Kwadratische Vergelijkingsoplosser - Bereken Wortels van ax² + bx + c = 0

Wat is een kwadratische vergelijking?

Een kwadratische vergelijking is een vergelijking van de vorm $ax^2 + bx + c = 0$, waarbij $a$, $b$ en $c$ getallen zijn en $a$ niet nul is. De oplosser voor kwadratische vergelijkingen op deze pagina vindt de waarde of waarden van $x$ waarvoor de vergelijking waar is, met gebruik van de coëfficiënten $a$, $b$ en $c$ die een gebruiker invoert.

Als $a$ nul zou zijn, zou de term $x^2$ verdwijnen en zou de vergelijking lineair worden in plaats van kwadratisch. Daarom vereist de rekenmachine $a \neq 0$ en wordt er een fout weergegeven als $a = 0$.

De kwadratische formule

Elke kwadratische vergelijking in de vorm $ax^2 + bx + c = 0$ kan worden opgelost met de kwadratische formule:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

Het teken $\pm$ staat voor twee afzonderlijke berekeningen: één met een plusteken en één met een minteken. Daarom kan een kwadratische vergelijking twee verschillende oplossingen hebben.

De uitdrukking onder de vierkantswortel, $b^2 - 4ac$, heet de discriminant. Deze wordt meestal geschreven als $\Delta$ (de Griekse letter delta). Alleen al aan de discriminant is te zien hoeveel reële oplossingen de vergelijking heeft, voordat de rest van de berekening wordt uitgevoerd.

De wortels berekenen

1. Schrijf de vergelijking in de standaardvorm, $ax^2 + bx + c = 0$.
2. Bepaal de coëfficiënten $a$, $b$ en $c$.
3. Bereken de discriminant: $\Delta = b^2 - 4ac$.
4. Als $\Delta$ positief is, bereken dan beide wortels met $x = \dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$.
5. Als $\Delta$ nul is, bereken dan de enkele wortel met $x = \dfrac{-b}{2a}$.
6. Als $\Delta$ negatief is, heeft de vergelijking geen reële wortels, omdat een negatief getal geen reële vierkantswortel heeft.

De rekenmachine op deze pagina voert deze stappen automatisch uit. De coëfficiënten moeten tussen $-10^{10}$ en $10^{10}$ liggen. De resultaten worden afgerond op een gekozen aantal decimalen, van 0 tot 10.

Wat de discriminant betekent

Deze rekenmachine meldt "geen reële wortels" wanneer $\Delta$ negatief is. Complexe wortels (getallen die $i = \sqrt{-1}$ bevatten) worden niet berekend.

Uitgewerkt voorbeeld

Los $x^2 + 5x + 6 = 0$ op.

Hier geldt $a = 1$, $b = 5$ en $c = 6$.

Bepaal eerst de discriminant:

$\Delta = b^2 - 4ac = 5^2 - 4(1)(6) = 25 - 24 = 1$

Omdat $\Delta$ positief is, heeft de vergelijking twee reële wortels:

$x = \frac{-5 \pm \sqrt{1}}{2(1)} = \frac{-5 \pm 1}{2}$

$x_1 = \frac{-5 + 1}{2} = -2 \qquad x_2 = \frac{-5 - 1}{2} = -3$

Dit kan worden gecontroleerd door ontbinden in factoren: $x^2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)$, wat nul is wanneer $x = -2$ of $x = -3$.

Een tweede voorbeeld laat een negatieve discriminant zien. Voor $x^2 + x + 1 = 0$ geldt $a = 1$, $b = 1$ en $c = 1$, dus $\Delta = 1 - 4 = -3$. Omdat $\Delta$ negatief is, heeft de vergelijking geen reële wortels.

De parabool, het toppunt en de symmetrieas

De grafiek van $f(x) = ax^2 + bx + c$ is een kromme die een parabool wordt genoemd. Als $a$ positief is, opent de parabool naar boven en heeft deze een laagste punt. Als $a$ negatief is, opent de parabool naar beneden en heeft deze een hoogste punt. Dat laagste of hoogste punt is het toppunt.

