Gamma Distributie Calculator - Statistisch Analyse-instrument

Wat is een rekenmachine voor de gamma-verdeling?

Een rekenmachine voor de gamma-verdeling berekent het gemiddelde, de variantie, de scheefheid, de kurtosis en de modus van een gamma-verdeling op basis van twee invoerwaarden: een vormparameter en een schaalparameter. Ook tekent de rekenmachine de kansdichtheidsfunctie van de verdeling als een curve.

Wat is een gamma-verdeling?

De gamma-verdeling is een continue kansverdeling voor positieve waarden. Ze wordt bepaald door twee parameters: een vormparameter, meestal geschreven als k, en een schaalparameter, meestal geschreven als θ (theta). Beide moeten groter zijn dan nul. De gamma-verdeling wordt gebruikt om hoeveelheden te modelleren die niet negatief kunnen zijn, zoals totale neerslag, de omvang van verzekeringsclaims en de tijd totdat een machineonderdeel defect raakt.

Formule van de gamma-verdeling

De kansdichtheidsfunctie (PDF) van de gamma-verdeling is:

f(x; k, θ) = x^(k−1) · e^(−x/θ) / (θ^k · Γ(k))

Hier is x de waarde waarvoor de dichtheid wordt gemeten, en Γ(k) is de gammafunctie, een veralgemening van de faculteit naar niet-gehele getallen. De formule geldt alleen voor x > 0; overal elders is de dichtheid nul.

Eigenschappen van de gamma-verdeling berekenen

Op basis van de vormparameter k en de schaalparameter θ berekent de rekenmachine:

• Gemiddelde: k × θ
• Variantie: k × θ²
• Scheefheid: 2 / √k
• Kurtosis: 3 + 6 / k
• Modus: (k − 1) × θ als k ≥ 1, anders 0

Scheefheid geeft aan hoe asymmetrisch de curve is. Een kleinere k leidt tot een langere rechterstaart. Kurtosis geeft aan hoe zwaar de staarten zijn in vergelijking met een normale verdeling, die een kurtosis van 3 heeft. De modus is de x-waarde waarop de curve haar maximum bereikt. Als k kleiner is dan 1, blijft de dichtheid stijgen naarmate x 0 nadert. Er is dan geen intern maximum en de rekenmachine rapporteert een modus van 0.

Uitgewerkt voorbeeld

Neem een vormparameter k = 2 en een schaalparameter θ = 3.

• Gemiddelde = 2 × 3 = 6
• Variantie = 2 × 3² = 18
• Scheefheid = 2 / √2 ≈ 1,4142
• Kurtosis = 3 + 6 / 2 = 6
• Modus = (2 − 1) × 3 = 3

Bij de modus, x = 3, is de dichtheid f(3; 2, 3) = 3¹ · e^(−1) / (3² · Γ(2)) = (3 × 0,3679) / 9 ≈ 0,1226. De rekenmachine tekent automatisch de volledige curve zodra beide parameters zijn ingevoerd.

De rekenmachine voor de gamma-verdeling gebruiken

1. Voer de vormparameter (k) in, een positief getal.
2. Voer de schaalparameter (θ) in, een positief getal.
3. Het gemiddelde, de variantie, de scheefheid, de kurtosis en de modus verschijnen zodra beide velden geldige getallen bevatten. Er is geen afzonderlijke berekenknop; de resultaten worden bijgewerkt terwijl de getallen worden ingevoerd.
4. De grafiek onder de resultaten toont de kansdichtheidsfunctie. Ze wordt getekend vanaf iets boven x = 0 tot de grootste van twee waarden: driemaal het gemiddelde of vijfmaal de schaalparameter.

Beide parameters moeten eindige getallen zijn die groter zijn dan 0, en geen van beide mag groter zijn dan 1000. Waarden kleiner dan ongeveer 2 × 10⁻¹⁶ worden eveneens geweigerd, omdat de samenvattende getallen bij die omvang niet langer betekenisvol zijn. Een waarde buiten het toegestane bereik levert een foutmelding op in plaats van resultaten.

Waar de gamma-verdeling wordt gebruikt

De gamma-verdeling modelleert veel reële grootheden die altijd positief zijn en vaak een rechtsscheve verdeling hebben:

• Verzekeringen: claimomvang en uitbetalingsbedragen
• Meteorologie: totale neerslag over een vaste periode
• Techniek: tijd totdat een onderdeel defect raakt
• Wachtrijtheorie: wachttijden die zijn opgebouwd uit meerdere exponentiële stappen
• Biologie: genexpressieniveaus en gegevens over aantallen soorten

Verwante verdelingen

Twee bekende verdelingen zijn speciale gevallen van de gamma-verdeling:

• Exponentiële verdeling: een gamma-verdeling met k = 1
• Chi-kwadraatverdeling: een gamma-verdeling met k = n/2 en θ = 2, waarbij n het aantal vrijheidsgraden is

De Weibull-verdeling en de lognormale verdeling zijn gangbare alternatieven voor het modelleren van positieve, scheve gegevens.

Veelgestelde vragen

Waarvoor wordt de gamma-verdeling gebruikt? Ze modelleert continue, positieve grootheden zoals wachttijden, neerslaghoeveelheden en verzekeringsclaims, vooral wanneer de gegevens naar grote waarden neigen.

Hoe bereken je het gemiddelde van een gamma-verdeling? Vermenigvuldig de vormparameter met de schaalparameter: gemiddelde = k × θ. Voor k = 2 en θ = 3 is het gemiddelde 6.

Wat is het verschil tussen de vormparameter en de schaalparameter? De vormparameter (k) bepaalt de vorm van de curve, waaronder de scheefheid. De schaalparameter (θ) rekt de curve uit langs de x-as of drukt haar samen, zonder haar basisvorm te veranderen.

Hoe verhoudt de gamma-verdeling zich tot de exponentiële verdeling? De exponentiële verdeling is de gamma-verdeling met vormparameter k = 1.

Kan de gamma-verdeling negatieve waarden aannemen? Nee. Ze is alleen gedefinieerd voor x > 0. Gegevens die negatief kunnen zijn, vereisen een andere verdeling, zoals de normale verdeling.

Berekent deze rekenmachine de cumulatieve verdelingsfunctie? Nee. Ze berekent het gemiddelde, de variantie, de scheefheid, de kurtosis en de modus, en tekent de kansdichtheidsfunctie. Er worden geen cumulatieve kanswaarden weergegeven.

Referenties

1. "Gamma distribution." Wikipedia, Wikimedia Foundation. https://en.wikipedia.org/wiki/Gamma_distribution
2. Johnson, N. L., Kotz, S., & Balakrishnan, N. (1994). Continuous Univariate Distributions, deel 1. John Wiley & Sons.