Calculador da Equação de Young-Laplace | Pressão de Interface

O que é a equação de Young-Laplace?

A equação de Young-Laplace é uma fórmula da mecânica dos fluidos que fornece a diferença de pressão através de uma interface curva entre dois fluidos, como a superfície de uma gota de água ou de uma bolha de sabão. Ela mostra que essa diferença de pressão depende da tensão superficial do fluido e do grau de curvatura da interface. A equação explica por que a pressão aumenta dentro de gotas e bolhas e por que as menores têm pressão interna maior que as maiores.

Ela recebeu esse nome em homenagem a Thomas Young e Pierre-Simon Laplace, cada um dos quais descreveu essa relação no início dos anos 1800.

Fórmula da equação de Young-Laplace

A forma geral da equação é:

$\Delta P = \gamma \left( \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} \right)$

• $\Delta P$ é a diferença de pressão através da interface, em pascals (Pa)
• $\gamma$ (gama) é a tensão superficial do fluido, em newtons por metro (N/m)
• $R_1$ e $R_2$ são os dois raios principais de curvatura da superfície, em metros (m)

Uma superfície se curva de maneira diferente em direções diferentes. $R_1$ e $R_2$ descrevem a curvatura ao longo de duas direções perpendiculares entre si. Para uma esfera, como uma gota ou uma bolha, $R_1$ é igual a $R_2$, portanto a fórmula se simplifica para:

$\Delta P = \frac{2\gamma}{R}$

Convenção de sinais

A pressão é sempre maior no lado côncavo de uma interface curva, o lado para o qual a superfície se projeta. Para uma gota ou uma bolha, isso significa que a pressão interna é maior que a pressão externa. Um raio é considerado positivo quando seu centro de curvatura está no lado de maior pressão. Se a superfície se curva na direção oposta em uma direção, esse raio é considerado negativo. Uma interface em forma de sela, como o pescoço líquido entre dois grãos em contato, tem um raio positivo e outro negativo, e os dois termos se anulam parcialmente.

Esta calculadora usa apenas raios positivos.

Casos especiais

• Superfície plana: à medida que um raio cresce em direção ao infinito, seu termo na fórmula diminui em direção a zero. Uma interface perfeitamente plana não apresenta diferença de pressão.
• Cilindro: uma superfície cilíndrica longa, como um jato de líquido saindo de um bico, curva-se em apenas uma direção. Um raio é o raio do cilindro e o outro é infinito ao longo de seu comprimento, portanto a fórmula se reduz a $\Delta P = \gamma / R$. Essa é metade da diferença de pressão de uma esfera com o mesmo raio.
• Escalas muito pequenas: abaixo de aproximadamente 10 a 20 nanômetros, efeitos adicionais, como a tensão de linha, tornam-se significativos, e a equação simples perde precisão.

Como calcular a diferença de pressão com a equação de Young-Laplace

1. Encontre a tensão superficial do fluido, em N/m, na temperatura de interesse. A tensão superficial diminui à medida que a temperatura aumenta.
2. Meça ou estime o primeiro raio principal de curvatura, $R_1$, em metros.
3. Meça ou estime o segundo raio principal de curvatura, $R_2$, em metros. Para uma esfera, use o mesmo valor de $R_1$. Para um cilindro, use um número muito grande para representar o infinito.
4. Multiplique a tensão superficial pela soma de $1/R_1$ e $1/R_2$. O resultado é a diferença de pressão em pascals.

Mantenha todos os valores em unidades do SI. Misturar milímetros com metros, por exemplo, altera o resultado por um fator de mil.

Exemplo prático

Considere uma gota esférica de água com raio de 1 milímetro (0,001 m) e tensão superficial de 0,072 N/m, um valor típico para a água próxima da temperatura ambiente.

Como a gota é uma esfera, $R_1 = R_2 = R$, portanto:

$\Delta P = \frac{2\gamma}{R} = \frac{2 \times 0.072}{0.001} = 144 \text{ Pa}$

A pressão dentro da gota é 144 Pa maior que a pressão do ar ao redor. Isso é pouco em comparação com a pressão atmosférica normal, de cerca de 101.325 Pa, mas o efeito cresce rapidamente à medida que a gota diminui. Uma gota com um décimo do tamanho, com raio de 0,1 mm, tem dez vezes a diferença de pressão: 1.440 Pa. Uma gota com raio de 0,01 mm atinge 14.400 Pa, mais de 14% da pressão atmosférica.

