Binomiale Verdeling Calculator - Gratis Kansberekening Tool

Wat is een rekenmachine voor de binomiale verdeling?

Een calculator voor de binomiale verdeling berekent de kans op een exact aantal successen in een vast aantal onafhankelijke proeven, wanneer elke proef dezelfde kans op succes heeft. De calculator wordt gebruikt in de statistiek, kwaliteitscontrole, geneeskunde en elk vakgebied waarin herhaalde gebeurtenissen met een ja-of-nee-uitkomst worden bestudeerd.

Het onderliggende idee is de binomiale verdeling, een kansmodel voor het tellen van successen in herhaalde proeven die elk slechts twee uitkomsten hebben, meestal succes en mislukking genoemd.

Formule van de binomiale verdeling

De kans op precies k successen in n proeven is:

$P(X = k) = \binom{n}{k} \, p^k (1-p)^{n-k}$

Elk symbool betekent:

• n — het aantal proeven.
• k — het aantal successen waarvoor de kans wordt berekend.
• p — de kans op succes bij één proef, een getal tussen 0 en 1.
• $\binom{n}{k}$ — de binomiale coëfficiënt, het aantal verschillende manieren om k successen uit n proeven te kiezen. Deze is gelijk aan $\frac{n!}{k!(n-k)!}$.

Elke proef moet onafhankelijk zijn. Dat betekent dat de uitkomst van de ene proef de kansen van een andere proef niet verandert. Ook moet de kans p op succes bij alle proeven gelijk blijven. Een enkele proef met twee mogelijke uitkomsten, zoals één keer een munt opgooien, heet een Bernoulli-proef. Een binomiale verdeling krijg je door n Bernoulli-proeven bij elkaar op te tellen.

Zo berekent u de binomiale kans

1. Noteer n, k en p.
2. Bereken de binomiale coëfficiënt $\binom{n}{k}$, het aantal manieren om k successen over n proeven te verdelen.
3. Verhef p tot de macht k.
4. Verhef (1 − p) tot de macht (n − k).
5. Vermenigvuldig de drie getallen met elkaar.

De calculator op deze pagina voert deze stappen automatisch uit. Voer n, p en k in; de calculator geeft P(X = k) en een staafdiagram met de kans op elke mogelijke uitkomst van 0 tot en met n successen.

Uitgewerkt voorbeeld

Voorbeeld 1: munt opgooien

Gooi een eerlijke munt 10 keer op. Wat is de kans op precies 3 keer kop?

• n = 10, p = 0,5, k = 3
• $\binom{10}{3} = 120$
• $0.5^3 = 0.125$
• $0.5^{7} = 0.0078125$
• Resultaat: 120 × 0,125 × 0,0078125 ≈ 0,1172, oftewel ongeveer 11,72%

Voorbeeld 2: kwaliteitscontrole

Een fabriek controleert 100 artikelen. Elk artikel heeft een kans van 2% om defect te zijn. Wat is de kans dat geen van de 100 artikelen defect is?

• n = 100, p = 0,02, k = 0
• Omdat k = 0, wordt de formule $(1-p)^n = 0.98^{100}$
• Resultaat: ≈ 0,1326, oftewel ongeveer 13,26%

Voorbeeld 3: testen op ziekten

Een stad test 1.000 mensen op een ziekte die 0,1% van de bevolking besmet (p = 0,001). Wat is de kans dat precies 5 van de 1.000 mensen besmet zijn?

• n = 1000, p = 0,001, k = 5
• $\binom{1000}{5} = 8{,}250{,}291{,}250{,}200$
• $0.001^5 = 1 \times 10^{-15}$
• $0.999^{995} \approx 0.3695$
• Resultaat: 8.250.291.250.200 × 1e-15 × 0,3695 ≈ 0,00305, oftewel ongeveer 0,30% (precieze waarde 0,0030488, dat wil zeggen 0,30488%)

Gemiddelde en variantie

Voor een binomiale verdeling met de parameters n en p geldt:

• Gemiddelde (verwachte waarde): E(X) = np
• Variantie: Var(X) = np(1 − p)
• Standaardafwijking: σ = √[np(1 − p)]

Het gemiddelde geeft het verwachte aantal successen over veel herhalingen. In Voorbeeld 1 is het gemiddelde 10 × 0,5 = 5 keer kop.

Wat de rekenmachine accepteert

• n moet een geheel getal van 1 of hoger zijn. Een decimale invoer wordt afgerond op het dichtstbijzijnde gehele aantal proeven, dus 10,9 wordt behandeld als 11.
• p moet tussen 0 en 1 liggen, beide grenzen inbegrepen.
• k moet een geheel getal van 0 of hoger zijn en mag niet groter zijn dan n. 8 successen behalen in 5 proeven is onmogelijk, dus de calculator geeft een foutmelding in plaats van een getal.

