Kalkulator Nilai Genting | Ujian Z, Ujian t, Chi-Square

Nilai kritikal ialah titik ambang pada taburan kebarangkalian yang menandakan sempadan “rantau penolakan” dalam ujian hipotesis. Jika statistik ujian melebihi nilai kritikal, keputusan itu dianggap signifikan secara statistik dan hipotesis nol ditolak. Kalkulator ini mencari nilai kritikal untuk tiga ujian yang paling lazim: ujian Z, ujian t dan ujian khi kuasa dua.

Apakah nilai kritikal?

Dalam statistik, penyelidik sering bermula dengan hipotesis nol, iaitu andaian mudah bahawa tiada perkara luar biasa berlaku (contohnya, ubat baharu tidak mempunyai kesan). Statistik ujian dikira daripada data sampel, kemudian dibandingkan dengan nilai kritikal untuk menentukan sama ada data memberikan bukti yang mencukupi terhadap hipotesis nol.

Nilai kritikal bergantung pada tiga perkara: pilihan ujian, aras keertian (ditulis sebagai α, huruf Yunani alfa), dan sama ada ujian itu satu hala atau dua hala. Aras keertian ialah kebarangkalian tersilap menolak hipotesis nol yang benar, dan lazimnya ditetapkan pada 0.05 (5%) atau 0.01 (1%).

Ujian satu hala memeriksa kesan dalam satu arah sahaja, seperti “lebih besar daripada”. Ujian ini mempunyai satu nilai kritikal. Ujian dua hala memeriksa kesan dalam mana-mana arah dan mempunyai dua nilai kritikal, satu pada setiap sisi taburan.

Cara mengira nilai kritikal

1. Pilih ujian: ujian Z (sampel besar atau varians populasi diketahui), ujian t (sampel kecil dengan varians tidak diketahui), atau ujian khi kuasa dua (data kategori atau kesepadanan taburan).
2. Pilih jenis hala: satu hala atau dua hala.
3. Pilih aras keertian α, iaitu nombor antara 0 dan 1. Pilihan yang lazim ialah 0.10, 0.05 dan 0.01.
4. Bagi ujian t atau ujian khi kuasa dua, masukkan darjah kebebasan (df). Bagi ujian t, df bersamaan saiz sampel ditolak 1. Bagi ujian khi kuasa dua kesepadanan taburan, df bersamaan bilangan kategori ditolak 1.
5. Cari (atau kira) nilai yang memisahkan luas ekor yang dipilih di bawah lengkung taburan. Nilai ini ialah nilai kritikal.

Formula nilai kritikal

Setiap formula menggunakan songsangan fungsi taburan kumulatif: nilai x yang luas di bawah lengkung sehingga x bersamaan dengan kebarangkalian sasaran p.

Formula ujian Z

$Z_c = \Phi^{-1}(1 - \alpha) \quad \text{(satu hala)}$ $Z_c = \Phi^{-1}\left(1 - \frac{\alpha}{2}\right) \quad \text{(dua hala)}$

Φ⁻¹ ialah songsangan fungsi taburan kumulatif normal piawai.

Formula ujian t

$t_c = t^{-1}(1 - \alpha,\ df) \quad \text{(satu hala)}$ $t_c = t^{-1}\left(1 - \frac{\alpha}{2},\ df\right) \quad \text{(dua hala)}$

t⁻¹(p, df) ialah songsangan fungsi taburan kumulatif taburan t dengan df darjah kebebasan.

Formula ujian khi kuasa dua

$\chi^2_c = \chi^2_{1-\alpha,\ df} \quad \text{(satu hala)}$ $\chi^2_{\text{bawah}} = \chi^2_{\alpha/2,\ df}, \qquad \chi^2_{\text{atas}} = \chi^2_{1-\alpha/2,\ df} \quad \text{(dua hala)}$

Taburan khi kuasa dua hanya menerima nilai positif, maka kedua-dua nilai kritikal adalah positif dan nilai yang lebih rendah adalah lebih kecil daripada nilai yang lebih tinggi.

Contoh: nilai kritikal ujian Z

Sebuah pasukan kawalan kualiti ingin mendapatkan nilai kritikal ujian Z satu hala pada α = 0.05.

$Z_c = \Phi^{-1}(1 - 0.05) = \Phi^{-1}(0.95) \approx 1.6449$

Mana-mana statistik ujian yang melebihi 1.6449 termasuk dalam rantau penolakan.

Contoh: nilai kritikal ujian t

Seorang penyelidik menjalankan eksperimen dengan 20 peserta, maka df = 19. Dia mahukan nilai kritikal dua hala pada α = 0.01.

