Kegel Volume Calculator - Bereken Volume van Kegel & Afgeknotte Kegel

Wat is een calculator voor het volume van een kegel?

Een calculator voor het volume van een kegel berekent het volume van een kegel of van een afgeknotte kegel (een frustum) op basis van de straal en de hoogte. Een kegel is een massieve vorm met één vlak, cirkelvormig grondvlak dat geleidelijk toeloopt naar één punt, de top. Een afgeknotte kegel is wat overblijft nadat de top van een kegel is afgesneden met een snede evenwijdig aan het grondvlak, zodat er twee cirkelvormige vlakken overblijven in plaats van één.

Formule voor het volume van een kegel

Het volume van een volledige kegel hangt af van de straal van het grondvlak en de hoogte.

$V = \frac{1}{3} \times \pi \times r² \times h$

• V is het volume van de kegel.
• r is de straal van het cirkelvormige grondvlak.
• h is de hoogte, recht gemeten van het grondvlak tot de top.
• π (pi) is ongeveer 3,14159.

Uitgewerkt voorbeeld

Een kegel met een grondvlakstraal van 3 eenheden en een hoogte van 4 eenheden heeft dit volume:

V = (1/3) × π × 3² × 4 = (1/3) × π × 36 = 12π ≈ 37,70 kubieke eenheden

Zo berekent u het volume van een kegel met de calculator

De calculator gebruikt drie invoerwaarden:

1. Straal — de straal van het grondvlak.
2. Hoogte — de hoogte van de kegel, van het grondvlak tot de top.
3. Snijhoogte boven het grondvlak (optioneel) — hoe ver boven het grondvlak de kegel wordt afgesneden als de top wordt verwijderd.

Als u de snijhoogte leeg laat of 0 invoert, krijgt u het volume van de volledige, niet-afgesneden kegel. Als u een snijhoogte invoert die kleiner is dan de volledige hoogte, krijgt u het volume van de afgeknotte kegel onder de snede. Het diagram onder de invoervelden geeft dezelfde drie metingen op de vorm aan.

De calculator accepteert geen straal of hoogte die nul, negatief, leeg of te groot is om als een gewoon getal te worden verwerkt. In die gevallen toont hij een melding in plaats van een volume, zodat er nooit een verzonnen waarde wordt weergegeven.

Formule voor het volume van een afgeknotte kegel

Het volume van een afgeknotte kegel hangt af van de stralen van de twee cirkelvormige vlakken en van zijn eigen hoogte.

$V = \frac{1}{3} \times \pi \times h \times (R² + r² + R \times r)$

• R is de straal van het grotere, onderste cirkelvormige vlak.
• r is de straal van het kleinere, bovenste cirkelvormige vlak.
• h is de hoogte van de afgeknotte kegel, gemeten tussen de twee vlakken.

De calculator vraagt niet rechtstreeks naar de straal van het bovenste vlak. In plaats daarvan gebruikt hij de straal van het grondvlak, de hoogte die de kegel zou hebben als hij niet was afgesneden en de snijhoogte. Vervolgens berekent hij de straal van het bovenste vlak met behulp van gelijkvormige driehoeken:

$r = R \times \left(1 - \frac{c}{f}\right)$

waarbij c de hoogte van de snede boven het grondvlak is en f de volledige hoogte van de ongesneden kegel.

Uitgewerkt voorbeeld

Stel dat de straal van het grondvlak 3 eenheden is, de volledige (niet-afgesneden) hoogte van de kegel 12 eenheden is en de snijhoogte 4 eenheden is.

Straal van het bovenste vlak = 3 × (1 − 4/12) = 3 × 2/3 = 2 eenheden

V = (1/3) × π × 4 × (3² + 2² + 3 × 2) = (1/3) × π × 4 × 19 = (76/3)π ≈ 79,59 kubieke eenheden

Als de snijhoogte gelijk is aan of groter is dan de volledige hoogte, valt de snede op of boven de top, zodat er niets wordt verwijderd. De calculator geeft dan het volume van de volledige kegel en het diagram toont de volledige kegel.

Geschiedenis van de formule voor het volume van een kegel

De wiskundigen van het oude Griekenland waren de eersten die het volume van een kegel in verband brachten met dat van een cilinder. Democritus, die actief was aan het einde van de 5e eeuw v.Chr., wordt de uitspraak toegeschreven dat het volume van een kegel gelijk is aan een derde van dat van een cilinder met hetzelfde grondvlak en dezelfde hoogte. Hij bewees dit niet. Eudoxus van Cnidus gaf in de daaropvolgende eeuw het eerste strenge bewijs met behulp van een techniek die de uitputtingsmethode wordt genoemd, een vroege voorloper van de integraalrekening. De formule V = (1/3)πr²h is sindsdien onveranderd gebleven.

Toepassingen van volumeberekeningen voor kegels

Volumes van kegels en afgeknotte kegels komen aan de orde wanneer een vorm van een breed grondvlak naar een punt of een kleinere bovenkant toeloopt. Ingenieurs gebruiken de formules om de afmetingen van conische tanks, stortbunkers en trechters te bepalen. Architecten gebruiken ze om de benodigde materialen voor conische daken te schatten. Geologen gebruiken ze om het volume van vulkanische kegels en vergelijkbare landvormen te schatten.

Veelgestelde vragen

Hoe berekent u het volume van een kegel?

Vermenigvuldig π met het kwadraat van de straal, vermenigvuldig het resultaat met de hoogte en deel het vervolgens door 3: V = (1/3)πr²h. Een kegel met een straal van 5 cm en een hoogte van 10 cm heeft een volume van ongeveer 261,80 kubieke centimeter.

Wat is de formule voor een afgeknotte kegel?

V = (1/3)πh(R² + r² + Rr), waarbij R en r de stralen van de twee cirkelvormige vlakken zijn en h de hoogte van de afgeknotte kegel is, gemeten tussen die vlakken.

Hoe vindt de calculator de straal van het bovenste vlak van een afgeknotte kegel?

Hij gebruikt gelijkvormige driehoeken. De straal van het bovenste vlak is gelijk aan de straal van het grondvlak vermenigvuldigd met (1 − snijhoogte ÷ volledige hoogte van de kegel). Hierbij wordt aangenomen dat de afgeknotte kegel afkomstig is van een kegel met rechte zijden.

Wat gebeurt er als de snijhoogte groter dan of gelijk aan de hoogte is?

De calculator behandelt de vorm als een volledige, niet-afgesneden kegel en geeft V = (1/3)πr²h met de ingevoerde straal en hoogte.

Wat gebeurt er als de straal of hoogte nul of negatief is?

De calculator vereist dat zowel de straal als de hoogte groter zijn dan nul. Als een van beide nul, negatief, leeg of te groot is om als een gewoon getal te worden verwerkt, toont hij een melding in plaats van een volume.

Hoe vindt u het volume van een kegel met de diameter in plaats van de straal?

Deel de diameter door 2 om de straal te vinden en pas vervolgens zoals gebruikelijk V = (1/3)πr²h toe.

Referenties

1. Weisstein, Eric W. "Cone." MathWorld—een webresource van Wolfram. https://mathworld.wolfram.com/Cone.html
2. Weisstein, Eric W. "Frustum." MathWorld—een webbron van Wolfram. https://mathworld.wolfram.com/Frustum.html