Kalkulator Łuku - Oblicz Promień, Rozpiętość i Wzniesienie

Czym jest kalkulator łuku?

Kalkulator łuku wyznacza wymiary łuku kołowego — jego promień, rozpiętość i strzałkę — na podstawie dowolnych dwóch z tych wartości. Oblicza także długość łuku i pole powierzchni łuku. Architekci, budowniczowie i majsterkowicze używają go do planowania otworów drzwiowych, okien, mostów i elementów ogrodowych o zakrzywionym kształcie.

Najważniejsze wymiary łuku

Łuk kołowy jest fragmentem wyciętym z obwodu koła. Jego kształt opisuje pięć pomiarów:

• Promień: odległość od środka tego koła do dowolnego punktu krzywej łuku.
• Rozpiętość: prosta odległość w poziomie między dwoma dolnymi końcami łuku, nazywana także szerokością.
• Strzałka łuku: odległość w pionie od linii nasadowej (poziomej linii łączącej oba końce) do najwyższego punktu łuku.
• Długość łuku: odległość mierzona wzdłuż zakrzywionej linii łuku, od jednego końca do drugiego.
• Pole powierzchni łuku: pole zakrzywionego obszaru ograniczonego łukiem i linią podporową.

Wzory na wymiary łuku

Wzory te dotyczą łuku kołowego, czyli łuku utworzonego z fragmentu jednego koła. Obowiązują dla dowolnej strzałki do wartości równej dwukrotności promienia. Zakres ten obejmuje łuki drzwiowe, okienne i mostowe, które najczęściej się oblicza, a także łuki podkowiaste, w których krzywa biegnie dalej niż przez pół okręgu.

Wzór na strzałkę (na podstawie promienia i rozpiętości)

$\text{Wznios} = \text{Promień} - \sqrt{\text{Promień}^2 - \left(\frac{\text{Rozpiętość}}{2}\right)^2}$

Obowiązuje, gdy promień i rozpiętość są dodatnie oraz rozpiętość ≤ 2 × promień.

Wzór na promień (na podstawie rozpiętości i strzałki)

$\text{Promień} = \frac{\text{Rozpiętość}^2}{8 \times \text{Wznios}} + \frac{\text{Wznios}}{2}$

Obowiązuje, gdy rozpiętość i strzałka są dodatnie.

Wzór na rozpiętość (na podstawie promienia i strzałki)

$\text{Rozpiętość} = 2 \times \sqrt{2 \times \text{Promień} \times \text{Wznios} - \text{Wznios}^2}$

Obowiązuje, gdy promień i strzałka są dodatnie oraz strzałka ≤ 2 × promień.

Wzór na długość łuku

$\text{Długość łuku} = \text{Promień} \times \theta$

θ (theta) oznacza kąt środkowy, wyrażony w radianach, który krzywa łuku zakreśla w środku koła. Gdy strzałka nie jest większa od promienia, łuk obejmuje co najwyżej pół okręgu, a θ wynosi:

$\theta = 2 \times \arcsin\left(\frac{\text{Rozpiętość}}{2 \times \text{Promień}}\right)$

Gdy strzałka jest większa od promienia, łuk obejmuje więcej niż pół okręgu, a θ wyznacza pozostałą część okręgu:

$\theta = 2\pi - 2 \times \arcsin\left(\frac{\text{Rozpiętość}}{2 \times \text{Promień}}\right)$

Kalkulator obejmuje oba przypadki w jednym kroku: θ = 2 × atan2(Rozpiętość ÷ 2, Promień − Strzałka), co zachowuje dokładność także dla półokręgu.

Wzór na pole powierzchni łuku

$\text{Pole powierzchni łuku} = \frac{1}{2} \times \text{Promień}^2 \times \theta - \frac{1}{2} \times \text{Rozpiętość} \times (\text{Promień} - \text{Wznios})$

Jak korzystać z kalkulatora łuku

Kalkulator oferuje trzy tryby, po jednym dla każdego wymiaru, którego może brakować.

Oblicz strzałkę, gdy znane są promień i rozpiętość: wprowadź promień i rozpiętość. Narzędzie zwróci strzałkę, długość łuku i pole powierzchni łuku.

Oblicz promień, gdy znane są rozpiętość i strzałka: wprowadź rozpiętość i strzałkę. Narzędzie zwróci promień, długość łuku i pole powierzchni łuku.

Oblicz rozpiętość, gdy znane są promień i strzałka: wprowadź promień i strzałkę. Narzędzie zwróci rozpiętość, długość łuku i pole powierzchni łuku.

Kalkulator odrzuca dane, które nie mogą utworzyć rzeczywistego łuku. Rozpiętość nie może przekraczać dwukrotności promienia, strzałka nie może przekraczać dwukrotności promienia, a każdy wymiar musi być liczbą dodatnią. Gdy wartość narusza jedną z tych zasad, wyświetlany jest komunikat o błędzie.

Przykład obliczeniowy

Przykład 1: łuk nad wejściem

Łuk nad wejściem ma rozpiętość 36 cali (91,4 cm) i strzałkę 12 cali (30,5 cm).

Promień = (36² ÷ (8 × 12)) + (12 ÷ 2) = (1296 ÷ 96) + 6 = 13,5 + 6 = 19,5 cala (49,5 cm)

θ = 2 × arcsin(18 ÷ 19,5) = 2 × arcsin(0,9231) = 2 × 1,176 = 2,352 radiana

Długość łuku = 19,5 × 2,352 = 45,86 cala (116 cm)

Pole powierzchni łuku = (0,5 × 19,5² × 2,352) − (0,5 × 36 × (19,5 − 12)) = 447,18 − 135 = 312,18 cali kwadratowych (2010 cm²)

Przykład 2: łuk ogrodowy

Łuk ogrodowy ma promień 4 stóp (1,2 m) i rozpiętość 6 stóp (1,8 m).

