Kalkulator T-testu - Darmowe Narzędzie Analizy Statystycznej Online

Czym jest test t?

Test t to metoda statystyczna, która sprawdza, czy średnia zbioru liczb różni się w istotny sposób od innej średniej lub ustalonej wartości. Nazywa się go również testem t-Studenta. Badacze używają go do porównywania dwóch grup, takich jak grupa poddana leczeniu i grupa kontrolna, albo do porównywania jednej grupy ze znanym standardem.

Test daje w wyniku liczbę nazywaną statystyką t. Statystyka t znacznie różniąca się od zera sugeruje, że średnie rzeczywiście się różnią. Statystyka t bliska zeru sugeruje, że każda różnica może być jedynie losowym szumem.

Rodzaje testów t

Ten kalkulator obsługuje trzy rodzaje testu t.

• Test t dla jednej próby: porównuje średnią jednej próby ze znaną lub hipotetyczną wartością.
• Test t dla dwóch prób: porównuje średnie dwóch niezależnych prób, takich jak dwie odrębne grupy osób. Ten kalkulator używa testu t Welcha, który nie zakłada, że rozproszenie wyników w obu grupach jest takie samo.
• Test t dla prób zależnych: porównuje dwa zestawy pomiarów wykonanych u tych samych osób, na przykład wyniki przed leczeniem i po nim.

Jak korzystać z tego kalkulatora testu t

1. Wybierz rodzaj testu: dla jednej próby, dla dwóch prób lub dla prób zależnych.
2. Wprowadź dane.
   • Jedna próba: wprowadź wartości próby oddzielone przecinkami oraz średnią populacji, z którą ma zostać wykonane porównanie.
   • Dwie próby: wprowadź obie próby jako oddzielne listy wartości rozdzielonych przecinkami.
   • Próby zależne: wprowadź pary w postaci (x1,y1), (x2,y2) i tak dalej.
3. Ustaw poziom istotności, zwykle 0,05. Kalkulator nie używa tej wartości. Podaje wartość p, a decyzję pozostawia użytkownikowi.
4. Statystyka t, stopnie swobody i wartość p pojawiają się, gdy tylko dostępna jest wystarczająca ilość danych. Nie trzeba naciskać żadnego przycisku.

Aby ocenić istotność, porównaj wartość p z poziomem istotności. Jeśli wartość p jest mniejsza lub równa poziomowi istotności, różnicę uznaje się za statystycznie istotną.

Wzór testu t

Wzór testu t dla jednej próby

$$t = \frac{\bar{x} - \mu_0}{s / \sqrt{n}}$$

$\bar{x}$ to średnia z próby, $\mu_0$ to wartość, z którą wykonywane jest porównanie, $s$ to odchylenie standardowe próby, a $n$ to liczebność próby. Stopnie swobody: $df = n - 1$.

Wzór testu t dla dwóch prób (test Welcha)

$$t = \frac{\bar{x}_1 - \bar{x}_2}{\sqrt{\dfrac{s_1^2}{n_1} + \dfrac{s_2^2}{n_2}}}$$

Stopnie swobody wynikają z równania Welcha–Satterthwaite’a:

$$df = \frac{\left(\dfrac{s_1^2}{n_1} + \dfrac{s_2^2}{n_2}\right)^2}{\dfrac{(s_1^2/n_1)^2}{n_1 - 1} + \dfrac{(s_2^2/n_2)^2}{n_2 - 1}}$$

Ten wzór zwykle daje df, które nie jest liczbą całkowitą.

Wzór testu t dla prób zależnych

$$t = \frac{\bar{d}}{s_d / \sqrt{n}}$$

$\bar{d}$ to średnia różnic między poszczególnymi parami, $s_d$ to odchylenie standardowe tych różnic, a $n$ to liczba par. Stopnie swobody: $df = n - 1$.

Jak obliczyć test t: przykład z rozwiązaniem

Producent twierdzi, że bateria działa średnio przez 50 godzin. Tester sprawdza dziewięć baterii i rejestruje następujące czasy działania, w godzinach:

51, 49, 52, 48, 50, 47, 53, 49, 51

Krok 1: Sformułuj hipotezy. Hipoteza zerowa: prawdziwa średnia wynosi 50 godzin. Hipoteza alternatywna: prawdziwa średnia nie wynosi 50 godzin.

Krok 2: Oblicz średnią z próby.

$$\bar{x} = \frac{51+49+52+48+50+47+53+49+51}{9} = 50.00$$

Krok 3: Oblicz odchylenie standardowe próby. Odchylenia od średniej wynoszą 1, -1, 2, -2, 0, -3, 3, -1, 1. Po podniesieniu do kwadratu otrzymujemy 1, 1, 4, 4, 0, 9, 9, 1, 1, których suma wynosi 30.

$$s = \sqrt{\frac{30}{9-1}} = \sqrt{3.75} \approx 1.94$$

Krok 4: Oblicz statystykę t.

$$t = \frac{50.00 - 50}{1.94 / \sqrt{9}} = 0.00$$

Krok 5: Oblicz stopnie swobody.

$$df = 9 - 1 = 8$$

Krok 6: Oblicz wartość p. Dla $t = 0$ i $df = 8$ dwustronna wartość p wynosi 1,00.

