Безкоштовний онлайн-калькулятор ентропії - Розрахуйте ентропію Шеннона для аналізу даних

Що таке калькулятор ентропії?

Калькулятор ентропії - це потужний інструмент для аналізу даних, який вимірює інформаційний вміст та невизначеність у ваших наборах даних, використовуючи формулу ентропії Шеннона. Наш безкоштовний онлайн-калькулятор ентропії допомагає науковцям, дослідникам та студентам швидко обчислювати значення ентропії, щоб зрозуміти випадковість даних та щільність інформації за лічені секунди.

Ентропія - це фундаментальне поняття в теорії інформації, яке кількісно оцінює кількість невизначеності або випадковості в системі або наборі даних. Спочатку розроблена Клодом Шенноном у 1948 році, ентропія стала важливою метрикою в різних галузях, включаючи науку про дані, машинне навчання, криптографію та комунікації. Цей калькулятор ентропії надає миттєві результати з детальними покроковими розрахунками та графіками візуалізації.

У теорії інформації ентропія вимірює, скільки інформації міститься в повідомленні або наборі даних. Вища ентропія вказує на більшу невизначеність і більший вміст інформації, тоді як нижча ентропія свідчить про більшу передбачуваність і менший вміст інформації. Калькулятор ентропії дозволяє вам швидко обчислити цю важливу метрику, просто ввівши свої значення даних.

Пояснення формули ентропії Шеннона

Формула ентропії Шеннона є основою теорії інформації і використовується для обчислення ентропії дискретної випадкової змінної. Для випадкової змінної X з можливими значеннями {x₁, x₂, ..., xₙ} та відповідними ймовірностями {p(x₁), p(x₂), ..., p(xₙ)} ентропія H(X) визначається як:

$H(X) = -\sum_{i=1}^{n} p(x_i) \log_2 p(x_i)$

Де:

• H(X) - це ентропія випадкової змінної X, вимірюється в бітах (при використанні логарифма з основою 2)
• p(xᵢ) - це ймовірність появи значення xᵢ
• log₂ - це логарифм з основою 2
• Сума береться по всіх можливих значеннях X

Значення ентропії завжди невід'ємне, при цьому H(X) = 0 відбувається лише тоді, коли немає невизначеності (тобто один результат має ймовірність 1, а всі інші - ймовірність 0).

Одиниці ентропії

Одиниця ентропії залежить від основи логарифма, використаного в розрахунку:

• При використанні логарифма з основою 2 ентропія вимірюється в бітах (найпоширеніше в теорії інформації)
• При використанні натурального логарифма (основа e) ентропія вимірюється в натах
• При використанні логарифма з основою 10 ентропія вимірюється в хартлі або дитах

Наш калькулятор за замовчуванням використовує логарифм з основою 2, тому ентропія виражається в бітах.

Властивості ентропії

1. Невід'ємність: Ентропія завжди більша або дорівнює нулю. $H(X) \geq 0$

2. Максимальне значення: Для дискретної випадкової змінної з n можливими значеннями ентропія максимізується, коли всі результати однаково ймовірні (однорідний розподіл). $H(X)_{max} = \log_2(n)$

3. Адитивність: Для незалежних випадкових змінних X та Y спільна ентропія дорівнює сумі індивідуальних ентропій. $H(X,Y) = H(X) + H(Y)$

4. Умовлення зменшує ентропію: Умовна ентропія X за умови Y менша або дорівнює ентропії X. $H(X|Y) \leq H(X)$

Як користуватися калькулятором ентропії - покрокова інструкція

Наш калькулятор ентропії розроблений так, щоб бути простим і зручним для користувачів. Дотримуйтесь цих простих кроків, щоб обчислити ентропію вашого набору даних миттєво:

1. Введіть свої дані: Введіть свої числові значення в текстовій області. Ви можете розділити значення, використовуючи пробіли або коми, залежно від вибраного формату.

2. Виберіть формат даних: Виберіть, чи ваші дані розділені пробілами або комами, використовуючи радіокнопки.

3. Перегляньте результати: Калькулятор автоматично обробляє ваш ввід і відображає значення ентропії в бітах.

4. Перегляньте кроки розрахунку: Ознайомтеся з детальними кроками розрахунку, які показують, як була обчислена ентропія, включаючи частотний розподіл та ймовірнісні розрахунки.

5. Візуалізуйте розподіл даних: Спостерігайте за графіком частотного розподілу, щоб краще зрозуміти розподіл ваших значень даних.

