Young-Laplace Vergelijkingsoplosser | Interfacedruk

Wat is de Young-Laplacevergelijking?

De Young-Laplacevergelijking is een formule uit de vloeistofmechanica die het drukverschil geeft over een gekromd grensvlak tussen twee vloeistoffen, zoals het oppervlak van een waterdruppel of een zeepbel. De vergelijking laat zien dat dit drukverschil afhangt van de oppervlaktespanning van de vloeistof en van de mate waarin het grensvlak gekromd is. De vergelijking verklaart waarom de druk in druppels en bellen oploopt en waarom kleinere druppels en bellen een hogere inwendige druk hebben dan grotere.

De vergelijking is genoemd naar Thomas Young en Pierre-Simon Laplace, die de relatie elk in het begin van de 1800s beschreven.

Formule van de Young-Laplacevergelijking

De algemene vorm van de vergelijking is:

$\Delta P = \gamma \left( \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} \right)$

• $\Delta P$ is het drukverschil over het grensvlak, in pascal (Pa)
• $\gamma$ (gamma) is de oppervlaktespanning van de vloeistof, in newton per meter (N/m)
• $R_1$ en $R_2$ zijn de twee hoofdstralen van kromming van het oppervlak, in meter (m)

Een oppervlak kromt in verschillende richtingen verschillend. $R_1$ en $R_2$ beschrijven de kromming in twee richtingen die loodrecht op elkaar staan. Voor een bol, zoals een druppel of een bel, is $R_1$ gelijk aan $R_2$, zodat de formule vereenvoudigt tot:

$\Delta P = \frac{2\gamma}{R}$

Tekenconventie

De druk is altijd hoger aan de holle kant van een gekromd grensvlak, de kant waar het oppervlak van weg bolt. Voor een druppel of bel betekent dit dat de druk binnenin hoger is dan de druk buiten. Een straal wordt als positief gerekend wanneer het krommingsmiddelpunt aan die kant met de hogere druk ligt. Als het oppervlak in één richting de andere kant op kromt, wordt die straal als negatief gerekend. Een zadelvormig grensvlak, zoals de vloeistofhals tussen twee elkaar rakende korrels, heeft één positieve en één negatieve straal, waardoor de twee termen elkaar gedeeltelijk opheffen.

Deze calculator gebruikt alleen positieve stralen.

Bijzondere gevallen

• Vlak oppervlak: als een straal naar oneindig groeit, neemt de bijbehorende term in de formule af naar nul. Een perfect vlak grensvlak heeft helemaal geen drukverschil.
• Cilinder: een lang cilindrisch oppervlak, zoals een vloeistofstraal die uit een mondstuk komt, kromt slechts in één richting. De ene straal is de straal van de cilinder en de andere is over de lengte oneindig groot, zodat de formule vereenvoudigt tot $\Delta P = \gamma / R$. Dat is de helft van het drukverschil van een bol met dezelfde straal.
• Zeer kleine schalen: beneden ongeveer 10 tot 20 nanometer worden extra effecten, zoals lijnspanning, belangrijk en verliest de eenvoudige vergelijking haar nauwkeurigheid.

Drukverschil berekenen met de Young-Laplacevergelijking

1. Bepaal de oppervlaktespanning van de vloeistof, in N/m, bij de temperatuur die van belang is. De oppervlaktespanning neemt af als de temperatuur stijgt.
2. Meet of schat de eerste hoofdstraal van kromming, $R_1$, in meter.
3. Meet of schat de tweede hoofdstraal van kromming, $R_2$, in meter. Gebruik voor een bol dezelfde waarde als $R_1$. Gebruik voor een cilinder een zeer groot getal als benadering van oneindig.
4. Vermenigvuldig de oppervlaktespanning met de som van $1/R_1$ en $1/R_2$. Het resultaat is het drukverschil in pascal.

Houd alle waarden in SI-eenheden. Het combineren van millimeters en meters zorgt bijvoorbeeld voor een afwijking met een factor duizend.

Uitgewerkt voorbeeld

Neem een bolvormige waterdruppel met een straal van 1 millimeter (0,001 m) en een oppervlaktespanning van 0,072 N/m, een gebruikelijke waarde voor water rond kamertemperatuur.

Omdat de druppel een bol is, geldt $R_1 = R_2 = R$, dus:

$\Delta P = \frac{2\gamma}{R} = \frac{2 \times 0.072}{0.001} = 144 \text{ Pa}$

De druk in de druppel is 144 Pa hoger dan de omringende luchtdruk. Dat is weinig vergeleken met de normale atmosferische druk van ongeveer 101.325 Pa, maar het effect neemt snel toe als een druppel kleiner wordt. Een druppel met een tiende van die grootte, met een straal van 0,1 mm, heeft een tien keer zo groot drukverschil: 1.440 Pa. Een druppel met een straal van 0,01 mm bereikt 14.400 Pa, meer dan 14% van de atmosferische druk.