Als een invoervak leeg blijft, geeft de calculator geen resultaat en geen diagram, in plaats van een waarde te raden.

Wanneer is de binomiale verdeling van toepassing?

De binomiale verdeling past alleen bij een situatie waarin aan alle vier de voorwaarden is voldaan:

1. Het aantal proeven, n, staat vooraf vast.
2. Elke proef heeft slechts twee uitkomsten: succes of mislukking.
3. De kans op succes, p, is bij elke proef hetzelfde.
4. De proeven zijn onafhankelijk van elkaar.

Kaarten uit een kaartspel trekken zonder terugleggen verbreekt de onafhankelijkheidsvoorwaarde, omdat het verwijderen van een kaart de kans bij de volgende trekking verandert. In die situatie is de hypergeometrische verdeling van toepassing.

Verwante verdelingen

• Poissonverdeling: wordt gebruikt om de binomiale verdeling te benaderen wanneer n groot is en p klein, zodat het gemiddelde aantal successen (np) gematigd blijft. Deze verdeling wordt vaak gebruikt voor zeldzame gebeurtenissen, zoals het ziektegeval in Voorbeeld 3.
• Normale verdeling: bij een grote n en wanneer p niet te dicht bij 0 of 1 ligt, lijkt de binomiale verdeling ongeveer klokvormig en kan deze worden benaderd door een normale verdeling met gemiddelde np en variantie np(1 − p).
• Hypergeometrische verdeling: wordt gebruikt in plaats van de binomiale verdeling wanneer zonder terugleggen wordt getrokken uit een eindige populatie.

Veelgestelde vragen

Wat doet een calculator voor de binomiale verdeling?

De calculator berekent de kans op precies k successen in n onafhankelijke proeven, elk met kans p op succes, met de formule P(X = k) = C(n, k) × p^k × (1 − p)^(n − k).

Wat is het verschil tussen de binomiale en de normale verdeling?

De binomiale verdeling is discreet, wat betekent dat deze alleen gehele aantallen successen oplevert. De normale verdeling is continu. Bij een grote n kan een binomiale verdeling worden benaderd door een normale curve met gemiddelde np en variantie np(1 − p).

Kan p gelijk zijn aan 0 of 1?

Ja. Als p = 0, kan geen enkele proef succesvol zijn, dus P(X = 0) = 1. Als p = 1, is elke proef succesvol, dus P(X = n) = 1. Alle andere waarden van k hebben in die gevallen kans 0.

Wat is het verband tussen de binomiale en de Bernoulliverdeling?

Een Bernoulliverdeling beschrijft één proef met twee uitkomsten (n = 1). Een binomiale verdeling is de som van n onafhankelijke Bernoulli-proeven. Een Bernoulliverdeling is dus een binomiale verdeling met n = 1.

Hoe groot kan n worden voordat de calculator onnauwkeurig wordt?

De calculator werkt met standaard rekenkunde met dubbele precisie. Hij vermenigvuldigt de drie delen van de formule rechtstreeks en schakelt over op logaritmen wanneer de binomiale coëfficiënt groter wordt dan het grootste getal met dubbele precisie dat kan worden opgeslagen. Dat gebeurt rond n = 1.000 wanneer k dicht bij n/2 ligt. De resultaten blijven ook boven dat punt correct. Een kans die kleiner is dan ongeveer 1e-308 wordt weergegeven als 0, omdat geen enkel getal met dubbele precisie deze kan bevatten.

Hoe wordt de binomiale coëfficiënt berekend?

De binomiale coëfficiënt C(n, k) telt het aantal manieren om k items uit n items te kiezen, ongeacht de volgorde. Deze is gelijk aan n! / (k! × (n − k)!). De calculator bouwt de coëfficiënt stap voor stap op door met de ene factor te vermenigvuldigen en door de volgende te delen, zodat geen volledige faculteit hoeft te worden opgeslagen. Voor zeer grote n telt de calculator in plaats daarvan de logaritmen van die factoren bij elkaar op.

Referenties

1. "Binomial Distribution." Wikipedia, Wikimedia Foundation. https://en.wikipedia.org/wiki/Binomial_distribution.
2. Ross, Sheldon M. Introduction to Probability Models. Academic Press, 2014.
3. Johnson, Norman L., et al. Discrete Distributions. Wiley Series in Probability and Statistics, 2005.