6. Скопіюйте результати: Використовуйте кнопку копіювання, щоб легко скопіювати значення ентропії для використання в звітах або подальшому аналізі.

Вимоги до вводу

• Калькулятор приймає лише числові значення
• Значення можуть бути цілими або дробовими числами
• Підтримуються від'ємні числа
• Ввід може бути розділений пробілами (наприклад, "1 2 3 4") або комами (наприклад, "1,2,3,4")
• Немає строгого обмеження на кількість значень, але дуже великі набори даних можуть вплинути на продуктивність

Інтерпретація результатів

Значення ентропії надає уявлення про випадковість або інформаційний вміст ваших даних:

• Висока ентропія (близька до log₂(n), де n - кількість унікальних значень): Вказує на високу випадковість або невизначеність у даних. Розподіл близький до однорідного.
• Низька ентропія (близька до 0): Свідчить про низьку випадковість або високу передбачуваність. Розподіл сильно схиляється до певних значень.
• Нульова ентропія: Відбувається, коли всі значення в наборі даних ідентичні, що вказує на відсутність невизначеності.

Приклади калькулятора ентропії з покроковими рішеннями

Давайте розглянемо кілька прикладів, щоб продемонструвати, як обчислюється ентропія і що означають результати:

Приклад 1: Однорідний розподіл

Розглянемо набір даних з чотирьох однаково ймовірних значень: [1, 2, 3, 4]

Кожне значення з'являється рівно один раз, тому ймовірність кожного значення становить 0.25.

Розрахунок ентропії: $H(X) = -\sum p(x_i) \log_2 p(x_i)$ $H(X) = -(4 \times 0.25 \times \log_2(0.25))$ $H(X) = -(4 \times 0.25 \times (-2))$ $H(X) = 2 \text{ біти}$

Це максимальна можлива ентропія для розподілу з 4 унікальними значеннями, що підтверджує, що однорідний розподіл максимізує ентропію.

Приклад 2: Схилений розподіл

Розглянемо набір даних: [1, 1, 1, 2, 3]

Частотний розподіл:

• Значення 1: 3 появи (ймовірність = 3/5 = 0.6)
• Значення 2: 1 поява (ймовірність = 1/5 = 0.2)
• Значення 3: 1 поява (ймовірність = 1/5 = 0.2)

Розрахунок ентропії: $H(X) = -\sum p(x_i) \log_2 p(x_i)$ $H(X) = -(0.6 \times \log_2(0.6) + 0.2 \times \log_2(0.2) + 0.2 \times \log_2(0.2))$ $H(X) = -(0.6 \times (-0.737) + 0.2 \times (-2.322) + 0.2 \times (-2.322))$ $H(X) = -((-0.442) + (-0.464) + (-0.464))$ $H(X) = 1.371 \text{ біти}$

Ця ентропія нижча за максимальну можливу ентропію для 3 унікальних значень (log₂(3) ≈ 1.585 біти), що відображає схилення в розподілі.

Приклад 3: Без невизначеності

Розглянемо набір даних, де всі значення однакові: [5, 5, 5, 5, 5]

Є лише одне унікальне значення з ймовірністю 1.

Розрахунок ентропії: $H(X) = -\sum p(x_i) \log_2 p(x_i)$ $H(X) = -(1 \times \log_2(1))$ $H(X) = -(1 \times 0)$ $H(X) = 0 \text{ біти}$

Ентропія дорівнює нулю, що вказує на відсутність невизначеності або випадковості в даних.

Приклади коду для розрахунку ентропії

Ось реалізації розрахунку ентропії на різних мовах програмування:

1import numpy as np
2from collections import Counter
3
4def calculate_entropy(data):
5    """Обчислити ентропію Шеннона набору даних в бітах."""
6    if not data:
7        return 0
8    
9    # Підрахунок появ кожного значення
10    counter = Counter(data)
11    frequencies = np.array(list(counter.values()))
12    probabilities = frequencies / len(data)
13    
14    # Обчислення ентропії (обробка 0 ймовірностей)
15    non_zero_probs = probabilities[probabilities > 0]
16    entropy = -np.sum(non_zero_probs * np.log2(non_zero_probs))
17    
18    return entropy
19
20# Приклад використання
21data = [1, 2, 3, 1, 2, 1]
22entropy = calculate_entropy(data)
23print(f"Ентропія: {entropy:.4f} біти")
24