Toepassingen van de vergelijking

• Druppels en bellen: de hogere druk in kleine druppels veroorzaakt Ostwald-rijping, het proces waarbij kleine druppels in een emulsie krimpen terwijl grotere groeien, omdat hun inhoud van hoge naar lage druk diffundeert.
• Capillaire werking: het gekromde oppervlak in een nauwe buis trekt vloeistof omhoog. Daarom stijgt water in papieren handdoeken en nauwe glazen buizen.
• Ademhaling: de kleine luchtzakjes in de longen, longblaasjes genoemd, gedragen zich als kleine bellen. Een laag die pulmonale surfactant wordt genoemd, verlaagt de oppervlaktespanning, zodat kleine longblaasjes niet bezwijken onder de door de vergelijking voorspelde druk. Premature baby's die onvoldoende surfactant hebben, kunnen hierdoor ademhalingsproblemen ontwikkelen.
• Inkjetprinten: de spuitmondjes van printers vormen druppels van enkele tientallen micrometers groot, waarbij de druk door de kromming groot genoeg is om te bepalen hoe de inkt het mondstuk verlaat.
• Materiaalkunde: instrumenten die meten hoe vloeistoffen een oppervlak bevochtigen en hoe dunne coatings zich gedragen, gebruiken de vergelijking om de vorm van een druppel te koppelen aan de oppervlakte-energie.

Geschiedenis

Men nam al waar dat vloeistoffen in nauwe buizen omhoogklimmen lang voordat iemand verklaarde waarom. In het begin van de 1700s liet Francis Hauksbee experimenteel zien dat nauwere buizen een grotere capillaire stijging veroorzaken, en in 1718 beschreef James Jurin de stijging als omgekeerd evenredig met de buisdiameter.

Thomas Young verklaarde de onderliggende fysica in een artikel uit 1805, waarin hij oppervlaktespanning introduceerde als een eigenschap van een vloeistof en deze koppelde aan de druk over gekromde oppervlakken, hoewel zijn behandeling voornamelijk beschrijvend was. In 1806 werkte Pierre-Simon Laplace de wiskundige vorm uit met behulp van calculus en kwam hij onafhankelijk tot dezelfde relatie. Hun gezamenlijke werk werd de Young-Laplacevergelijking. Latere wetenschappers, onder wie Carl Friedrich Gauss en Joseph Plateau, testten de theorie en breidden haar uit in de 1800s.

Veelgestelde vragen

Wat berekent de Young-Laplacevergelijking? De vergelijking berekent het drukverschil over een gekromd grensvlak tussen twee vloeistoffen, op basis van de oppervlaktespanning van de vloeistof en de kromming van het grensvlak.

Waarom is de druk in een kleinere druppel hoger? De oppervlaktespanning trekt langs de rand van de druppel, en die trekkracht groeit evenredig met de straal. Het oppervlak waarop de druk moet duwen groeit met het kwadraat van de straal. Als deze twee effecten in evenwicht zijn, ontstaat $\Delta P = 2\gamma/R$, zodat het drukverschil omgekeerd evenredig is met de straal: halveer de straal en het drukverschil verdubbelt.

Hoe beïnvloedt de temperatuur de vergelijking? De temperatuur verandert de waarde van de oppervlaktespanning, en de oppervlaktespanning neemt af als de temperatuur stijgt. Voor water daalt de oppervlaktespanning van ongeveer 0,073 N/m bij 20 °C tot ongeveer 0,063 N/m bij 80 °C, een afname van ongeveer 0,17 mN/m voor elke graad Celsius. De oppervlaktespanning bij kamertemperatuur is hoger dan die van heet water. Een waarde voor kamertemperatuur gebruiken voor een heet systeem overschat daarom het drukverschil.

Werkt de vergelijking voor andere vormen dan bollen? Ja. De algemene vorm, met twee afzonderlijke stralen $R_1$ en $R_2$, geldt voor elk gekromd oppervlak, waaronder ellipsoïden en zadelvormige grensvlakken. Alleen de vereenvoudigde versie $2\gamma/R$ is beperkt tot bollen.

Waarin verschilt de Young-Laplacevergelijking van de vergelijking van Young? De Young-Laplacevergelijking geeft het drukverschil dat door een gekromd grensvlak wordt veroorzaakt. De vergelijking van Young, een afzonderlijke relatie die eveneens van Thomas Young afkomstig is, geeft de contacthoek die een druppel maakt op de plaats waar deze een vast oppervlak raakt, op basis van de oppervlakte-energieën van de drie betrokken materialen. Ze beschrijven verschillende zaken en worden soms samen gebruikt om een druppel op een oppervlak te analyseren.

Hoe klein kan een druppel worden voordat de vergelijking niet meer werkt? De vergelijking blijft nauwkeurig tot ongeveer 1 micrometer. Beneden ongeveer 10 tot 20 nanometer worden extra krachten die de vergelijking negeert, waaronder lijnspanning en krachten tussen oppervlakken op moleculaire schaal, groot genoeg om van belang te zijn. Dan zijn gedetailleerdere modellen nodig.

Referenties

1. Young, T. (1805). "An Essay on the Cohesion of Fluids." Philosophical Transactions of the Royal Society of London, 95, 65–87.
2. Laplace, P.S. (1806). Traité de Mécanique Céleste, supplement bij boek 10.
3. de Gennes, P.G., Brochard-Wyart, F., & Quéré, D. (2004). Capillarity and Wetting Phenomena: Drops, Bubbles, Pearls, Waves. Springer.
4. Adamson, A.W., & Gast, A.P. (1997). Physical Chemistry of Surfaces (6e editie). Wiley-Interscience.