Young-Laplace Ligningskalkulator | Grenseflatetrykk

Hva er Young–Laplace-ligningen?

Young–Laplace-ligningen er en formel i fluidmekanikk som angir trykkforskjellen over en krum grenseflate mellom to fluider, for eksempel overflaten til en vanndråpe eller en såpeboble. Den viser at denne trykkforskjellen avhenger av væskens overflatespenning og hvor skarpt grenseflaten krummer. Ligningen forklarer hvorfor trykket bygger seg opp inne i dråper og bobler, og hvorfor mindre dråper og bobler har høyere indre trykk enn større.

Den er oppkalt etter Thomas Young og Pierre-Simon Laplace, som hver for seg beskrev sammenhengen tidlig på 1800-tallet.

Formel for Young–Laplace-ligningen

Den generelle formen av ligningen er:

$\Delta P = \gamma \left( \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} \right)$

• $\Delta P$ er trykkforskjellen over grenseflaten, i pascal (Pa)
• $\gamma$ (gamma) er væskens overflatespenning, i newton per meter (N/m)
• $R_1$ og $R_2$ er de to hovedkrumningsradiene til overflaten, i meter (m)

En overflate krummer forskjellig i ulike retninger. $R_1$ og $R_2$ beskriver krumningen langs to retninger som står vinkelrett på hverandre. For en kule, for eksempel en dråpe eller en boble, er $R_1$ lik $R_2$, så formelen forenkles til:

$\Delta P = \frac{2\gamma}{R}$

Fortegnkonvensjon

Trykket er alltid høyere på den konkave siden av en krum grenseflate, altså siden overflaten buer seg bort fra. For en dråpe eller boble betyr det at trykket på innsiden er høyere enn trykket på utsiden. En radius regnes som positiv når krumningssenteret ligger på siden med høyere trykk. Hvis overflaten krummer motsatt vei i én retning, regnes denne radiusen som negativ. En sadelformet grenseflate, for eksempel væskehalsen mellom to berørende korn, har én positiv og én negativ radius, og de to leddene opphever hverandre delvis.

Denne kalkulatoren bruker bare positive radier.

Spesialtilfeller

• Plan overflate: Når en radius vokser mot uendelig, blir leddet dens i formelen mindre og nærmer seg null. En fullstendig plan grenseflate har ingen trykkforskjell.
• Sylinder: En lang sylindrisk overflate, for eksempel en væskestråle som kommer ut av en dyse, krummer bare i én retning. Den ene radiusen er sylinderens radius, og den andre er uendelig langs lengden, så formelen blir $\Delta P = \gamma / R$. Det er halvparten av trykkforskjellen til en kule med samme radius.
• Svært små skalaer: Under omtrent 10 til 20 nanometer blir ekstra effekter, som linjespenning, betydningsfulle, og den enkle ligningen blir mindre nøyaktig.

Slik beregnes trykkforskjellen med Young–Laplace-ligningen

1. Finn væskens overflatespenning, i N/m, ved temperaturen som er aktuell. Overflatespenningen synker når temperaturen stiger.
2. Mål eller anslå den første hovedkrumningsradien, $R_1$, i meter.
3. Mål eller anslå den andre hovedkrumningsradien, $R_2$, i meter. For en kule bruker du samme verdi som $R_1$. For en sylinder bruker du et svært stort tall som tilnærming til uendelig.
4. Multipliser overflatespenningen med summen av $1/R_1$ og $1/R_2$. Resultatet er trykkforskjellen i pascal.

Bruk SI-enheter for alle verdier. Hvis millimeter blandes med meter, blir svaret for eksempel feil med en faktor på tusen.

Regneeksempel

Ta en sfærisk vanndråpe med en radius på 1 millimeter (0,001 m) og en overflatespenning på 0,072 N/m, en typisk verdi for vann nær romtemperatur.

Siden dråpen er en kule, er $R_1 = R_2 = R$, så:

$\Delta P = \frac{2\gamma}{R} = \frac{2 \times 0.072}{0.001} = 144 \text{ Pa}$

Trykket inne i dråpen er 144 Pa høyere enn lufttrykket rundt. Det er lite sammenlignet med normalt atmosfæretrykk, omtrent 101 325 Pa, men effekten øker raskt når en dråpe blir mindre. En dråpe med en tiendedel av størrelsen, 0,1 mm i radius, har ti ganger så stor trykkforskjell: 1 440 Pa. En dråpe med radius 0,01 mm når 14 400 Pa, over 14 % av atmosfæretrykket.