Krok 7: Wyciągnij wniosek. Ponieważ 1,00 jest większe niż 0,05, nie ma wystarczających dowodów na to, że średni czas działania baterii różni się od 50 godzin.

Założenia testu t

Test t daje wiarygodne wyniki tylko wtedy, gdy w przybliżeniu spełnionych jest kilka warunków.

• Normalność: dane powinny mieć w przybliżeniu kształt dzwonowy, zwłaszcza w małych próbach.
• Niezależność: każda obserwacja nie powinna wpływać na żadną inną obserwację.
• Losowy dobór próby: dane powinny pochodzić z losowej próby z badanej populacji.

W przypadku testu t dla prób zależnych warunki te dotyczą różnic między parami, a nie surowych wyników. W przypadku większych prób, liczących w przybliżeniu więcej niż 30 obserwacji, test t zwykle pozostaje dokładny, nawet gdy dane nie mają idealnie dzwonowego kształtu, ze względu na własność statystyczną zwaną centralnym twierdzeniem granicznym.

Alternatywy dla testu t

Gdy powyższe założenia nie są spełnione, można zamiast niego zastosować inne testy.

• Test U Manna–Whitneya: nieparametryczna alternatywa dla testu t dla dwóch prób.
• Test rangowanych znaków Wilcoxona: nieparametryczna alternatywa dla testu t dla prób zależnych.
• ANOVA: porównuje jednocześnie średnie trzech lub większej liczby grup, a nie tylko dwóch.

Historia testu t

William Sealy Gosset opracował test t w 1908 roku, pracując jako chemik w browarze Guinnessa w Dublinie. Guinness nie zezwalał pracownikom na publikowanie badań pod własnymi nazwiskami, dlatego Gosset używał pseudonimu „Student”. Z tego powodu metodę często nazywa się testem t-Studenta. Gosset stworzył ją, aby oceniać, czy małe partie składników piwowarskich spełniają normy jakości, wykorzystując za każdym razem tylko niewielką liczbę próbek.

Często zadawane pytania

Do czego służy test t?

Test t sprawdza, czy średnia z próby różni się istotnie od innej średniej lub ustalonej wartości. Jest często stosowany w medycynie, psychologii, edukacji i badaniach biznesowych.

Kiedy należy użyć testu t dla jednej próby, dwóch prób lub prób zależnych?

Użyj testu t dla jednej próby, aby porównać średnią z próby ze znaną wartością. Użyj testu t dla dwóch prób, aby porównać dwie odrębne, niezależne grupy. Użyj testu t dla prób zależnych, gdy te same osoby są mierzone dwukrotnie, na przykład przed leczeniem i po nim.

Jaka jest różnica między testem t a testem z?

Testu t używa się, gdy próba jest mała lub odchylenie standardowe populacji jest nieznane. Testu z używa się dla dużych prób, gdy odchylenie standardowe populacji jest znane. W praktyce test t stosuje się znacznie częściej, ponieważ odchylenie standardowe populacji rzadko jest z góry znane.

Jak interpretować wartość p z testu t?

Wartość p to prawdopodobieństwo zaobserwowania tak dużej lub większej różnicy, gdyby w rzeczywistości nie było żadnej prawdziwej różnicy. Mała wartość p, zwykle równa 0,05 lub mniejsza, sugeruje, że zaobserwowana różnica prawdopodobnie nie wynika wyłącznie z przypadku.

Czym jest test t Welcha?

Test t Welcha to odmiana testu t dla dwóch prób, która nie wymaga, aby obie grupy miały taką samą wariancję. Ten kalkulator zawsze stosuje metodę Welcha w testach dla dwóch prób, ponieważ pozostaje ona dokładna niezależnie od tego, czy zmienność w obu grupach jest taka sama.

Czym są stopnie swobody w teście t?

Stopnie swobody to liczba zależna od liczebności próby, która określa dokładny kształt rozkładu t używanego do wyznaczania wartości p. W przypadku testu t dla jednej próby lub prób zależnych stopnie swobody są równe liczebności próby pomniejszonej o 1. Test t Welcha dla dwóch prób wykorzystuje wzór, który zwykle daje wartość niebędącą liczbą całkowitą.

Piśmiennictwo

1. Gosset, W. S. (1908). „The Probable Error of a Mean”. Biometrika, 6(1), 1–25.
2. NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods, sekcja 1.3.6.7.2, „Wartości krytyczne rozkładu t-Studenta”.