$t_c = t^{-1}(1 - 0.005,\ 19) = t^{-1}(0.995,\ 19) \approx 2.8609$

Rantau penolakan ialah t < -2.8609 dan t > 2.8609.

Contoh: nilai kritikal khi kuasa dua

Seorang penganalisis membandingkan kiraan diperhatikan dengan kiraan jangkaan merentas 5 kategori, maka df = 4. Dia mahukan nilai kritikal dua hala pada α = 0.05.

$\chi^2_{\text{bawah}} = \chi^2_{0.025,\ 4} \approx 0.4844$ $\chi^2_{\text{atas}} = \chi^2_{0.975,\ 4} \approx 11.1433$

Statistik khi kuasa dua yang kurang daripada 0.4844 atau lebih daripada 11.1433 akan termasuk dalam rantau penolakan.

Nilai kritikal yang lazim

Apabila darjah kebebasan bertambah, nilai kritikal taburan t mengecil menghampiri nilai ujian Z yang sepadan kerana taburan t menghampiri taburan normal.

Soalan lazim

Untuk apakah nilai kritikal digunakan? Nilai kritikal menetapkan sempadan untuk menentukan sama ada statistik ujian cukup ekstrem untuk menolak hipotesis nol. Jika statistik melepasi nilai kritikal, keputusan itu signifikan secara statistik pada aras α yang dipilih.

Apakah perbezaan antara nilai kritikal satu hala dengan nilai kritikal dua hala? Ujian satu hala mencari kesan dalam satu arah dan mempunyai satu nilai kritikal. Ujian dua hala mencari kesan dalam mana-mana arah dan mempunyai dua nilai kritikal, yang terletak secara simetri di sekitar pusat bagi ujian Z dan ujian t. Bagi α yang sama, nilai kritikal dua hala mempunyai magnitud mutlak yang lebih besar daripada nilai kritikal satu hala kerana jumlah kebarangkalian yang sama dibahagikan antara dua ekor dan bukannya satu.

Bilakah ujian Z patut digunakan dan bukannya ujian t? Ujian Z digunakan apabila varians populasi diketahui atau saiz sampel besar, biasanya 30 pemerhatian atau lebih. Ujian t digunakan bagi sampel yang lebih kecil dengan varians populasi yang tidak diketahui. Apabila saiz sampel bertambah, nilai kritikal ujian t menghampiri nilai kritikal ujian Z.

Bolehkah nilai kritikal menjadi negatif? Ya. Taburan ujian Z dan ujian t adalah simetri di sekitar sifar, maka ujian dua hala mempunyai satu nilai kritikal negatif dan satu nilai kritikal positif. Nilai kritikal khi kuasa dua sentiasa positif kerana taburan khi kuasa dua hanya ditakrifkan bagi nilai sifar atau lebih.

Bagaimanakah darjah kebebasan mempengaruhi nilai kritikal? Darjah kebebasan mengukur jumlah maklumat bebas dalam data, biasanya saiz sampel ditolak bilangan parameter yang telah dianggarkan. Darjah kebebasan yang lebih rendah menghasilkan taburan yang lebih lebar dengan ekor yang lebih berat serta nilai kritikal yang lebih besar. Darjah kebebasan yang lebih tinggi menjadikan taburan t dan taburan khi kuasa dua lebih menghampiri taburan normal.

Apakah nilai kritikal yang sepadan dengan aras keyakinan 95%? Aras keyakinan 95% menggunakan α = 0.05. Bagi ujian Z dua hala, nilai kritikalnya ialah ±1.9600. Bagi ujian Z satu hala, nilai kritikalnya ialah 1.6449.

Sejarah

Karl Pearson memperkenalkan ujian khi kuasa dua pada 1900. William Sealy Gosset, yang menerbitkan karya sebagai “Student”, membangunkan taburan t pada 1908 untuk mengendalikan sampel kecil di kilang bir Guinness. Ronald Fisher memformalkan pengujian keertian dan nilai kritikal pada dekad 1920-an dalam bukunya Statistical Methods for Research Workers. Sebelum komputer digunakan, penyelidik merujuk nilai kritikal dalam jadual bercetak; kalkulator dan perisian kini mengiranya secara langsung daripada formula taburan.

Rujukan

1. Pearson, K. (1900). “On the criterion that a given system of deviations... is such that it can be reasonably supposed to have arisen from random sampling.” Philosophical Magazine, Siri 5, 50(302), 157–175.
2. Student [Gosset, W. S.] (1908). “The probable error of a mean.” Biometrika, 6(1), 1–25.
3. Fisher, R. A. (1925). Statistical Methods for Research Workers. Edinburgh: Oliver & Boyd.
4. NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods, “Critical Values.”