Andregradslikning Løser - Beregn Røtter av ax² + bx + c = 0

Hva er en andregradsligning?

En andregradsligning er en ligning på formen $ax^2 + bx + c = 0$, der $a$, $b$ og $c$ er tall, og $a$ ikke er null. Løseren for andregradsligninger på denne siden finner verdien eller verdiene av $x$ som gjør ligningen sann, ved hjelp av koeffisientene $a$, $b$ og $c$ som brukeren oppgir.

Hvis $a$ var null, ville $x^2$-leddet forsvinne, og ligningen ville bli lineær i stedet for kvadratisk. Derfor krever kalkulatoren $a \neq 0$ og viser en feilmelding hvis $a = 0$.

Andregradsformelen

Alle andregradsligninger på formen $ax^2 + bx + c = 0$ kan løses med andregradsformelen:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

Tegnet $\pm$ står for to separate beregninger, én med plusstegn og én med minustegn. Derfor kan en andregradsligning ha to forskjellige løsninger.

Uttrykket under kvadratroten, $b^2 - 4ac$, kalles diskriminanten. Den skrives vanligvis som $\Delta$ (den greske bokstaven delta). Diskriminanten alene forteller hvor mange reelle løsninger ligningen har, før resten av beregningen utføres.

Slik beregner du røttene

1. Skriv ligningen på standardform, $ax^2 + bx + c = 0$.
2. Identifiser koeffisientene $a$, $b$ og $c$.
3. Beregn diskriminanten: $\Delta = b^2 - 4ac$.
4. Hvis $\Delta$ er positiv, beregner du begge røttene med $x = \dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$.
5. Hvis $\Delta$ er null, beregner du den ene roten med $x = \dfrac{-b}{2a}$.
6. Hvis $\Delta$ er negativ, har ligningen ingen reelle røtter, fordi et negativt tall ikke har noen reell kvadratrot.

Kalkulatoren på denne siden utfører disse trinnene automatisk. Den godtar koeffisienter mellom $-10^{10}$ og $10^{10}$, og avrunder resultatene til et valgt antall desimaler, fra 0 til 10.

Hva diskriminanten betyr

Denne kalkulatoren rapporterer «ingen reelle røtter» når $\Delta$ er negativ. Den beregner ikke komplekse røtter (tall som inneholder $i = \sqrt{-1}$).

Regneeksempel

Løs $x^2 + 5x + 6 = 0$.

Her er $a = 1$, $b = 5$ og $c = 6$.

Finn først diskriminanten:

$\Delta = b^2 - 4ac = 5^2 - 4(1)(6) = 25 - 24 = 1$

Siden $\Delta$ er positiv, har ligningen to reelle røtter:

$x = \frac{-5 \pm \sqrt{1}}{2(1)} = \frac{-5 \pm 1}{2}$

$x_1 = \frac{-5 + 1}{2} = -2 \qquad x_2 = \frac{-5 - 1}{2} = -3$

Dette kan kontrolleres ved faktorisering: $x^2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)$, som er lik null når $x = -2$ eller $x = -3$.

Et annet eksempel viser en negativ diskriminant. For $x^2 + x + 1 = 0$ er $a = 1$, $b = 1$ og $c = 1$, så $\Delta = 1 - 4 = -3$. Fordi $\Delta$ er negativ, har ligningen ingen reelle røtter.

Parabelen, toppunktet og symmetriaksen

Grafen til $f(x) = ax^2 + bx + c$ er en kurve som kalles en parabel. Hvis $a$ er positiv, åpner parabelen oppover og har et laveste punkt. Hvis $a$ er negativ, åpner den nedover og har et høyeste punkt. Dette laveste eller høyeste punktet er toppunktet.

Toppunktet ligger i:

$x = -\frac{b}{2a}, \qquad y = f\!\left(-\frac{b}{2a}\right)$

En loddrett linje gjennom toppunktet, $x = -\dfrac{b}{2a}$, kalles symmetriaksen fordi de to halvdelene av parabelen speiler hverandre over den. De reelle røttene til ligningen er punktene der parabelen krysser x-aksen, så de ligger på hver sin side av symmetriaksen, i samme avstand fra den.

Kalkulatoren tegner denne parabelen ved siden av resultatet. Den markerer toppunktet og eventuelle reelle røtter på kurven, og utvider det viste området ved behov slik at alle røttene forblir synlige.

Hvor andregradsligninger brukes

Andregradsligninger beskriver mange situasjoner fra virkeligheten. I fysikk følger høyden til et kastet objekt over tid ligningen $h(t) = -\tfrac{1}{2}gt^2 + v_0t + h_0$, og når den løses med hensyn på $t$, får man tiden objektet treffer bakken. I ingeniørfag forekommer parabelformer i parabolantenner og brokabler på grunn av hvordan de fokuserer eller fordeler krefter. I datagrafikk løser strålesporingsprogrammer andregradsligninger for å finne hvor en linje skjærer en kule.

En kort historie

Babylonske matematikere løste spesifikke andregradsproblemer allerede rundt 2000 f.Kr. ved hjelp av geometriske metoder i stedet for algebra. Greske matematikere som Euklid behandlet også andregradsproblemer geometrisk. Rundt 600 e.Kr. ga den indiske matematikeren Brahmagupta en uttrykkelig formel for røttene, inkludert negative løsninger. Rundt 800 e.Kr. beskrev den persiske matematikeren al-Khwarizmi systematiske metoder for å løse andregradsligninger i en bok hvis tittel ga opphav til ordet «algebra». Den moderne symbolske formen av andregradsformelen ble standard senere, etter hvert som algebraisk notasjon utviklet seg under renessansen.

Ofte stilte spørsmål

Hva skjer hvis jeg oppgir 0 for koeffisienten a? Kalkulatoren viser en feilmelding fordi $a = 0$ gjør ligningen lineær, $bx + c = 0$, og den løses på en annen måte.

Hvorfor har en ligning noen ganger ingen reelle røtter? Dette skjer når diskriminanten, $b^2 - 4ac$, er negativ. Et negativt tall har ingen reell kvadratrot, så formelen kan ikke gi en reell verdi av $x$. Ligningen har fortsatt to komplekse røtter, men denne kalkulatoren beregner dem ikke.

Hva er forskjellen mellom en rot og en løsning? Ingen. Begge ordene viser til en verdi av $x$ som gjør ligningen lik null. «Rot» viser til hvor grafen møter x-aksen, mens «løsning» viser til algebraen.

Hvor mange desimaler kan jeg velge? Mellom 0 og 10. To eller tre desimaler er vanligvis nok for hverdagslige problemer.

Kan jeg oppgi svært store koeffisienter? Koeffisientene må være mellom $-10^{10}$ og $10^{10}$. Verdier utenfor dette området kan føre til avrundingsfeil og blir avvist.

Kan denne kalkulatoren finne komplekse røtter? Nei. Når diskriminanten er negativ, rapporterer den «ingen reelle røtter» i stedet for å beregne komplekse tall.

Referanser

1. Kvadratisk ligning – MathWorld
2. NISTs digitale bibliotek for matematiske funksjoner, §1.11, Algebra: andregradsligning