Onde a equação se aplica

• Gotas e bolhas: a pressão mais alta dentro de gotas pequenas impulsiona o amadurecimento de Ostwald, processo no qual gotas pequenas de uma emulsão diminuem enquanto as maiores crescem, porque seu conteúdo se difunde da alta para a baixa pressão.
• Ação capilar: a superfície curva dentro de um tubo estreito puxa o líquido para cima. É por isso que a água sobe em toalhas de papel e tubos de vidro estreitos.
• Respiração: os minúsculos sacos de ar dos pulmões, chamados alvéolos, comportam-se como pequenas bolhas. Um revestimento chamado surfactante pulmonar reduz a tensão superficial para que os alvéolos pequenos não colapsem sob a pressão prevista pela equação. Bebês prematuros que não têm surfactante suficiente podem desenvolver problemas respiratórios por esse motivo.
• Impressão a jato de tinta: os bicos das impressoras formam gotas com dezenas de micrômetros de diâmetro, nas quais a pressão causada pela curvatura é grande o suficiente para influenciar a maneira como a tinta sai do bico.
• Ciência dos materiais: instrumentos que medem como os líquidos molham uma superfície e como revestimentos finos se comportam usam a equação para relacionar a forma de uma gota à sua energia superficial.

História

As pessoas observaram líquidos subindo em tubos estreitos muito antes de alguém explicar por quê. No início dos anos 1700, Francis Hauksbee mostrou experimentalmente que tubos mais estreitos causam maior ascensão capilar e, em 1718, James Jurin descreveu a ascensão como inversamente proporcional ao diâmetro do tubo.

Thomas Young explicou a física subjacente em um artigo de 1805, introduzindo a tensão superficial como uma propriedade de um fluido e relacionando-a à pressão através de superfícies curvas, embora seu tratamento fosse principalmente descritivo. Em 1806, Pierre-Simon Laplace desenvolveu a forma matemática usando cálculo, chegando de maneira independente à mesma relação. O trabalho conjunto deles tornou-se a equação de Young-Laplace. Mais tarde, cientistas como Carl Friedrich Gauss e Joseph Plateau testaram e ampliaram a teoria ao longo dos anos 1800.

Dúvidas frequentes

O que a equação de Young-Laplace calcula? Ela calcula a diferença de pressão através de uma interface curva entre dois fluidos, com base na tensão superficial do fluido e na curvatura da interface.

Por que a pressão é maior dentro de uma gota menor? A tensão superficial atua ao longo da borda da gota, e essa força aumenta proporcionalmente ao raio. A área sobre a qual a pressão precisa atuar cresce com o quadrado do raio. O equilíbrio entre as duas resulta em $\Delta P = 2\gamma/R$, portanto a diferença de pressão é inversamente proporcional ao raio: reduzindo o raio pela metade, a diferença de pressão dobra.

Como a temperatura afeta a equação? A temperatura altera o valor da tensão superficial, que diminui à medida que a temperatura aumenta. Para a água, a tensão superficial cai de cerca de 0,073 N/m a 20 °C para aproximadamente 0,063 N/m a 80 °C, uma redução de cerca de 0,17 mN/m para cada grau Celsius. A tensão superficial à temperatura ambiente é maior que a da água quente, portanto usar um valor de temperatura ambiente para um sistema quente superestima a diferença de pressão.

A equação funciona para formas diferentes de esferas? Sim. A forma geral, com dois raios separados, $R_1$ e $R_2$, abrange qualquer superfície curva, incluindo elipsoides e interfaces em forma de sela. Apenas a versão simplificada $2\gamma/R$ é limitada a esferas.

Qual é a diferença entre a equação de Young-Laplace e a equação de Young? A equação de Young-Laplace fornece a diferença de pressão causada por uma interface curva. A equação de Young, uma relação distinta também proposta por Thomas Young, fornece o ângulo de contato formado por uma gota ao encontrar uma superfície sólida, com base nas energias superficiais dos três materiais envolvidos. Elas descrevem fenômenos diferentes e às vezes são usadas em conjunto para analisar uma gota apoiada sobre uma superfície.

Qual pode ser o tamanho mínimo de uma gota antes que a equação deixe de funcionar? A equação permanece precisa até aproximadamente 1 micrômetro. Abaixo de cerca de 10 a 20 nanômetros, forças adicionais ignoradas pela equação, incluindo a tensão de linha e forças entre superfícies em escala molecular, tornam-se grandes o suficiente para serem relevantes, e são necessários modelos mais detalhados.

Referências

1. Young, T. (1805). "Um ensaio sobre a coesão dos fluidos." Philosophical Transactions of the Royal Society of London, 95, 65–87.
2. Laplace, P.S. (1806). Traité de Mécanique Céleste, suplemento ao Livro 10.
3. de Gennes, P.G., Brochard-Wyart, F. e Quéré, D. (2004). Capilaridade e fenômenos de molhabilidade: gotas, bolhas, pérolas, ondas. Springer.
4. Adamson, A.W. e Gast, A.P. (1997). Química física das superfícies (6.ª ed.). Wiley-Interscience.