Verticale Curve Calculator - Snelweg & Wegontwerp Tool

Wat is een calculator voor verticale bogen?

Een calculator voor verticale bogen bepaalt de hoogteliggingen, de K-waarde en de belangrijkste punten van een verticale boog: de parabolische boog die ingenieurs gebruiken om twee weghellingen vloeiend met elkaar te verbinden. In plaats van dat een weg elkaar ontmoet onder een scherpe hoek waar de helling verandert, vloeit een verticale boog de twee hellingen samen tot één doorlopende boog. Dit zorgt voor een comfortabelere rit, geeft bestuurders voldoende zicht om veilig tot stilstand te komen en zorgt ervoor dat water goed kan afstromen.

Ingenieurs gebruiken verticale bogen bij het ontwerpen van snelwegen, straten, spoorwegen, start- en landingsbanen en geëgaliseerde terreinen zoals parkeerplaatsen. Overal waar een weg of spoor van helling moet veranderen, zorgt een verticale boog voor die overgang.

Topbogen en dalbogen

Een verticale boog is een van twee typen, afhankelijk van hoe de hellingen vóór en na de boog zich tot elkaar verhouden. Een helling wordt als percentage geschreven: een helling van 3% stijgt 3 meter per 100 afgelegde meter.

• Topboog: de beginhelling is groter dan de eindhelling (g₁ > g₂). De weg loopt omhoog, over een hoog punt en daarna omlaag — zoals over de top van een heuvel.
• Dalboog: de beginhelling is kleiner dan de eindhelling (g₁ < g₂). De weg loopt omlaag, door een laag punt en daarna omhoog — zoals op de bodem van een kuil.
• Als de twee hellingen gelijk zijn, is geen boog nodig. De weg is al een rechte lijn.

Topbogen zijn vooral van belang voor de stopzichtafstand: een bestuurder moet ver genoeg vooruit kunnen kijken om vóór een obstakel te stoppen. Dalbogen zijn vooral van belang voor de zichtafstand bij koplampverlichting 's nachts en voor de afwatering, omdat water zich op het laagste punt verzamelt.

Belangrijke termen

• PVI (Point of Vertical Intersection): het punt waar de twee rechte hellinglijnen elkaar zouden raken als er geen boog was.
• PVC (Point of Vertical Curvature): het punt waar de boog begint.
• PVT (Point of Vertical Tangency): het punt waar de boog eindigt.
• K-waarde: de booglengte gedeeld door de verandering in helling. Deze waarde geeft aan hoe geleidelijk de boog verloopt.
• Stationering: een afstandsmaat langs de hartlijn van de weg, die wordt gebruikt in plaats van gewone coördinaten. In deze calculator worden zowel stationering als hoogteligging in meters ingevoerd.

Een boog is doorgaans symmetrisch: de PVC ligt op de helft van de booglengte vóór de PVI en de PVT op de helft van de booglengte erna.

Formule voor een verticale boog

De hoogteligging op elk punt van de boog volgt een kwadratische (parabolische) vergelijking:

$y = y_{PVC} + g_1 x + \frac{A x^2}{2L}$

• $y$ = hoogteligging op afstand $x$ van de PVC
• $y_{PVC}$ = hoogteligging bij de PVC
• $g_1$ = beginhelling, als decimaal getal (een helling van 3% is 0,03)
• $A$ = algebraïsch verschil tussen de hellingen, $g_2 - g_1$ (in decimale vorm)
• $L$ = booglengte

Formule voor de K-waarde

$K = \frac{L}{|g_2 - g_1|}$

$g_1$ en $g_2$ zijn hier percentages. Een grotere K betekent een vlakkere, geleidelijker verlopende boog. Ontwerphandboeken zoals AASHTO's "A Policy on Geometric Design of Highways and Streets" stellen minimale K-waarden vast voor snelwegen, op basis van de ontwerpsnelheid en de vraag of het om een topboog of een dalboog gaat.

Als $g_1$ gelijk is aan $g_2$, is de verandering in helling nul en is K ongedefinieerd. De calculator toont dan een streepje in plaats van een K-waarde. Hellingen die minder dan 0,0001% van elkaar verschillen, gelden als gelijk.

PVC en PVT

$Station_{PVC} = Station_{PVI} - \frac{L}{2} \qquad Elevation_{PVC} = Elevation_{PVI} - \frac{g_1 L}{200}$

$Station_{PVT} = Station_{PVI} + \frac{L}{2} \qquad Elevation_{PVT} = Elevation_{PVI} + \frac{g_2 L}{200}$

($g_1$ en $g_2$ zijn hier percentages; delen door 200 zet het percentage om in een decimaal en past dit toe over de helft van de booglengte.)

Hoogste of laagste punt

Een hoogste punt (topboog) of laagste punt (dalboog) ligt op de boog wanneer de twee hellingen tegengestelde tekens hebben of wanneer een van de hellingen precies nul is. De afstand ervan tot de PVC is:

$x = \frac{g_1 L}{g_1 - g_2}$

Tel $x$ op bij de PVC-stationering om de stationering van het hoogste of laagste punt te bepalen en gebruik daarna de bovenstaande hoogteliggingsformule om de hoogte ervan te vinden. Wanneer beide hellingen hetzelfde teken hebben, ligt dit punt buiten het bereik van PVC tot PVT. De weg blijft dan over de hele boog stijgen of dalen en de calculator meldt geen hoogste of laagste punt. Wanneer één helling nul is, ligt het punt precies bij de PVC of de PVT.

