Kalkulator Wykresu Pudełkowego - Darmowy Generator Wykresu Pudełkowego

Czym jest wykres pudełkowy?

Wykres pudełkowy, nazywany także wykresem pudełko-wąsy, to wykres podsumowujący zbiór liczb za pomocą pięciu wartości: minimum, pierwszego kwartyla, mediany, trzeciego kwartyla i maksimum. Pokazuje, gdzie znajduje się większość danych, oraz wskazuje nietypowe wartości, zwane obserwacjami odstającymi, bez wypisywania każdego punktu danych.

Wykresy pudełkowe są często używane w statystyce, nauce i raportach biznesowych, ponieważ pozwalają na pierwszy rzut oka porównywać kilka grup liczb.

Podsumowanie pięcioliczbowe

Wykres pudełkowy tworzy się na podstawie pięciu liczb obliczonych po uporządkowaniu danych od najmniejszej do największej.

• Minimum: najmniejsza wartość, która nie jest obserwacją odstającą. Ten kalkulator oznacza ją jako „Minimum (z wyłączeniem obserwacji odstających)”.
• Pierwszy kwartyl (Q1): wartość, poniżej której znajduje się około jedna czwarta danych.
• Mediana (Q2): środkowa wartość zbioru danych.
• Trzeci kwartyl (Q3): wartość, poniżej której znajduje się około trzy czwarte danych.
• Maksimum: największa wartość, która nie jest obserwacją odstającą. Ten kalkulator oznacza ją jako „Maksimum (z wyłączeniem obserwacji odstających)”.

Gdy zbiór danych nie zawiera obserwacji odstających, te dwie wartości są po prostu najmniejszą i największą wprowadzoną liczbą. Jeśli obserwacje odstające występują, końce wąsów wyznaczają odpowiednio te wartości, a najmniejsza lub największa wprowadzona liczba jest pokazywana osobno na liście obserwacji odstających.

Pudełko na wykresie rozciąga się od Q1 do Q3. Linia wewnątrz pudełka oznacza medianę. Cienkie linie zwane wąsami wychodzą z pudełka w kierunku minimum i maksimum. Obserwacje odstające są rysowane jako osobne punkty poza wąsami.

Wzór na wykres pudełkowy

Dla zbioru danych uporządkowanego rosnąco, zawierającego n wartości:

Mediana. Przy nieparzystej liczbie wartości mediana jest wartością środkową:

$M = x_{(n+1)/2}$

Przy parzystej liczbie wartości jest średnią dwóch środkowych wartości:

$M = \dfrac{x_{n/2} + x_{n/2+1}}{2}$

gdzie M oznacza medianę, a x z numerem pozycji oznacza wartość znajdującą się na tej pozycji w uporządkowanych danych.

Kwartyle. Uporządkuj dane na dolną i górną połowę. Jeśli n jest nieparzyste, pomiń samą medianę w obu połowach. Następnie:

$Q_1 = M_l, \qquad Q_3 = M_u$

gdzie $M_l$ oznacza medianę dolnej połowy, a $M_u$ medianę górnej połowy.

Metoda ta jest często nazywana metodą wyłączną. Istnieją także inne metody, które mogą dawać nieco inne wartości Q1 i Q3 dla małych zbiorów danych, ale ten kalkulator stosuje metodę wyłączną.

Rozstęp międzykwartylowy (IQR)

$IQR = Q_3 - Q_1$

Granice i wąsy. Granice wyznaczają obszar, poza którym znajdują się obserwacje odstające:

$F_l = Q_1 - 1.5 \times IQR, \qquad F_u = Q_3 + 1.5 \times IQR$

gdzie $F_l$ oznacza dolną granicę, a $F_u$ górną granicę.

Wąs nie kończy się dokładnie na granicy. Kończy się na najbardziej oddalonej wartości danych, która nadal znajduje się wewnątrz granic:

$W_l = \min\{x_i : x_i \geq F_l\}, \qquad W_u = \max\{x_i : x_i \leq F_u\}$

gdzie $W_l$ oznacza dolny wąs, a $W_u$ górny wąs.

Obserwacje odstające. Każda wartość poniżej dolnej granicy lub powyżej górnej granicy jest obserwacją odstającą i jest przedstawiana jako osobny punkt, a nie jako część wąsa.

Jak obliczyć wykres pudełkowy krok po kroku

1. Uporządkuj dane od najmniejszej do największej wartości.
2. Znajdź medianę. Przy nieparzystej liczbie wartości jest nią wartość środkowa. Przy parzystej liczbie wartości jest ona średnią dwóch środkowych wartości.
3. Znajdź Q1: medianę dolnej połowy danych (przy nieparzystej liczbie wartości pomija się samą medianę).
4. Znajdź Q3: medianę górnej połowy danych, stosując tę samą zasadę.
5. Oblicz IQR jako różnicę Q3 minus Q1.
6. Oblicz dolną i górną granicę, mnożąc IQR przez 1,5.
7. Oznacz każdą wartość znajdującą się poza granicami jako obserwację odstającą.
8. Ustaw wąsy na najmniejszej i największej wartości, które pozostają wewnątrz granic.

Przykład obliczeniowy

Rozważmy zbiór danych zawierający 11 wartości: 6, 7, 15, 36, 39, 40, 41, 42, 43, 47, 49. Dane są już uporządkowane.

Przy 11 wartościach (liczba nieparzysta) mediana jest 6. wartością: 40.

Dolna połowa to 6, 7, 15, 36, 39 (pięć wartości, mediana pominięta). Jej medianą jest wartość środkowa: Q1 = 15.

