Boog Calculator - Bereken Straal, Overspanning & Hoogte

Wat is een boogcalculator?

Een boogcalculator bepaalt de afmetingen van een cirkelboog — de straal, overspanning en pijl — op basis van twee van deze waarden. De calculator berekent ook de booglengte en het boogoppervlak. Architecten, bouwers en hobbyisten gebruiken het hulpmiddel voor het plannen van deuropeningen, ramen, bruggen en tuinelementen met een gebogen vorm.

Belangrijke boogafmetingen

Een cirkelboog is een deel dat uit de rand van een cirkel is gesneden. Vijf metingen beschrijven de vorm:

• Straal: de afstand van het middelpunt van de cirkel tot een willekeurig punt op de kromme van de boog.
• Overspanning: de rechte horizontale afstand tussen de twee onderste uiteinden van de boog, ook wel de breedte genoemd.
• Pijl: de verticale afstand van de aanzetlijn (de horizontale lijn die de twee uiteinden verbindt) tot het hoogste punt van de boog.
• Booglengte: de afstand langs de kromme van de boog, van het ene uiteinde naar het andere.
• Boogoppervlak: het oppervlak van het kromlijnige gebied tussen de boog en de aanzetlijn.

Formules voor boogafmetingen

Deze formules gelden voor een cirkelboog die uit een deel van één cirkel bestaat. Ze gelden voor elke pijl tot tweemaal de straal. Dit bereik omvat de deur-, raam- en brugbogen die de meeste mensen berekenen, evenals hoefijzerbogen, waarbij de kromme verder loopt dan een halve cirkel.

Formule voor de pijl (uit straal en overspanning)

$\text{Hoogteverschil} = \text{Straal} - \sqrt{\text{Straal}^2 - \left(\frac{\text{Overspanning}}{2}\right)^2}$

Geldig wanneer de straal en overspanning positief zijn en de overspanning ≤ 2 × straal.

Formule voor de straal (uit overspanning en pijl)

$\text{Straal} = \frac{\text{Overspanning}^2}{8 \times \text{Hoogteverschil}} + \frac{\text{Hoogteverschil}}{2}$

Geldig wanneer de overspanning en pijl positief zijn.

Formule voor de overspanning (uit straal en pijl)

$\text{Overspanning} = 2 \times \sqrt{2 \times \text{Straal} \times \text{Hoogteverschil} - \text{Hoogteverschil}^2}$

Geldig wanneer de straal en pijl positief zijn en de pijl ≤ 2 × straal.

Formule voor de booglengte

$\text{Booglengte} = \text{Straal} \times \theta$

Hier is θ (theta) de middelpuntshoek, uitgedrukt in radialen, die de kromme van de boog in het middelpunt van de cirkel beschrijft. Wanneer de pijl niet groter is dan de straal, is de boog hoogstens een halve cirkel en geldt voor θ:

$\theta = 2 \times \arcsin\left(\frac{\text{overspanning}}{2 \times \text{straal}}\right)$

Wanneer de pijl groter is dan de straal, is de boog meer dan een halve cirkel en is θ de resterende hoek rondom:

$\theta = 2\pi - 2 \times \arcsin\left(\frac{\text{overspanning}}{2 \times \text{straal}}\right)$

De calculator behandelt beide gevallen in één stap: θ = 2 × atan2(overspanning ÷ 2, straal − pijl), waarbij de uitkomst ook bij een halve cirkel exact blijft.

Formule voor het boogoppervlak

$\text{Boogoppervlak} = \frac{1}{2} \times \text{Straal}^2 \times \theta - \frac{1}{2} \times \text{Overspanning} \times (\text{Straal} - \text{Hoogteverschil})$

De boogcalculator gebruiken

De calculator heeft drie modi, één voor elke afmeting die mogelijk ontbreekt.

Pijl berekenen, wanneer de straal en overspanning bekend zijn: voer de straal en overspanning in. Het hulpmiddel geeft de pijl, booglengte en het boogoppervlak.

Straal berekenen, wanneer de overspanning en pijl bekend zijn: voer de overspanning en pijl in. Het hulpmiddel geeft de straal, booglengte en het boogoppervlak.

Overspanning berekenen, wanneer de straal en pijl bekend zijn: voer de straal en pijl in. Het hulpmiddel geeft de overspanning, booglengte en het boogoppervlak.

De calculator weigert invoer die geen echte boog kan vormen. De overspanning mag niet groter zijn dan tweemaal de straal, de pijl mag niet groter zijn dan tweemaal de straal en elke afmeting moet een positief getal zijn. Er verschijnt een foutmelding wanneer een waarde een van deze regels schendt.

Uitgewerkt voorbeeld

Voorbeeld 1: boog boven een deuropening

Een boog boven een deuropening heeft een overspanning van 36 inch (91,4 cm) en een pijl van 12 inch (30,5 cm).

Straal = (36² ÷ (8 × 12)) + (12 ÷ 2) = (1296 ÷ 96) + 6 = 13,5 + 6 = 19,5 inch (49,5 cm)

θ = 2 × arcsin(18 ÷ 19,5) = 2 × arcsin(0,9231) = 2 × 1,176 = 2,352 radialen

Booglengte = 19,5 × 2,352 = 45,86 inch (116 cm)

Boogoppervlak = (0,5 × 19,5² × 2,352) − (0,5 × 36 × (19,5 − 12)) = 447,18 − 135 = 312,18 vierkante inch (2.010 cm²)

Voorbeeld 2: tuinboog

Een tuinboog heeft een straal van 4 voet (1,2 m) en een overspanning van 6 voet (1,8 m).