Het toppunt ligt op:

$x = -\frac{b}{2a}, \qquad y = f\!\left(-\frac{b}{2a}\right)$

Een verticale lijn door het toppunt, $x = -\dfrac{b}{2a}$, heet de symmetrieas, omdat de twee helften van de parabool elkaars spiegelbeeld zijn ten opzichte van deze lijn. De reële wortels van de vergelijking zijn de punten waar de parabool de x-as snijdt. Ze liggen dus aan weerszijden van de symmetrieas, op dezelfde afstand daarvan.

De rekenmachine tekent deze parabool naast het resultaat. Het toppunt en eventuele reële wortels worden op de kromme aangegeven. Indien nodig wordt het weergegeven bereik verbreed, zodat elke wortel zichtbaar blijft.

Waar kwadratische vergelijkingen worden gebruikt

Kwadratische vergelijkingen beschrijven veel situaties uit de werkelijkheid. In de natuurkunde volgt de hoogte van een geworpen voorwerp in de tijd de vergelijking $h(t) = -\tfrac{1}{2}gt^2 + v_0t + h_0$. Door deze op te lossen voor $t$ wordt bepaald wanneer het voorwerp landt. In de techniek komen parabolische vormen voor in schotelantennes en brugkabels, vanwege de manier waarop ze krachten bundelen of verdelen. In computergraphics lossen raytracingprogramma's kwadratische vergelijkingen op om te bepalen waar een lijn een bol snijdt.

Een korte geschiedenis

Babylonische wiskundigen losten rond 2000 v.Chr. al specifieke kwadratische problemen op met behulp van meetkundige methoden in plaats van algebra. Ook Griekse wiskundigen zoals Euclides behandelden kwadratische vergelijkingen meetkundig. Rond 600 n.Chr. gaf de Indiase wiskundige Brahmagupta een expliciete formule voor de wortels, met inbegrip van negatieve oplossingen. Rond 800 n.Chr. beschreef de Perzische wiskundige al-Chwarizmi systematische methoden voor het oplossen van kwadratische vergelijkingen in een boek waarvan de titel aanleiding gaf tot het woord "algebra". De moderne symbolische vorm van de kwadratische formule werd later de standaard, toen de algebraïsche notatie zich tijdens de renaissance ontwikkelde.

Veelgestelde vragen

Wat gebeurt er als ik 0 invoer voor coëfficiënt a? De rekenmachine geeft een foutmelding, omdat $a = 0$ de vergelijking lineair maakt, $bx + c = 0$, en die op een andere manier wordt opgelost.

Waarom heeft een vergelijking soms geen reële wortels? Dit gebeurt wanneer de discriminant, $b^2 - 4ac$, negatief is. Een negatief getal heeft geen reële vierkantswortel, waardoor de formule geen reële waarde van $x$ kan opleveren. De vergelijking heeft nog steeds twee complexe wortels, maar deze rekenmachine berekent die niet.

Wat is het verschil tussen een wortel en een oplossing? Geen. Beide woorden verwijzen naar een waarde van $x$ die de vergelijking gelijk aan nul maakt. "Wortel" verwijst naar de plaats waar de grafiek de x-as snijdt; "oplossing" verwijst naar de algebra.

Op hoeveel decimalen kan ik afronden? Op een aantal tussen 0 en 10 decimalen. Twee of drie decimalen zijn meestal voldoende voor alledaagse problemen.

Kan ik zeer grote coëfficiënten invoeren? De coëfficiënten moeten tussen $-10^{10}$ en $10^{10}$ liggen. Waarden buiten dat bereik kunnen afrondingsfouten veroorzaken en worden geweigerd.

Kan deze rekenmachine complexe wortels vinden? Nee. Wanneer de discriminant negatief is, wordt "geen reële wortels" gemeld in plaats van complexe getallen te berekenen.

Referenties

1. Kwadratische vergelijking – MathWorld
2. NIST Digital Library of Mathematical Functions, §1.11, Algebra: kwadratische vergelijking