Górna połowa to 41, 42, 43, 47, 49. Jej medianą jest wartość środkowa: Q3 = 43.

IQR = 43 − 15 = 28.

Dolna granica = 15 − 1,5 × 28 = −27. Górna granica = 43 + 1,5 × 28 = 85. Wszystkie wartości w zbiorze danych znajdują się między −27 a 85, więc nie ma obserwacji odstających, a wąsy sięgają rzeczywistego minimum i maksimum: min = 6, max = 49.

Teraz porównajmy zbiór danych z obserwacją odstającą: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 50. W tym przypadku Q1 = 3,5, Q3 = 9,5, a IQR = 6, co daje górną granicę 9,5 + 1,5 × 6 = 18,5. Wartość 50 znajduje się powyżej tej granicy, więc jest przedstawiana jako obserwacja odstająca, a górny wąs kończy się na 11, czyli największej wartości nadal mieszczącej się w granicy, zamiast na 50.

Jak odczytywać wykres pudełkowy

Pudełko obejmuje środkowe 50% danych, więc szerokie pudełko oznacza duże rozproszenie środkowej części danych, a wąskie pudełko — jej ścisłe skupienie. Jeśli linia mediany znajduje się bliżej jednej krawędzi pudełka, dane są przechylone, czyli skośne, w stronę dłuższej części. Wąs znacznie dłuższy od drugiego sugeruje, że dane bardziej rozciągają się po tej stronie. Punkty poza wąsami są obserwacjami odstającymi i często wymagają bliższego zbadania, ponieważ mogą oznaczać rzeczywiście skrajne wartości albo błędy w danych.

Typowe zastosowania

Wykresy pudełkowe służą do porównywania grup obok siebie, na przykład wyników testów w kilku klasach, czasów dostaw u dwóch dostawców lub pomiarów z eksperymentu z grupą kontrolną. Ponieważ wykres pudełkowy sprowadza cały rozkład do pięciu liczb, kilka takich wykresów można umieścić na jednym wykresie, co ułatwia porównywanie rozproszenia i typowych wartości między grupami bardziej niż tabela surowych liczb.

Wykresy pudełkowe a inne wykresy

Histogram pokazuje pełny kształt rozkładu bardziej szczegółowo, ale trudniej wykorzystać go do jednoczesnego porównywania wielu grup. Wykres skrzypcowy dodaje wokół pudełka krzywą gęstości, dokładniej pokazując, gdzie skupiają się wartości. Wykres rozrzutu pokazuje zależność między dwiema zmiennymi, czego wykres pudełkowy nie potrafi. Wybór zależy od celu: porównywania grup (wykres pudełkowy), szczegółowego przedstawienia kształtu jednego rozkładu (histogram lub wykres skrzypcowy) albo badania zależności (wykres rozrzutu).

Historia

Statystyk John Tukey wprowadził wykres pudełkowy w dekadzie 1970, opisując go w swojej książce Exploratory Data Analysis z 1977. Jego pierwotna wersja, nazywana czasem wykresem schematycznym, przedstawiała medianę, kwartyle i wartości skrajne. W 1978 roku statystycy Robert McGill, Tukey i Wayne Larsen opisali wersję z nacięciami, która dodaje przedział ufności wokół mediany. Reguła 1,5 × IQR oznaczania obserwacji odstających wkrótce potem stała się standardową konwencją.

Często zadawane pytania

Do czego służy wykres pudełkowy? Pokazuje rozproszenie zbioru liczb i wskazuje prawdopodobne obserwacje odstające, wykorzystując minimum, Q1, medianę, Q3 i maksimum. Jest szczególnie przydatny do porównywania kilku grup na jednym wykresie.

Jak odczytywać wykres pudełkowy? Pudełko rozciąga się od Q1 do Q3 i obejmuje środkową połowę danych. Linia wewnątrz pudełka oznacza medianę. Wąsy sięgają najbardziej oddalonych wartości, które nie są obserwacjami odstającymi, a wartości poza wąsami są rysowane jako osobne punkty.

Jak rozpoznać obserwacje odstające na wykresie pudełkowym? Wartość jest obserwacją odstającą, jeśli znajduje się poniżej Q1 − 1,5 × IQR lub powyżej Q3 + 1,5 × IQR.

Jaka jest różnica między wykresem pudełkowym a histogramem? Wykres pudełkowy sprowadza rozkład do pięciu liczb i obserwacji odstających, dzięki czemu jest zwięzły i dobrze nadaje się do porównywania grup. Histogram pokazuje częstość wartości w poszczególnych przedziałach, dostarczając więcej informacji o kształcie pojedynczego rozkładu.

Czy ten kalkulator obsługuje małe zbiory danych? Ten kalkulator wymaga co najmniej pięciu liczb, aby utworzyć podsumowanie pięcioliczbowe. Wykresy pudełkowe dostarczają więcej informacji przy większych zbiorach danych, ponieważ garść wartości niewiele mówi o rozproszeniu lub obserwacjach odstających.

Jakie dane wejściowe akceptuje kalkulator? Liczby rozdzielone przecinkami, spacjami lub znakami nowego wiersza, więc można wkleić kolumnę z arkusza kalkulacyjnego. Wszystko, co nie jest liczbą, zostaje odrzucone, a nie pominięte, dzięki czemu literówka nie może po cichu zmienić wyniku.

Co oznacza skośny wygląd wykresu pudełkowego? Jeśli mediana znajduje się bliżej Q1, dane mają dłuższy ogon po stronie większych wartości. Jeśli znajduje się bliżej Q3, dane mają dłuższy ogon po stronie mniejszych wartości.