Resolvedor de Equação Quadrática - Calcular Raízes de ax² + bx + c = 0

O que é uma equação quadrática?

Uma equação quadrática é uma equação da forma $ax^2 + bx + c = 0$, em que $a$, $b$ e $c$ são números e $a$ não é zero. O resolvedor de equações quadráticas nesta página encontra o valor ou os valores de $x$ que tornam a equação verdadeira, usando os coeficientes $a$, $b$ e $c$ inseridos pelo usuário.

Se $a$ fosse zero, o termo $x^2$ desapareceria e a equação se tornaria linear, em vez de quadrática. Por isso, a calculadora exige $a \neq 0$ e mostra um erro se $a = 0$.

A fórmula quadrática

Toda equação quadrática na forma $ax^2 + bx + c = 0$ pode ser resolvida com a fórmula quadrática:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

O sinal $\pm$ representa dois cálculos separados: um com o sinal de mais e outro com o sinal de menos. É por isso que uma equação quadrática pode ter duas soluções diferentes.

A expressão sob a raiz quadrada, $b^2 - 4ac$, é chamada de discriminante. Ela costuma ser escrita como $\Delta$ (a letra grega delta). O discriminante, por si só, informa quantas soluções reais a equação tem, antes que o restante do cálculo seja feito.

Como calcular as raízes

1. Escreva a equação na forma padrão, $ax^2 + bx + c = 0$.
2. Identifique os coeficientes $a$, $b$ e $c$.
3. Calcule o discriminante: $\Delta = b^2 - 4ac$.
4. Se $\Delta$ for positivo, calcule as duas raízes com $x = \dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$.
5. Se $\Delta$ for zero, calcule a única raiz com $x = \dfrac{-b}{2a}$.
6. Se $\Delta$ for negativo, a equação não terá raízes reais, pois um número negativo não tem raiz quadrada real.

A calculadora nesta página executa essas etapas automaticamente. Ela aceita coeficientes entre $-10^{10}$ e $10^{10}$ e arredonda os resultados para uma quantidade escolhida de casas decimais, de 0 a 10.

O significado do discriminante

Esta calculadora informa “nenhuma raiz real” quando $\Delta$ é negativo. Ela não calcula raízes complexas (números que envolvem $i = \sqrt{-1}$).

Exemplo prático

Resolva $x^2 + 5x + 6 = 0$.

Aqui, $a = 1$, $b = 5$ e $c = 6$.

Primeiro, encontre o discriminante:

$\Delta = b^2 - 4ac = 5^2 - 4(1)(6) = 25 - 24 = 1$

Como $\Delta$ é positivo, a equação tem duas raízes reais:

$x = \frac{-5 \pm \sqrt{1}}{2(1)} = \frac{-5 \pm 1}{2}$

$x_1 = \frac{-5 + 1}{2} = -2 \qquad x_2 = \frac{-5 - 1}{2} = -3$

Isso pode ser verificado fatorando: $x^2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)$, que é igual a zero quando $x = -2$ ou $x = -3$.

Um segundo exemplo mostra um discriminante negativo. Para $x^2 + x + 1 = 0$, $a = 1$, $b = 1$, $c = 1$, portanto $\Delta = 1 - 4 = -3$. Como $\Delta$ é negativo, a equação não tem raízes reais.

A parábola, o vértice e o eixo de simetria

O gráfico de $f(x) = ax^2 + bx + c$ é uma curva chamada parábola. Se $a$ for positivo, a parábola se abre para cima e tem um ponto mais baixo. Se $a$ for negativo, ela se abre para baixo e tem um ponto mais alto. Esse ponto mais baixo ou mais alto é o vértice.

O vértice está em:

$x = -\frac{b}{2a}, \qquad y = f\!\left(-\frac{b}{2a}\right)$

Uma reta vertical que passa pelo vértice, $x = -\dfrac{b}{2a}$, é chamada de eixo de simetria, porque as duas metades da parábola são imagens espelhadas uma da outra em relação a ela. As raízes reais da equação são os pontos em que a parábola cruza o eixo x; portanto, ficam em lados opostos do eixo de simetria, à mesma distância dele.

A calculadora desenha essa parábola ao lado do resultado. Ela marca o vértice e todas as raízes reais na curva e amplia o intervalo exibido quando necessário, para que todas as raízes permaneçam visíveis.

Onde as equações quadráticas são usadas

As equações quadráticas descrevem muitas situações reais. Na física, a altura de um objeto lançado ao longo do tempo segue a equação $h(t) = -\tfrac{1}{2}gt^2 + v_0t + h_0$, e resolvê-la para $t$ fornece o instante em que o objeto aterrissa. Na engenharia, formas parabólicas aparecem em antenas parabólicas e cabos de pontes devido à maneira como focalizam ou distribuem forças. Em computação gráfica, programas de traçado de raios resolvem equações quadráticas para encontrar o ponto em que uma linha intersecta uma esfera.

Uma breve história

Matemáticos babilônios resolviam problemas quadráticos específicos por volta de 2000 a.C., usando métodos geométricos em vez de álgebra. Matemáticos gregos, como Euclides, também tratavam as equações quadráticas geometricamente. Por volta de 600 d.C., o matemático indiano Brahmagupta apresentou uma fórmula explícita para as raízes, incluindo soluções negativas. Por volta de 800 d.C., o matemático persa al-Khwarizmi descreveu métodos sistemáticos para resolver equações quadráticas em um livro cujo título deu origem à palavra “álgebra”. A forma simbólica moderna da fórmula quadrática se tornou padrão mais tarde, à medida que a notação algébrica se desenvolveu durante o Renascimento.

Dúvidas frequentes

O que acontece se eu inserir 0 para o coeficiente a? A calculadora mostra um erro, porque $a = 0$ transforma a equação em uma equação linear, $bx + c = 0$, que é resolvida de outra maneira.

Por que uma equação às vezes não tem raízes reais? Isso acontece quando o discriminante, $b^2 - 4ac$, é negativo. Um número negativo não tem raiz quadrada real, portanto a fórmula não pode produzir um valor real de $x$. A equação ainda tem duas raízes complexas, mas esta calculadora não as calcula.

Qual é a diferença entre uma raiz e uma solução? Nenhuma. As duas palavras se referem a um valor de $x$ que faz a equação ser igual a zero. “Raiz” refere-se ao ponto em que o gráfico encontra o eixo x; “solução” refere-se à álgebra.

Quantas casas decimais posso escolher? Entre 0 e 10. Duas ou três casas decimais geralmente são suficientes para problemas do dia a dia.

Posso inserir coeficientes muito grandes? Os coeficientes devem estar entre $-10^{10}$ e $10^{10}$. Valores fora desse intervalo podem causar erros de arredondamento e são rejeitados.

Esta calculadora pode encontrar raízes complexas? Não. Quando o discriminante é negativo, ela informa “nenhuma raiz real” em vez de calcular números complexos.

Referências

1. Equação quadrática – MathWorld
2. Biblioteca Digital NIST de Funções Matemáticas, §1.11, Álgebra: Equação quadrática