Strzałka = 4 − √(4² − (6 ÷ 2)²) = 4 − √(16 − 9) = 4 − 2,6458 = 1,35 stopy (0,411 m)

θ = 2 × arcsin(3 ÷ 4) = 2 × arcsin(0,75) = 2 × 0,848 = 1,696 radiana

Długość łuku = 4 × 1,696 = 6,78 stopy (2,07 m)

Pole powierzchni łuku = (0,5 × 4² × 1,696) − (0,5 × 6 × (4 − 1,3542)) = 13,57 − 7,94 = 5,63 stopy kwadratowej (0,523 m²)

Przykład 3: łuk mostowy

Łuk mostowy ma rozpiętość 50 stóp (15 m) i strzałkę 15 stóp (4,57 m).

Promień = (50² ÷ (8 × 15)) + (15 ÷ 2) = (2500 ÷ 120) + 7,5 = 20,83 + 7,5 = 28,33 stopy (8,63 m)

θ = 2 × arcsin(25 ÷ 28,33) = 2 × arcsin(0,8824) = 2 × 1,081 = 2,162 radiana

Długość łuku = 28,33 × 2,162 = 61,25 stopy (18,7 m)

Pole powierzchni łuku = (0,5 × 28,33² × 2,162) − (0,5 × 50 × (28,33 − 15)) = 867,67 − 333,33 = 534,34 stopy kwadratowej (49,6 m²)

Typowe zastosowania obliczeń łuków

Budowniczowie używają wymiarów łuku do wycinania szalunków dla łuków betonowych, przygotowywania szablonów z cegieł lub kamienia dla łuków murowanych oraz planowania krzywizny sklepień. Projektanci mostów wykorzystują rozpiętość, strzałkę i promień, aby równoważyć rozkład obciążenia z wymaganym prześwitem. Prace renowacyjne opierają się na tych samych wzorach, by odtworzyć dokładną geometrię zabytkowego łuku podczas jego naprawy lub odbudowy. Ogrodnicy i majsterkowicze wykorzystują je przy projektowaniu łukowych trejaży, furtek i ozdobnych otworów.

Ten kalkulator obejmuje wyłącznie łuki kołowe, utworzone z łuku jednego koła. Łuki eliptyczne, paraboliczne, gotyckie i łańcuchowe opierają się na innych krzywych i wymagają innych wzorów.

Krótka historia łuku

Budowniczowie w starożytnej Mezopotamii stosowali wczesne formy przypominające łuki już około 2500 roku p.n.e., choć większość z nich powstawała metodą wspornikową — przez układanie kamieni tak, aby każda warstwa wystawała poza warstwę poniżej — a nie jako prawdziwy łuk krzywoliniowy. Rzymianie rozwinęli łuk półkolisty w standardową metodę budowlaną, stosując go w akweduktach, mostach i budynkach takich jak Koloseum. Średniowieczni budowniczowie w Europie opracowali ostrołuk gotycki, który umożliwiał wznoszenie wyższych i lżejszych konstrukcji. Późniejsi architekci powrócili do form półkolistych opartych na precyzyjnych proporcjach, a współczesne materiały, takie jak stal i żelbet, pozwalają obecnie łukom pokonywać znacznie większe odległości.

Często zadawane pytania

Jaka jest różnica między strzałką a wysokością łuku?

Strzałka to odległość w pionie od linii nasadowej do wierzchołka krzywej łuku. Wysokość może czasem oznaczać całkowitą wysokość otworu, w tym wysokość prostej ściany poniżej linii podporowej.

Czy ten kalkulator działa dla wszystkich typów łuków?

Nie. Działa wyłącznie dla łuków kołowych, ukształtowanych jak fragment koła. Łuki eliptyczne, paraboliczne, gotyckie i łańcuchowe mają inne krzywe i wymagają odrębnych wzorów.

Jaki jest związek między rozpiętością a promieniem w łuku półkolistym?

W łuku półkolistym promień jest równy połowie rozpiętości, a strzałka jest równa promieniowi. Łuk tworzy dokładnie połowę koła.

Dlaczego rozpiętość nie może być większa niż dwukrotność promienia?

Rozpiętość równa dwukrotności promienia tworzy już półokrąg, czyli najszerszy możliwy łuk dla tego promienia. Większa rozpiętość nie zmieściłaby się w ogóle na kole.

Dlaczego strzałka nie może być większa niż dwukrotność promienia (w trybie obliczania rozpiętości)?

Strzałkę mierzy się od linii nasadowej do najwyższego punktu łuku na tym samym kole. Dwukrotność promienia odpowiada pełnej wysokości tego koła, więc większa strzałka umieściłaby wierzchołek łuku całkowicie poza kołem. Strzałka między promieniem a jego dwukrotnością jest dopuszczalna. Łuk obejmuje wtedy więcej niż pół okręgu, tworząc kształt stosowany w łukach podkowiastych.

Jakich jednostek używa kalkulator?

Można użyć dowolnej spójnej jednostki — cali, stóp, metrów lub centymetrów. Każdą wartość należy wprowadzić w tej samej jednostce, a wyniki będą podane w tej jednostce, przy czym pole powierzchni będzie wyrażone w jednostkach kwadratowych.