Miller Indeks Kalkulator - Konverter Krystallplan Skjæringspunkter til (hkl)

Hva er Miller-indekser?

Miller-indekser er et sett med tre heltall, skrevet (h,k,l), som identifiserer et plan i et krystallgitter. Et krystallgitter er den gjentakende, ordnede plasseringen av atomer i et fast materiale. Miller-indeksene forteller forskere nøyaktig hvilket snitt gjennom gitteret et plan representerer, uten at geometrien må beskrives med ord. De ble innført av den britiske mineralogen William Hallowes Miller i 1839 og er fortsatt standardnotasjonen i krystallografi.

Denne kalkulatoren omdanner et plans skjæringspunkter med de krystallografiske x-, y- og z-aksene til Miller-indeksene (h,k,l).

Formel for Miller-indekser

Miller-indekser fås fra de resiproke verdiene av et plans akseskjæringer. Hvis et plan krysser x-, y- og z-aksene i avstandene a, b og c fra origo, oppfyller indeksene følgende:

$h : k : l = \frac{1}{a} : \frac{1}{b} : \frac{1}{c}$

Slik beregner du Miller-indekser fra skjæringspunkter

1. Finn ut hvor planet krysser hver akse, målt i enheter av enhetscellens kantlengde. Kall disse skjæringspunktene a, b og c.
2. Ta den resiproke verdien av hvert skjæringspunkt: 1/a, 1/b, 1/c.
3. Multipliser alle tre resiproke verdiene med det samme tallet, slik at hver av dem blir et heltall.
4. Divider de tre heltallene med deres største felles divisor, slik at de ikke kan forkortes ytterligere.

De tre resulterende heltallene er h, k og l. Et plan som aldri krysser en akse, behandles som om det skjærer den ved uendelig, og 1 dividert med uendelig er 0, slik at aksen får Miller-indeksen 0.

Regneeksempel

Et plan skjærer x-aksen ved 2, y-aksen ved 3 og z-aksen ved 6.

1. Skjæringspunkter: (2, 3, 6)
2. Resiproke verdier: (1/2, 1/3, 1/6)
3. Multipliser med minste felles multiplum av nevnerne, 6: (3, 2, 1)
4. Den største felles divisoren til 3, 2 og 1 er 1, så tallene kan ikke forkortes ytterligere.

Miller-indeksene er (321).

Andre eksempler

• Et plan gjennom (1, ∞, 2) — parallelt med y-aksen — har de resiproke verdiene (1, 0, 1/2). Multiplikasjon med 2 gir (2, 0, 1). 0 viser at planet aldri krysser y-aksen.
• Et plan gjennom (-1, 2, 3) har de resiproke verdiene (-1, 1/2, 1/3). Multiplikasjon med 6 gir (-6, 3, 2), vanligvis skrevet (6̄32) med en strek over den negative indeksen.
• Et plan gjennom (1, ∞, ∞) har de resiproke verdiene (1, 0, 0), som gir (100). Dette er én av kubens seks flater.

Spesialtilfeller

Et plan som er parallelt med en akse, krysser den aldri, så skjæringspunktet behandles som uendelig, og Miller-indeksen er 0. Et plan som skjærer en akse på den negative siden av origo, får en negativ indeks, skrevet med en strek over tallet i formell notasjon eller med et minustegn i vanlig tekst. Et plan som går gjennom selve origo, har ingen definerte Miller-indekser, fordi hver familie av parallelle plan i et gitter må være forskjøvet fra origo for å kunne indekseres; origo må flyttes før et slikt plan kan beskrives. Brøkskjæringer behandles på samme måte som heltall: ta den resiproke verdien av hver, og fjern deretter brøkene.

Indeksene reduseres alltid til de minst mulige heltallene. (622) og (311) beskriver den samme familien av plan, men krystallografer skriver alltid (311).

Slik bruker du denne kalkulatoren

Angi planets skjæringspunkter med x-, y- og z-aksene.

• Bruk et positivt tall for et skjæringspunkt på den positive siden av origo og et negativt tall for den negative siden.
• Skriv «infinity», «inf» eller «∞» for et plan som går parallelt med en akse.
• Et skjæringspunkt lik null godtas ikke, fordi et plan som går gjennom origo, ikke kan tildeles Miller-indekser med denne metoden.

Kalkulatoren beregner indeksene umiddelbart og viser et diagram av planet inne i enhetscellen.

