Miller Indices Calculator - Converteer Kristalvlak Intercepties naar (hkl)

Wat zijn Miller-indices?

Miller-indices zijn een reeks van drie gehele getallen, geschreven als (h,k,l), die een vlak in een kristalrooster identificeren. Een kristalrooster is de zich herhalende, ordelijke rangschikking van atomen in een vaste stof. Miller-indices geven wetenschappers precies aan welke doorsnede van dat rooster een vlak voorstelt, zonder dat de geometrie ervan in woorden hoeft te worden beschreven. Ze werden in 1839 geïntroduceerd door de Britse mineralogist William Hallowes Miller en vormen nog steeds de standaardnotatie in de kristallografie.

Deze calculator zet de snijpunten van een vlak met de kristallografische x-, y- en z-assen om in de Miller-indices (h,k,l).

Formule voor Miller-indices

Miller-indices worden bepaald door de reciproken van de assnijpunten van een vlak. Als een vlak de x-, y- en z-as snijdt op afstanden a, b en c van de oorsprong, voldoen de indices aan:

$h : k : l = \frac{1}{a} : \frac{1}{b} : \frac{1}{c}$

Miller-indices berekenen uit snijpunten

1. Bepaal waar het vlak elke as snijdt, gemeten in eenheden van de ribbe van de eenheidscel. Noem deze snijpunten a, b en c.
2. Neem van elk snijpunt de reciproke: 1/a, 1/b, 1/c.
3. Vermenigvuldig alle drie de reciproken met hetzelfde getal, zodat elk resultaat een geheel getal wordt.
4. Deel de drie gehele getallen door hun grootste gemene deler, zodat ze niet verder kunnen worden vereenvoudigd.

De drie resulterende gehele getallen zijn h, k en l. Een vlak dat een as nooit snijdt, wordt beschouwd als een vlak met een snijpunt op oneindig, en 1 gedeeld door oneindig is 0, zodat die as een Miller-index van 0 krijgt.

Uitgewerkt voorbeeld

Een vlak snijdt de x-as bij 2, de y-as bij 3 en de z-as bij 6.

1. Snijpunten: (2, 3, 6)
2. Reciproken: (1/2, 1/3, 1/6)
3. Vermenigvuldig met het kleinste gemene veelvoud van de noemers, 6: (3, 2, 1)
4. De grootste gemene deler van 3, 2 en 1 is 1, dus de getallen kunnen niet verder worden vereenvoudigd.

De Miller-indices zijn (321).

Andere voorbeelden

• Een vlak door (1, ∞, 2) — evenwijdig aan de y-as — heeft als reciproken (1, 0, 1/2). Vermenigvuldiging met 2 geeft (2, 0, 1). De 0 geeft aan dat het vlak de y-as nooit snijdt.
• Een vlak door (-1, 2, 3) heeft als reciproken (-1, 1/2, 1/3). Vermenigvuldiging met 6 geeft (-6, 3, 2), meestal geschreven als (6̄32), met een streep boven de negatieve index.
• Een vlak door (1, ∞, ∞) heeft als reciproken (1, 0, 0), wat (100) oplevert. Dit is een van de zes vlakken van een kubus.

Bijzondere gevallen

Een vlak dat evenwijdig aan een as loopt, snijdt die as nooit; het snijpunt wordt daarom als oneindig beschouwd en de Miller-index ervan is 0. Een vlak dat een as aan de negatieve kant van de oorsprong snijdt, krijgt een negatieve index, die in formele notatie met een streep boven het getal wordt geschreven, of in gewone tekst met een minteken. Voor een vlak dat door de oorsprong zelf gaat, zijn geen Miller-indices gedefinieerd, omdat elke verzameling evenwijdige vlakken in een rooster ten opzichte van de oorsprong moet zijn verschoven om te kunnen worden geïndexeerd; de oorsprong moet eerst worden verschoven voordat zo'n vlak kan worden beschreven. Breukvormige snijpunten worden op dezelfde manier behandeld als gehele snijpunten: neem van elk de reciproke en werk daarna de breuken weg.

Indices worden altijd teruggebracht tot de kleinst mogelijke gehele getallen. (622) en (311) beschrijven dezelfde familie van vlakken, maar kristallografen schrijven altijd (311).

Deze calculator gebruiken

Voer de snijpunten van het vlak met de x-, y- en z-as in.

• Gebruik een positief getal voor een snijpunt aan de positieve kant van de oorsprong en een negatief getal voor de negatieve kant.
• Typ "infinity", "inf" of "∞" voor een vlak dat evenwijdig aan een as loopt.
• Een snijpunt op nul wordt niet geaccepteerd, omdat aan een vlak dat door de oorsprong gaat met deze methode geen Miller-indices kunnen worden toegekend.

De calculator berekent de indices onmiddellijk en toont een diagram van het vlak binnen de eenheidscel.

