Kalkulator liczb względnie pierwszych

Liczby względnie pierwsze to dwie lub więcej liczb całkowitych, których jedynym wspólnym dodatnim dzielnikiem jest 1. Ten kalkulator sprawdza, czy wprowadzone liczby są względnie pierwsze, obliczając ich największy wspólny dzielnik (NWD). Jeśli NWD wynosi 1, liczby są względnie pierwsze.

Liczby względnie pierwsze nazywa się także liczbami pierwszymi względem siebie.

Co oznacza względna pierwszość?

Dwie liczby całkowite są względnie pierwsze, gdy żadna liczba całkowita większa od 1 nie dzieli obu z nich. Same liczby nie muszą być liczbami pierwszymi. Na przykład 8 i 15 są względnie pierwsze: dzielnikami liczby 8 są 1, 2, 4 i 8, a dzielnikami liczby 15 są 1, 3, 5 i 15. Jedynym wspólnym dzielnikiem jest 1, więc są względnie pierwsze.

Natomiast 12 i 18 nie są względnie pierwsze. Obie liczby można podzielić przez 2, 3 i 6, więc ich największy wspólny dzielnik wynosi 6.

Jak sprawdzić, czy liczby są względnie pierwsze

1. Znajdź największy wspólny dzielnik (NWD) wszystkich liczb. NWD to największa liczba całkowita, która dzieli każdą z liczb bez reszty.
2. Porównaj NWD z 1. Jeśli NWD jest równy 1, liczby są względnie pierwsze. Jeśli NWD jest większy od 1, nie są względnie pierwsze.

NWD grupy liczb znajduje się, stosując algorytm Euklidesa do dwóch liczb naraz: NWD trzech liczb a, b i c to GCD(GCD(a, b), c).

Wzór na względną pierwszość

Liczby a₁, a₂, …, aₙ są względnie pierwsze, gdy:

GCD(a₁, a₂, …, aₙ) = 1

Przykład

Sprawdź, czy liczby 6, 10 i 15 są względnie pierwsze.

• GCD(6, 10) = 2
• GCD(2, 15) = 1

Największy wspólny dzielnik wszystkich trzech liczb wynosi 1, więc 6, 10 i 15 są względnie pierwsze jako zbiór.

Warto zauważyć, że te trzy liczby nie są parami względnie pierwsze. 6 i 10 mają wspólny czynnik 2, 6 i 15 mają wspólny czynnik 3, a 10 i 15 mają wspólny czynnik 5. Względna pierwszość zbioru (NWD wszystkich liczb razem wynosi 1) to słabszy warunek niż parowa względna pierwszość (każda para ma NWD równy 1). Ten kalkulator podaje oba wyniki.

Parowa względna pierwszość a względna pierwszość zbioru

Grupa liczb jest względnie pierwsza jako zbiór, gdy NWD całej grupy wynosi 1. Jest parami względnie pierwsza, gdy każda możliwa para w grupie ma NWD równy 1. Liczby parami względnie pierwsze są zawsze względnie pierwsze jako zbiór, ale odwrotna zależność nie zawsze jest prawdziwa, co pokazuje powyższy przykład.

Najczęściej zadawane pytania

Czy 1 i dowolna liczba są względnie pierwsze?

Tak. Liczba 1 nie ma z żadną liczbą całkowitą wspólnego dzielnika większego od 1, więc 1 jest względnie pierwsza z każdą liczbą całkowitą, także z samą sobą.

Czy liczby względnie pierwsze muszą być liczbami pierwszymi?

Nie. Liczby względnie pierwsze mogą być liczbami złożonymi. Zarówno 8, jak i 15 są liczbami złożonymi, a mimo to są względnie pierwsze, ponieważ nie mają wspólnego dzielnika innego niż 1.

Czy dwie różne liczby pierwsze są zawsze względnie pierwsze?

Tak. Dwie różne liczby pierwsze nie mają wspólnego dzielnika oprócz 1, więc dowolne dwie różne liczby pierwsze są względnie pierwsze.

Czy liczby ujemne mogą być względnie pierwsze?

Względną pierwszość zwykle definiuje się dla dodatnich liczb całkowitych. Ten kalkulator przyjmuje wyłącznie dodatnie liczby całkowite równe 1 lub większe.

Jaka jest różnica między NWD a względną pierwszością?

NWD to największa liczba, która dzieli wszystkie wprowadzone liczby. „Względnie pierwsze” to szczególny przypadek, gdy ten NWD wynosi 1.