1function calculateEntropy(data) {
2  if (!data || data.length === 0) return 0;
3  
4  // Підрахунок появ кожного значення
5  const counts = {};
6  data.forEach(value => {
7    counts[value] = (counts[value] || 0) + 1;
8  });
9  
10  // Обчислення ймовірностей та ентропії
11  const totalCount = data.length;
12  let entropy = 0;
13  
14  Object.values(counts).forEach(count => {
15    const probability = count / totalCount;
16    entropy -= probability * Math.log2(probability);
17  });
18  
19  return entropy;
20}
21
22// Приклад використання
23const data = [1, 2, 3, 1, 2, 1];
24const entropy = calculateEntropy(data);
25console.log(`Ентропія: ${entropy.toFixed(4)} біти`);
26

1import java.util.HashMap;
2import java.util.Map;
3
4public class EntropyCalculator {
5    public static double calculateEntropy(double[] data) {
6        if (data == null || data.length == 0) return 0;
7        
8        // Підрахунок появ кожного значення
9        Map<Double, Integer> counts = new HashMap<>();
10        for (double value : data) {
11            counts.put(value, counts.getOrDefault(value, 0) + 1);
12        }
13        
14        // Обчислення ймовірностей та ентропії
15        double totalCount = data.length;
16        double entropy = 0;
17        
18        for (int count : counts.values()) {
19            double probability = count / totalCount;
20            entropy -= probability * (Math.log(probability) / Math.log(2));
21        }
22        
23        return entropy;
24    }
25    
26    public static void main(String[] args) {
27        double[] data = {1, 2, 3, 1, 2, 1};
28        double entropy = calculateEntropy(data);
29        System.out.printf("Ентропія: %.4f біти%n", entropy);
30    }
31}
32

1Function CalculateEntropy(rng As Range) As Double
2    Dim dict As Object
3    Dim cell As Range
4    Dim totalCount As Long
5    Dim probability As Double
6    Dim entropy As Double
7    
8    ' Створення словника для підрахунку появ
9    Set dict = CreateObject("Scripting.Dictionary")
10    
11    ' Підрахунок значень
12    totalCount = 0
13    For Each cell In rng
14        If Not IsEmpty(cell) Then
15            If dict.Exists(cell.Value) Then
16                dict(cell.Value) = dict(cell.Value) + 1
17            Else
18                dict(cell.Value) = 1
19            End If
20            totalCount = totalCount + 1
21        End If
22    Next cell
23    
24    ' Обчислення ентропії
25    entropy = 0
26    For Each key In dict.Keys
27        probability = dict(key) / totalCount
28        entropy = entropy - probability * Log(probability) / Log(2)
29    Next key
30    
31    CalculateEntropy = entropy
32End Function
33
34' Використання в Excel: =CalculateEntropy(A1:A10)
35

1calculate_entropy <- function(data) {
2  if (length(data) == 0) return(0)
3  
4  # Підрахунок появ
5  counts <- table(data)
6  
7  # Обчислення ймовірностей
8  probabilities <- counts / length(data)
9  
10  # Обчислення ентропії
11  entropy <- -sum(probabilities * log2(probabilities))
12  
13  return(entropy)
14}
15
16# Приклад використання
17data <- c(1, 2, 3, 1, 2, 1)
18entropy <- calculate_entropy(data)
19cat(sprintf("Ентропія: %.4f біти\n", entropy))
20

1#include <iostream>
2#include <vector>
3#include <unordered_map>
4#include <cmath>
5
6double calculateEntropy(const std::vector<double>& data) {
7    if (data.empty()) return 0.0;
8    
9    // Підрахунок появ кожного значення
10    std::unordered_map<double, int> counts;
11    for (double value : data) {
12        counts[value]++;
13    }
14    
15    // Обчислення ймовірностей та ентропії
16    double totalCount = data.size();
17    double entropy = 0.0;
18    
19    for (const auto& pair : counts) {
20        double probability = pair.second / totalCount;
21        entropy -= probability * std::log2(probability);
22    }
23    
24    return entropy;
25}
26
27int main() {
28    std::vector<double> data = {1, 2, 3, 1, 2, 1};
29    double entropy = calculateEntropy(data);
30    std::cout << "Ентропія: " << std::fixed << std::setprecision(4) << entropy << " біти" << std::endl;
31    
32    return 0;
33}
34

Реальні застосування розрахунку ентропії

Розрахунок ентропії має численні застосування в різних галузях, що робить цей каль