Trigonometrisk Funksjonsgrafer - Visualiser Sin, Cos, Tan

Hva er en graftegner for trigonometriske funksjoner?

En graftegner for trigonometriske funksjoner er et verktøy som tegner kurven til en sinus-, cosinus- eller tangensfunksjon, og lar brukeren endre formen ved å justere noen få tall som kalles parametere. Når en glidebryter flyttes, tegnes grafen på nytt umiddelbart. Det gjør det lettere å se hvordan amplitude, frekvens og faseforskyvning endrer bølgen.

De tre grunnleggende trigonometriske funksjonene

Sinus, cosinus og tangens kommer fra forholdene mellom sidene i en rettvinklet trekant. På en sirkel med radius 1, sentrert i origo (enhetssirkelen), er sin(x) høyden til et punkt med vinkel x, og cos(x) er punktets horisontale posisjon. Tangens er forholdet sin(x) / cos(x).

Sinus er en odd funksjon: sin(−x) = −sin(x). Cosinus er en jevn funksjon: cos(−x) = cos(x). Cosinus er ganske enkelt sinus forskjøvet π/2 radianer (90 grader) mot venstre.

Tangens har vertikale asymptoter: linjer som kurven nærmer seg mer og mer, men aldri berører. De ligger ved x = π/2 + nπ, der n er et hvilket som helst heltall. Siden tan(x) = sin(x) / cos(x), og cos(x) er lik 0 i disse punktene, er forholdet udefinert der.

Formel for trigonometriske funksjoner

Graftegneren tegner funksjoner på denne formen:

f(x) = A sin(Bx + C)

Den samme formen brukes for cosinus og tangens, med sin erstattet av cos eller tan. Hver bokstav er en parameter som kan justeres:

• A (amplitude) angir bølgehøyden, målt fra midtlinjen til en topp. Graftegneren tillater verdier fra 0,1 til 5 for sinus og cosinus, og fra 0,1 til 2 for tangens.
• B (frekvens) bestemmer hvor mange komplette perioder som får plass på en strekning av x-aksen. En større B komprimerer bølgen. Graftegneren tillater verdier fra 0,1 til 5.
• C (faseforskyvning) forskyver hele kurven mot venstre eller høyre uten å endre formen. Graftegneren tillater verdier fra −π til π, omtrent −3,14 til 3,14.

En positiv faseforskyvning flytter grafen mot venstre, mens en negativ faseforskyvning flytter den mot høyre.

Slik bruker du graftegneren for trigonometriske funksjoner

1. Velg en funksjon — sinus, cosinus eller tangens — i valgfeltet.
2. Flytt amplitudeglidebryteren for å endre hvor høy bølgen er.
3. Flytt frekvensglidebryteren for å komprimere eller strekke bølgen.
4. Flytt glidebryteren for faseforskyvning for å forskyve kurven sidelengs.
5. Les formelen som vises under glidebryterne, og trykk på «Copy» for å kopiere den som tekst.

Grafen oppdateres så snart en glidebryter flyttes. For tangens oppstår små mellomrom i linjen ved hver asymptote. Det er forventet og ikke en feil.

Teste ytterpunktene til glidebryterne

For å se hvor høy en bølge kan bli, setter du amplituden til den høyeste verdien verktøyet tillater: 5 for sinus eller cosinus, 2 for tangens. For å se en bølge som er strukket nesten helt flat, setter du frekvensen til den laveste verdien, 0,1. Når én glidebryter endres om gangen, blir det lettere å se hvilken parameter som forårsaket hvilken endring.

Slik beregner du en verdi for hånd

Ta en sinusfunksjon med amplituden A = 2, frekvensen B = 3 og faseforskyvningen C = π/4:

f(x) = 2 sin(3x + π/4)

For å finne f(π/6) beregner du først vinkelen inne i sinusfunksjonen:

3 × (π/6) = π/2

π/2 + π/4 = 3π/4

Deretter beregner du sinusverdien og multipliserer med amplituden:

f(π/6) = 2 × sin(3π/4) = 2 × (√2/2) ≈ 1,414

Hvor trigonometriske bølger forekommer

Mange ting som gjentar seg i et jevnt mønster frem og tilbake, følger en kurve som ligner en sinusbølge: lyd, vekselstrøm, tidevann, pendelbevegelsen og dagslysets lengde gjennom et år. Ingeniører bruker sinus og cosinus til å beskrive og forutsi slike mønstre. Dataanimatører bruker de samme kurvene for å få bevegelser til å se jevne ut, for eksempel i en vuggende gangsyklus eller en kamerabevegelse med myk inn- og utbremsing.

Ofte stilte spørsmål

Hva er forskjellen mellom sinus, cosinus og tangens?

Sinus og cosinus svinger begge mellom −1 og 1 med en periode på 2π, men cosinus når hvert punkt i perioden en kvart omdreining (π/2) tidligere enn sinus. Tangens er sinus dividert med cosinus. Den har periode π, er ubundet og har vertikale asymptoter der cosinus er lik 0.

Hva bestemmer amplituden?

Amplituden (A) bestemmer hvor langt bølgen strekker seg over og under midtlinjen. I denne graftegneren varierer den fra 0,1 til 5 for sinus og cosinus, og fra 0,1 til 2 for tangens.

Hva bestemmer frekvensen?

Frekvensen (B) bestemmer hvor mange bølgeperioder som vises på en bestemt strekning av x-aksen. En høyere frekvens pakker flere perioder inn på samme plass. Graftegneren tillater verdier fra 0,1 til 5.

Hvorfor flytter en positiv faseforskyvning grafen mot venstre i stedet for mot høyre?

Fordi faseforskyvningen C legges til før vinkelen måles, inne i funksjonen: f(x) = sin(Bx + C). En positiv C betyr at vinkelen når en bestemt verdi ved en mindre x-verdi, slik at det samme punktet på kurven vises tidligere — forskjøvet mot venstre, ikke mot høyre.

Hvorfor er det mellomrom i tangensgrafen?

Tangens er udefinert overalt der cosinus er lik 0, noe som skjer ved x = π/2 + nπ. Graftegneren bryter linjen ved disse punktene i stedet for å tegne en falsk forbindelse rett gjennom mellomrommet.

Bruker graftegneren grader eller radianer?

Radianer. En hel omdreining tilsvarer 2π radianer, det samme som 360 grader. For å konvertere grader til radianer multipliserer du med π/180.