Een verticale boog berekenen

1. Voer de beginhelling en eindhelling in, als percentages. Gebruik een positief getal voor een stijgende helling en een negatief getal voor een dalende helling.
2. Voer de booglengte in, in meters.
3. Voer de PVI-stationering en PVI-hoogteligging in, beide in meters.
4. Lees het boogtype (topboog, dalboog of geen van beide), de K-waarde en de stationeringen en hoogteliggingen van de PVC en PVT af.
5. Als de hellingen tegengestelde tekens hebben of een van beide nul is, meldt de calculator ook het hoogste of laagste punt.
6. Voer een opvraagstationering in om de hoogteligging op een ander punt te bepalen. Als die stationering buiten de boog valt, meldt de calculator dat in plaats van een getal te geven, omdat de formule alleen tussen de PVC en de PVT geldt.

Uitgewerkt voorbeeld: topboog

Een weg stijgt met een helling van 3% en daalt daarna met -2%. De PVI ligt bij stationering 1000,00 m, met een hoogteligging van 150,00 m. De booglengte is 400 m.

K-waarde: $K = 400 / |{-2} - 3| = 400 / 5 = 80.00$

PVC: stationering $= 1000 - 400/2 = 800.00$ m; hoogteligging $= 150 - (3 \times 400)/200 = 144.00$ m

PVT: stationering $= 1000 + 400/2 = 1200.00$ m; hoogteligging $= 150 + (-2 \times 400)/200 = 146.00$ m

Hoogste punt: omdat 3 en −2 tegengestelde tekens hebben, bestaat er een hoogste punt. $x = (3 \times 400)/(3-(-2)) = 1200/5 = 240$ m vanaf de PVC, dus de stationering is $800 + 240 = 1040.00$ m. De hoogteligging is $144 + (0.03)(240) + \dfrac{(-0.05)(240)^2}{2(400)} = 144 + 7.2 - 3.6 = 147.60$ m.

Uitgewerkt voorbeeld: dalboog

Een weg daalt met -3% en stijgt daarna met 2%. De PVI ligt bij stationering 500,00 m, met een hoogteligging van 85,00 m. De booglengte is 200 m.

K-waarde: $K = 200 / |2-(-3)| = 200/5 = 40.00$

PVC: stationering $= 400.00$ m; hoogteligging $= 85 - (-3 \times 200)/200 = 88.00$ m

PVT: stationering $= 600.00$ m; hoogteligging $= 85 + (2 \times 200)/200 = 87.00$ m

Laagste punt: $x = (-3 \times 200)/(-3-2) = -600/-5 = 120$ m vanaf de PVC, dus de stationering is $400 + 120 = 520.00$ m. De hoogteligging is $88 + (-0.03)(120) + \dfrac{(0.05)(120)^2}{2(200)} = 88 - 3.6 + 1.8 = 86.20$ m.

Op dit laagste punt verzamelt het oppervlaktewater zich. Daarom plaatst de ontwerper hier een afwateringsinlaat, en niet bij de PVI.

Veelgestelde vragen

Wat is een K-waarde bij het ontwerpen van verticale bogen? De K-waarde is de booglengte gedeeld door het absolute verschil tussen de twee hellingen. Deze waarde geeft aan hoeveel meter boog nodig is voor een verandering in helling van 1%. Een hogere K-waarde betekent een vlakkere, geleidelijker verlopende boog.

Hoe weet ik of ik een topboog of een dalboog nodig heb? Vergelijk de twee hellingen. Als de beginhelling groter is dan de eindhelling, gaat het om een topboog. Als de beginhelling kleiner is dan de eindhelling, gaat het om een dalboog. Bij gelijke hellingen is helemaal geen boog nodig.

Wat gebeurt er als de begin- en eindhelling gelijk zijn? Er is geen verticale boog nodig, omdat de weg al recht is. De K-waarde is ongedefinieerd, omdat dan gedeeld zou worden door een hellingsverandering van nul. Daarom toont de calculator een streepje in plaats van een getal.

Hoe bepaal je het hoogste of laagste punt van een boog? Het bestaat wanneer de twee hellingen tegengestelde tekens hebben of wanneer één helling nul is. De afstand vanaf de PVC is $g_1 L / (g_1 - g_2)$. Tel die afstand op bij de PVC-stationering om de locatie te bepalen en gebruik daarna de hoogteliggingsformule van de boog om de hoogte te vinden. Bij hellingen met hetzelfde teken ligt dat punt buiten de boog, zodat er geen hoogste of laagste punt is.

Waarom is het laagste punt van een dalboog van belang voor de afwatering? Water dat aan beide zijden van de dalboog naar beneden stroomt, verzamelt zich op het laagste punt. Als een afwateringsinlaat bij de PVI wordt geplaatst in plaats van op het werkelijke laagste punt, kan zich water op de weg verzamelen, omdat de twee punten zelden samenvallen.

Kan een opvraagstationering buiten de boog vallen? Ja. De hoogteliggingsformule geldt alleen tussen de PVC en de PVT. Een stationering buiten dat bereik heeft geen gedefinieerde hoogteligging op de boog, dus de calculator meldt dat de stationering buiten de boog ligt.