafsir hasil skor-z? Skor-z sebanyak 0 bermaksud nilai itu sama dengan min. Nilai positif berada di atas min, manakala nilai negatif berada di bawah min. Nilai yang melebihi +3 atau -3 adalah luar biasa.

Bolehkah skor-z menjadi negatif? Ya. Skor-z negatif hanya bermaksud titik data itu berada di bawah min. Skor-z sebanyak -2 bermaksud nilai itu berada 2 sisihan piawai di bawah min.

Apakah perbezaan antara skor-z dengan skor-t? Skor-z digunakan dengan sampel besar apabila sisihan piawai populasi diketahui. Skor-t digunakan dengan sampel kecil, biasanya kurang daripada 30, apabila sisihan piawai itu tidak diketahui.

Apakah maksud kebarangkalian kumulatif bagi skor-z? Kebarangkalian kumulatif ialah kebarangkalian bahawa nilai yang dipilih secara rawak daripada taburan normal adalah kurang daripada atau sama dengan skor-z yang diberikan. Nilai ini sama dengan luas di bawah lengkung normal di sebelah kiri titik itu.

Apakah yang berlaku jika sisihan piawai ialah sifar? Skor-z tidak ditakrifkan kerana rumus itu memerlukan pembahagian dengan sifar. Sisihan piawai sifar bermaksud setiap nilai dalam set data adalah sama.

Rujukan

1. Skor piawai, Wikipedia: https://en.wikipedia.org/wiki/Standard_score
2. Taburan normal dan skor-z, Khan Academy: https://www.khanacademy.org/math/statistics-probability/modeling-distributions-of-data/z-scores/a/z-scores-review