Hvor ligningen gjelder

• Dråper og bobler: Høyere trykk inne i små dråper driver Ostwald-modning, prosessen der små dråper i en emulsjon krymper mens større dråper vokser, fordi innholdet diffunderer fra høyt til lavt trykk.
• Kapillærvirkning: Den krumme overflaten inne i et smalt rør trekker væsken oppover. Det er derfor vann stiger i tørkepapir og smale glassrør.
• Pusting: De små luftsekkene i lungene, kalt alveoler, oppfører seg som små bobler. Et belegg kalt lungesurfaktant senker overflatespenningen, slik at små alveoler ikke klapper sammen under trykket ligningen forutsier. For tidlig fødte barn som mangler tilstrekkelig surfaktant, kan derfor få pustevansker.
• Blekkskriverutskrift: Dyser i skrivere danner dråper med en diameter på noen titalls mikrometer, der trykket fra krumningen er stort nok til å påvirke hvordan blekket forlater dysen.
• Materialvitenskap: Instrumenter som måler hvordan væsker fukter en overflate, og hvordan tynne belegg oppfører seg, bruker ligningen til å knytte en dråpes form til overflateenergien.

Historikk

Folk observerte at væsker steg i smale rør lenge før noen forklarte hvorfor. Tidlig på 1700-tallet viste Francis Hauksbee eksperimentelt at smalere rør gir større kapillærstigning, og i 1718 beskrev James Jurin stigningen som omvendt proporsjonal med rørets diameter.

Thomas Young forklarte den underliggende fysikken i en artikkel fra 1805, der han introduserte overflatespenning som en egenskap ved en væske og knyttet den til trykk over krumme overflater, selv om behandlingen hans hovedsakelig var beskrivende. I 1806 utarbeidet Pierre-Simon Laplace den matematiske formen ved hjelp av kalkulus og kom uavhengig frem til den samme sammenhengen. Det samlede arbeidet deres ble til Young–Laplace-ligningen. Senere forskere, blant andre Carl Friedrich Gauss og Joseph Plateau, testet og videreutviklet teorien gjennom 1800-tallet.

Ofte stilte spørsmål

Hva beregner Young–Laplace-ligningen? Den beregner trykkforskjellen over en krum grenseflate mellom to fluider, basert på væskens overflatespenning og grenseflatens krumning.

Hvorfor er trykket høyere inne i en mindre dråpe? Overflatespenningen trekker langs dråpens rand, og trekkraften øker i takt med radiusen. Arealet som trykket må virke på, øker med radiusen i andre. Når de to kreftene balanseres, får man $\Delta P = 2\gamma/R$, så trykkforskjellen er omvendt proporsjonal med radiusen: Halver radiusen, og trykkforskjellen dobles.

Hvordan påvirker temperaturen ligningen? Temperaturen endrer verdien for overflatespenningen, og overflatespenningen synker når temperaturen stiger. For vann synker overflatespenningen fra omtrent 0,073 N/m ved 20 °C til rundt 0,063 N/m ved 80 °C, en nedgang på omtrent 0,17 mN/m for hver grad Celsius. Overflatespenningen ved romtemperatur er høyere enn overflatespenningen i varmt vann, så bruk av en romtemperaturverdi for et varmt system overvurderer trykkforskjellen.

Gjelder ligningen for andre former enn kuler? Ja. Den generelle formen, med to separate radier $R_1$ og $R_2$, gjelder for enhver krum overflate, inkludert ellipsoider og sadelformede grenseflater. Bare den forenklede $2\gamma/R$-versjonen er begrenset til kuler.

Hvordan skiller Young–Laplace-ligningen seg fra Youngs ligning? Young–Laplace-ligningen angir trykkforskjellen som skyldes en krum grenseflate. Youngs ligning, en separat sammenheng som også stammer fra Thomas Young, angir kontaktvinkelen en dråpe danner der den møter en fast overflate, basert på overflateenergiene til de tre involverte materialene. De beskriver ulike ting og brukes noen ganger sammen for å analysere en dråpe som ligger på en overflate.

Hvor liten kan en dråpe være før ligningen slutter å virke? Ligningen er nøyaktig ned til omtrent 1 mikrometer. Under omtrent 10 til 20 nanometer blir ekstra krefter som ligningen ikke tar hensyn til, blant annet linjespenning og krefter mellom overflater på molekylskala, store nok til å ha betydning, og mer detaljerte modeller er nødvendige.

Referanser

1. Young, T. (1805). «An Essay on the Cohesion of Fluids.» Philosophical Transactions of the Royal Society of London, 95, 65–87.
2. Laplace, P.S. (1806). Traité de Mécanique Céleste, tillegg til bok 10.
3. de Gennes, P.G., Brochard-Wyart, F. og Quéré, D. (2004). Capillarity and Wetting Phenomena: Drops, Bubbles, Pearls, Waves. Springer.
4. Adamson, A.W. og Gast, A.P. (1997). Physical Chemistry of Surfaces (6. utg.). Wiley-Interscience.