Pijl = 4 − √(4² − (6 ÷ 2)²) = 4 − √(16 − 9) = 4 − 2,6458 = 1,35 voet (0,411 m)

θ = 2 × arcsin(3 ÷ 4) = 2 × arcsin(0,75) = 2 × 0,848 = 1,696 radialen

Booglengte = 4 × 1,696 = 6,78 voet (2,07 m)

Boogoppervlak = (0,5 × 4² × 1,696) − (0,5 × 6 × (4 − 1,3542)) = 13,57 − 7,94 = 5,63 vierkante voet (0,523 m²)

Voorbeeld 3: brugboog

Een brugboog heeft een overspanning van 50 voet (15 m) en een pijl van 15 voet (4,57 m).

Straal = (50² ÷ (8 × 15)) + (15 ÷ 2) = (2500 ÷ 120) + 7,5 = 20,83 + 7,5 = 28,33 voet (8,63 m)

θ = 2 × arcsin(25 ÷ 28,33) = 2 × arcsin(0,8824) = 2 × 1,081 = 2,162 radialen

Booglengte = 28,33 × 2,162 = 61,25 voet (18,7 m)

Boogoppervlak = (0,5 × 28,33² × 2,162) − (0,5 × 50 × (28,33 − 15)) = 867,67 − 333,33 = 534,34 vierkante voet (49,6 m²)

Veelvoorkomende toepassingen van boogberekeningen

Bouwers gebruiken boogafmetingen om bekisting voor betonnen bogen te maken, metselwerksjablonen voor bakstenen of stenen bogen uit te zetten en de kromming van gewelfde plafonds te plannen. Brugontwerpers gebruiken overspanning, pijl en straal om de krachtsverdeling af te stemmen op de beschikbare doorrijhoogte. Bij restauratiewerk worden dezelfde formules gebruikt om bij reparatie of herbouw de exacte geometrie van een historische boog te evenaren. Tuiniers en doe-het-zelvers gebruiken ze voor gebogen klimrekken, toegangspoorten en decoratieve openingen.

Deze calculator behandelt alleen cirkelbogen, die uit de boog van één cirkel zijn gevormd. Elliptische, parabolische, gotische en kettingbogen volgen andere krommen en vereisen andere formules.

Een korte geschiedenis van de boog

Bouwers in het oude Mesopotamië gebruikten al rond 2500 v.Chr. vroege boogachtige vormen, hoewel de meeste werden gebouwd met kraagbogen — waarbij stenen zo worden gestapeld dat elke laag uitsteekt boven de laag eronder — en niet als echte gebogen bogen. De Romeinen ontwikkelden de halfronde boog tot een standaardbouwmethode en gebruikten deze in aquaducten, bruggen en gebouwen zoals het Colosseum. Middeleeuwse bouwers in Europa ontwikkelden de spitsboog, waarmee ze hogere en lichtere bouwwerken konden maken. Latere architecten keerden terug naar halfronde vormen op basis van nauwkeurige verhoudingen, en moderne materialen zoals staal en gewapend beton maken het nu mogelijk dat bogen veel grotere afstanden overspannen.

Veelgestelde vragen

Wat is het verschil tussen pijl en hoogte bij een boog?

De pijl is de verticale afstand van de aanzetlijn tot de top van de kromme van de boog. Met hoogte wordt soms de totale hoogte van een opening bedoeld, inclusief een eventuele rechte wand onder de aanzetlijn.

Werkt deze calculator voor alle soorten bogen?

Nee. De calculator werkt alleen voor cirkelbogen, die de vorm van een deel van een cirkel hebben. Elliptische, parabolische, gotische en kettingbogen volgen andere krommen en vereisen afzonderlijke formules.

Wat is het verband tussen overspanning en straal bij een halfronde boog?

Bij een halfronde boog is de straal gelijk aan de helft van de overspanning en is de pijl gelijk aan de straal. De boog vormt precies de helft van een cirkel.

Waarom kan de overspanning niet groter zijn dan tweemaal de straal?

Een overspanning die gelijk is aan tweemaal de straal vormt al een halve cirkel, de breedst mogelijke boog voor die straal. Een grotere overspanning zou helemaal niet op de cirkel passen.

Waarom kan de pijl niet groter zijn dan tweemaal de straal (in de modus voor het berekenen van de overspanning)?

De pijl wordt gemeten vanaf de aanzetlijn tot het hoogste punt van de boog op dezelfde cirkel. Tweemaal de straal is de volledige hoogte van die cirkel, dus een grotere pijl zou de top van de boog buiten de cirkel plaatsen. Een pijl tussen de straal en tweemaal de straal is wel geldig. De boog is dan meer dan een halve cirkel, de vorm die voor hoefijzerbogen wordt gebruikt.

Welke eenheden gebruikt de calculator?

Elke consistente eenheid werkt — inch, voet, meter of centimeter. Voer elke waarde in dezelfde eenheid in; de resultaten worden dan in diezelfde eenheid weergegeven, met het oppervlak in die eenheid in het kwadraat.