Kalkulator Z-Score - Narzędzie do Obliczania Wyniku Standaryzowanego i Prawdopodobieństwa

Czym jest wynik z?

Wynik z, nazywany także wynikiem standaryzowanym, mierzy, ile odchyleń standardowych dzieli daną wartość od średniej zbioru danych. Wynik z równy 0 oznacza, że wartość jest równa średniej. Dodatni wynik z oznacza wartość powyżej średniej, a ujemny wynik z — wartość poniżej średniej.

Wzór na wynik z

Wynik z dla danej wartości oblicza się według wzoru:

$$z = \frac{x - \mu}{\sigma}$$

Gdzie:

• $z$ to wynik z
• $x$ to dana wartość
• $\mu$ to średnia zbioru danych
• $\sigma$ to odchylenie standardowe zbioru danych

Odchylenie standardowe nie może wynosić zero, ponieważ dzielenie przez zero nie ma określonego wyniku. Nie może też być ujemne, ponieważ z definicji odchylenie standardowe jest zawsze równe zero lub dodatnie.

Jak obliczyć wynik z

1. Oblicz średnią zbioru danych, dodając wszystkie wartości i dzieląc ich sumę przez liczbę wartości, $n$.

$$\mu = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n}$$

2. Oblicz odchylenie standardowe. Najpierw oblicz wariancję, czyli średnią kwadratów odchyleń od średniej, a następnie oblicz jej pierwiastek kwadratowy.

$$\sigma = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \mu)^2}{n}}$$

Jest to odchylenie standardowe populacji, w którym dzieli się przez $n$. Gdy liczby są próbą pobraną z większej populacji, należy zamiast tego dzielić przez $n - 1$.

3. Odejmij średnią od danej wartości i podziel wynik przez odchylenie standardowe.

$$z = \frac{x - \mu}{\sigma}$$

Przykład obliczeniowy

Uczeń uzyskuje wynik 85 w teście. Średnia klasy wynosi 75, a odchylenie standardowe wyników klasy — 10.

• Dana wartość: $x = 85$
• Średnia: $\mu = 75$
• Odchylenie standardowe: $\sigma = 10$

$$z = \frac{85 - 75}{10} = 1.0$$

Wynik z ucznia wynosi 1,0. Jego wynik jest o jedno odchylenie standardowe wyższy od średniej klasy.

Wynik z a prawdopodobieństwo skumulowane

Wynik z można przekształcić w prawdopodobieństwo skumulowane, czyli prawdopodobieństwo, że losowo wybrana wartość z rozkładu normalnego będzie równa temu punktowi lub od niego mniejsza. Jest to pole pod standaryzowaną krzywą normalną na lewo od $z$.

$$P(Z \leq z) = \Phi(z)$$

Dla wyniku z ucznia równego 1,0 prawdopodobieństwo skumulowane wynosi około 0,8413, czyli 84,13%. Oznacza to, że uczeń uzyskał wynik lepszy niż około 84% klasy, zakładając, że wyniki mają rozkład normalny. Kalkulator pokazuje wynik z z dokładnością do czterech miejsc po przecinku, a prawdopodobieństwo skumulowane jako wartość procentową z dokładnością do dwóch miejsc po przecinku.

Kilka wartości odniesienia:

Interpretacja wyniku z

Większość wartości w rozkładzie normalnym mieści się w granicach 2 odchyleń standardowych od średniej. Wyniki z wykraczające poza +3 lub -3 są rzadkie i często traktuje się je jako wartości odstające, czyli wartości znacznie różniące się od pozostałych danych.

Wyniki z umożliwiają także porównywanie wartości mierzonych w różnych skalach. Wyniku testu i pomiaru wzrostu nie można porównać bezpośrednio, ale można porównać ich wyniki z, ponieważ oba opisują odległość od średniej w tych samych jednostkach odchylenia standardowego.

Wynik z a wynik t

Wynik z zakłada, że odchylenie standardowe populacji jest znane, i najlepiej sprawdza się przy dużych próbach. Wyniku t używa się natomiast, gdy odchylenie standardowe populacji jest nieznane, a próba jest mała, zwykle liczy mniej niż 30 obserwacji. Oba wyniki opisują odległość od średniej, ale wynik t pochodzi z rozkładu t-Studenta, który ma cięższe ogony, aby uwzględnić większą niepewność w małej próbie.

Typowe zastosowania wyników z

• Testy standaryzowane. Porównywanie surowego wyniku ucznia z ogólnym rozkładem wyników.
• Wykrywanie wartości odstających. Wskazywanie danych znacznie oddalonych od średniej zbioru.
• Kontrola jakości. Sprawdzanie, czy wyprodukowany przedmiot mieści się w dopuszczalnym zakresie.
• Testowanie hipotez. Testy z wykorzystują wyniki z do oceny, czy średnia z próby różni się w istotny sposób od znanej średniej populacji.

Historia

Wynik z opiera się na rozkładzie normalnym opisanym przez Abrahama de Moivre’a w 1733 i rozwiniętym później przez Carla Friedricha Gaussa oraz Pierre’a-Simona Laplace’a na początku 19. wieku. Standaryzowanie wartości do jednostek odchylenia standardowego stało się powszechną praktyką w testach psychologicznych i kontroli jakości w 20. wieku.

Często zadawane pytania

Czym jest wynik z w statystyce? Wynik z to liczba odchyleń standardowych dzielących daną wartość od średniej jej zbioru danych. Oblicza się go ze wzoru z = (x − μ) / σ.

Jak interpretować wynik z? Wynik z równy 0 oznacza, że wartość jest równa średniej. Wartość dodatnia znajduje się powyżej średniej, a ujemna — poniżej niej. Wartości wykraczające poza +3 lub -3 są nietypowe.

Czy wynik z może być ujemny? Tak. Ujemny wynik z oznacza po prostu, że dana wartość znajduje się poniżej średniej. Wynik z równy -2 oznacza, że wartość jest o 2 odchylenia standardowe poniżej średniej.

Jaka jest różnica między wynikiem z a wynikiem t? Wyniku z używa się przy dużych próbach, gdy odchylenie standardowe populacji jest znane. Wyniku t używa się przy małych próbach, zazwyczaj liczących mniej niż 30 obserwacji, gdy odchylenie to nie jest znane.

Co oznacza prawdopodobieństwo skumulowane dla wyniku z? Jest to prawdopodobieństwo, że losowo wybrana wartość z rozkładu normalnego będzie mniejsza lub równa danemu wynikowi z. Jest równe polu pod krzywą normalną na lewo od tego punktu.

Co się dzieje, gdy odchylenie standardowe wynosi zero? Wynik z jest nieokreślony, ponieważ wzór wymagałby dzielenia przez zero. Odchylenie standardowe równe zero oznacza, że wszystkie wartości w zbiorze danych są identyczne.

Piśmiennictwo

1. Wynik standaryzowany, Wikipedia: https://pl.wikipedia.org/wiki/Wynik_standaryzowany
2. Rozkład normalny i wyniki z, Khan Academy: https://www.khanacademy.org/math/statistics-probability/modeling-distributions-of-data/z-scores/a/z-scores-review