Bruksområder for Miller-indekser

Røntgendiffraksjon. Hvert punkt eller hver topp i et røntgendiffraksjonsmønster tilsvarer et sett gitterplan med en bestemt (hkl). Braggs lov knytter avstanden mellom disse planene til diffraksjonsvinkelen:

$n\lambda = 2d_{hkl}\sin\theta$

Her er d_hkl avstanden mellom planene (h,k,l), λ er røntgenbølgelengden, og θ er diffraksjonsvinkelen. Å knytte observerte topper til (hkl)-verdier, en prosess som kalles indeksering, er et grunnleggende trinn i identifiseringen av en ukjent krystallstruktur.

Materialvitenskap. Ulike krystallplan viser ulike atomarrangementer, og har derfor ulik overflateenergi, ulike reaksjonshastigheter for kjemiske reaksjoner og ulike roller i hvordan et metall deformeres. I flatesentrerte kubiske metaller som aluminium glir atomplan lettest forbi hverandre langs {111}-plan. Silisiumskiver for databrikker skjæres vanligvis langs (100)- eller (111)-planet, fordi valget påvirker hvordan senere produksjonstrinn forløper.

Mineralogi. Både de plane flatene på en naturlig krystall og retningene der et mineral deler seg rent (kløvningen), tilsvarer bestemte plan med lave indekser. Halitt (bordsalt) kløyves langs {100}-plan, og flusspat kløyves langs {111}-plan.

Miller-Bravais-indekser for heksagonale krystaller

Heksagonale krystaller, som magnesium, sink og titan, beskrives vanligvis med et system med fire indekser (hkil) i stedet for tre. Den ekstra indeksen i er ikke uavhengig; den er alltid i = -(h+k). Denne formen gjør det lettere å se at to plan tilhører samme symmetri-ekvivalente familie, noe som ikke alltid er tydelig ut fra Millers treindeksnotasjon alene i et heksagonalt gitter.

Historikk

Miller-indeksene ble innført av William Hallowes Miller i boken A Treatise on Crystallography fra 1839. Det fantes allerede tidligere systemer for merking av krystallflater, men Millers metode med å bruke de resiproke verdiene av skjæringspunktene gjorde plan som er parallelle med en akse, enklere å håndtere, siden skjæringspunktet er uendelig og den resiproke verdien ganske enkelt er 0. Etter at Max von Laue oppdaget røntgendiffraksjon i krystaller i 1912, viste William Henry Bragg og William Lawrence Bragg at Miller-indeksene beskriver nøyaktig planene som er ansvarlige for diffraksjonstopper, et arbeid som de delte 1915 Nobelprisen i fysikk for.

Ofte stilte spørsmål

Hva brukes Miller-indekser til? De identifiserer bestemte plan i et krystallgitter. De brukes til å indeksere topper i røntgen- og elektrondiffraksjon, beskrive glideplan i metaller, angi orienteringen til halvlederskiver og merke flatene og kløvningen til mineraler.

Hva betyr en null i en Miller-indeks? Det betyr at planet er parallelt med den aksen og aldri krysser den. For eksempel er (201) parallelt med y-aksen.

Hva betyr negative Miller-indekser? De betyr at planet krysser aksen på den negative siden av origo. En negativ indeks skrives med en strek over tallet, som i (2̄11), eller med et minustegn, som i (-2,1,1).

Hvorfor kan ikke et plan gjennom origo ha Miller-indekser? Miller-indekser kommer fra den resiproke verdien av et skjæringspunkt. Et plan gjennom origo skjærer hver akse ved 0, og 1/0 er udefinert, så metoden kan ikke tildele indekser med mindre planet flyttes.

Hva er forskjellen mellom Miller- og Miller-Bravais-indekser? Miller-indekser (hkl) bruker tre tall og fungerer for alle krystallsystemer. Miller-Bravais-indekser (hkil) legger til en fjerde, avhengig indeks og brukes hovedsakelig for heksagonale krystaller, der de gjør det lettere å gjenkjenne symmetri-ekvivalente plan.

Hvordan henger planavstanden sammen med Miller-indeksene? I en kubisk krystall med kantlengde a er avstanden mellom nærliggende (hkl)-plan d = a / √(h² + k² + l²). Plan med høyere indekser ligger tettere. Andre krystallsystemer bruker en tilsvarende, men mer komplisert formel som tar hensyn til ulike akselengder og ikke-90° vinkler.

Referanser

1. Miller, W. H. (1839). A Treatise on Crystallography. Cambridge: J. & J. J. Deighton.
2. Ashcroft, N. W., & Mermin, N. D. (1976). Solid State Physics. Holt, Rinehart and Winston.
3. Hammond, C. (2015). The Basics of Crystallography and Diffraction (4. utg.). Oxford University Press.
4. Cullity, B. D., & Stock, S. R. (2014). Elements of X-ray Diffraction (3. utg.). Pearson Education.
5. International Union of Crystallography. (2016). International Tables for Crystallography, Volume A: Space-group symmetry. Wiley.