Toepassingen van Miller-indices

Röntgendiffractie. Elke vlek of piek in een röntgendiffractiepatroon komt overeen met een verzameling roostervlakken met specifieke (hkl)-indices. De wet van Bragg verbindt de afstand tussen die vlakken met de diffractiehoek:

$n\lambda = 2d_{hkl}\sin\theta$

Hier is d_hkl de afstand tussen de vlakken (h,k,l), λ de golflengte van de röntgenstraling en θ de diffractiehoek. Het koppelen van waargenomen pieken aan (hkl)-waarden, een proces dat indexering wordt genoemd, is een fundamentele stap bij het identificeren van een onbekende kristalstructuur.

Materiaalkunde. Verschillende kristalvlakken leggen verschillende rangschikkingen van atomen bloot. Daardoor hebben ze verschillende oppervlakte-energieën en reactiesnelheden en spelen ze verschillende rollen bij de vervorming van een metaal. In vlakgecentreerde kubische metalen zoals aluminium glijden atoomvlakken het gemakkelijkst langs elkaar over {111}-vlakken. Siliciumwafers voor computerchips worden gewoonlijk langs het (100)- of (111)-vlak gesneden, omdat die keuze invloed heeft op het verloop van latere productiestappen.

Mineralogie. De vlakke zijden van een natuurlijk kristal en de richtingen waarin een mineraal gemakkelijk splijt (de splijting), komen beide overeen met specifieke vlakken met lage indices. Haliet (keukenzout) splijt langs {100}-vlakken en fluoriet langs {111}-vlakken.

Miller-Bravais-indices voor hexagonale kristallen

Hexagonale kristallen, zoals magnesium, zink en titanium, worden gewoonlijk beschreven met een systeem met vier indices (hkil) in plaats van drie. De extra index i is niet onafhankelijk; deze is altijd i = -(h+k). Deze vorm maakt het gemakkelijker om te zien dat twee vlakken tot dezelfde symmetrie-equivalente familie behoren, wat in een hexagonaal rooster niet altijd duidelijk is op basis van alleen de Miller-notatie met drie indices.

Geschiedenis

Miller-indices werden door William Hallowes Miller geïntroduceerd in zijn boek A Treatise on Crystallography uit 1839. Er bestonden al eerdere systemen voor het aanduiden van kristalvlakken, maar Millers methode om reciproken van de snijpunten te gebruiken maakte vlakken die evenwijdig aan een as lopen gemakkelijk te behandelen, omdat hun snijpunt oneindig is en de reciproke daarvan eenvoudigweg 0 is. Nadat Max von Laue in 1912 röntgendiffractie door kristallen ontdekte, toonden William Henry Bragg en William Lawrence Bragg aan dat Miller-indices precies de vlakken beschrijven die verantwoordelijk zijn voor diffractiepiekken. Voor dit werk deelden zij de 1915 Nobelprijs voor Natuurkunde.

Veelgestelde vragen

Waarvoor worden Miller-indices gebruikt? Ze identificeren specifieke vlakken in een kristalrooster. Ze worden gebruikt om pieken in röntgen- en elektronendiffractie te indexeren, om glijvlakken in metalen te beschrijven, om de oriëntatie van halfgeleiderwafers aan te geven en om de vlakken en splijting van mineralen te benoemen.

Wat betekent een nul in een Miller-index? Dit betekent dat het vlak evenwijdig aan die as loopt en deze nooit snijdt. Zo is (201) evenwijdig aan de y-as.

Wat betekenen negatieve Miller-indices? Ze betekenen dat het vlak die as aan de negatieve kant van de oorsprong snijdt. Een negatieve index wordt geschreven met een streep boven het getal, zoals (2̄11), of met een minteken, zoals (-2,1,1).

Waarom kan een vlak door de oorsprong geen Miller-indices hebben? Miller-indices worden bepaald door de reciproke van een snijpunt. Een vlak door de oorsprong snijdt elke as bij 0, en 1/0 is niet gedefinieerd. Daarom kan de methode geen indices toekennen tenzij het vlak wordt verschoven.

Wat is het verschil tussen Miller- en Miller-Bravais-indices? Miller-indices (hkl) gebruiken drie getallen en werken voor elk kristalsysteem. Miller-Bravais-indices (hkil) voegen een vierde, afhankelijke index toe en worden vooral gebruikt voor hexagonale kristallen, waarin ze het gemakkelijker maken om symmetrie-equivalente vlakken te herkennen.

Hoe houdt de vlakafstand verband met Miller-indices? In een kubisch kristal met ribbelengte a is de afstand tussen aangrenzende (hkl)-vlakken d = a / √(h² + k² + l²). Vlakken met hogere indices liggen dichter bij elkaar. Voor andere kristalsystemen wordt een vergelijkbare maar complexere formule gebruikt, die rekening houdt met ongelijke aslengten en niet-90°-hoeken.

Referenties

1. Miller, W. H. (1839). A Treatise on Crystallography. Cambridge: J. & J. J. Deighton.
2. Ashcroft, N. W., & Mermin, N. D. (1976). Solid State Physics. Holt, Rinehart and Winston.
3. Hammond, C. (2015). The Basics of Crystallography and Diffraction (4e editie). Oxford University Press.
4. Cullity, B. D., & Stock, S. R. (2014). Elements of X-ray Diffraction (3e editie). Pearson Education.
5. International Union of Crystallography. (2016). International Tables for Crystallography, Volume A: Space-group symmetry. Wiley.